lingo在数学建模中的应用.ppt

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1、第二讲第二讲 lingo的运算符和函数的运算符和函数1.1.基本运算符基本运算符 算术运算符算术运算符 算术运算符是针对数值进行操作的。LINGO提供了5种二元运算符：乘方 乘 除 加 减 LINGO唯一的一元算术运算符是取反函数“”。这些运算符的优先级由高到底为：高：（取反），低 运算符的运算次序为从左到右按优先级高低来执行。运算的次序可以用圆括号“（）”来改变。如：253，(24)5等等。逻辑运算符逻辑运算符在LINGO中，逻辑运算符主要用于集循环函数的条件表达式中，来控制在函数中哪些集成员被包含，哪些被排斥。在创建稀疏集时用在成员资格过滤器中。LINGOLINGO具有种逻辑运算符：具有种

2、逻辑运算符：#not#否定该操作数的逻辑值，not是一个一元运 算符#eq#若两个运算数相等，则为true；否则为flase#ne#若两个运算符不相等，则为true；否则为flase#gt#若左边的运算符严格大于右边的运算符，则为true；否则为flase#ge#若左边的运算符大于或等于右边的运算符，则为true；否则为flase#lt#若左边的运算符严格小于右边的运算符，则为true；否则为flase#le#若左边的运算符小于或等于右边的运算符，则 为true；否则为flase#and#仅当两个参数都为true时，结果为true；否 则为flase#or#仅当两个参数都为false时，结果为

3、false；否则为true这些运算符的优先级由高到低为这些运算符的优先级由高到低为：高高#not#eq#ne#gt#ge#lt#le#低低#and#or#如逻辑运算符示例2#gt#3#and#4#gt#2，其结果为假（0）。关系运算符关系运算符 在LINGO中，关系运算符主要是被用在模型中，来指定一个表达式的左边是否等于、小于等于、或者大于等于右边，形成模型的一个约束条件。关系运算符与逻辑运算符#eq#、#le#、#ge#截然不同，前者是模型中该关系运算符所指定关系的为真描述，而后者仅仅判断一个该关系是否被满足：满足为真，不满足为假。LINGO有三种关系运算符：“=”、“=”。LINGO中还能

4、用“”表示大于等于关系。LINGO并不支持严格小于和严格大于关系运算符。然而，如果需要严格小于和严格大于关系，比如让A严格小于B：AB，那么可以把它变成如下的小于等于表达式：A+=B，这里是一个小的正数，它的值依赖于模型中A小于B多少才算不等。下面给出以上三类操作符的优先级：高#not#（取反）#eq#ne#gt#ge#lt#le#and#or#低=2、数学函数、数学函数LINGO提供了大量的标准数学函数：abs(x)返回x的绝对值sin(x)返回x的正弦值，x采用弧度制cos(x)返回x的余弦值tan(x)返回x的正切值exp(x)返回常数e的x次方log(x)返回x的自然对数lgm(x)返

5、回x的gamma函数的自然对数sign(x)如果x=0时，返回不超过x的最大整数；当x0时，返回不低于x的最大整数。smax(x1,x2,xn)返回x1，x2，xn中的最大值smin(x1,x2,xn)返回x1，x2，xn中的最小值例：给定一个直角三角形，求包含该三角形的最小正方形。解：如图所示 A B CD Eab xmodel:sets:object/1.3/:f;endsetsdata:a,b=3,4;!两个直角边长，修改很方便;enddataf(1)=a*sin(x);f(2)=b*cos(x);f(3)=a*cos(x)+b*sin(x);min=smax(f(1),f(2),f(3

6、);bnd(0,x,1.57);end3、金融函数金融函数 目前LINGO提供了两个金融函数。fpa(I,n)返回如下情形的净现值：单位时段利率为I，连续n个时段支付，每个时段支付单位费用。若每个时段支付x单位的费用，则净现值可用x乘以fpa(I,n)算得。fpa的计算公式为净现值就是在一定时期内为了获得一定收益在该时期初所支付的实际费用。例贷款买房问题贷款金额50000元，贷款年利率5.31%，采取分期付款方式（每年年末还固定金额，直至还清）。问拟贷款10年，每年需偿还多少元？（50000=x*fpa(.0531,10);答案是x=6573.069元）.fpl(I,n)返回如下情形的净现值：

7、单位时段利率为I，第n个时段支付单位费用。fpl(I,n)的计算公式为两个函数间的关系：4、概率函数概率函数1pbn(p,n,x)：二项分布的累积分布函数。当n和（或）x不是整数时，用线性插值法进行计算。2pcx(n,x)：自由度为n的2分布的累积分布函数。3peb(a,x)：当到达负荷为a，服务系统有x个服务器且允许无穷排队时的Erlang繁忙概率。4pel(a,x)：当到达负荷为a，服务系统有x个服务器且不允许排队时的Erlang繁忙概率。5pfd(n,d,x)：自由度为n和d的F分布的累积分布函数。6pfs(a,x,c)：当负荷上限为a，顾客数为c，平行服务器数量为x时，有限源的Pois

8、son服务系统的等待或返修顾客数的期望值。a是顾客数乘以平均服务时间，再除以平均返修时间。当c和（或）x不是整数时，采用线性插值进行计算。7phg(pop,g,n,x)：超几何分布的累积分布函数。pop表示产品总数，g是正品数。从所有产品中任意取出n（npop）件。pop，g，n和x都可以是非整数，采用线性插值进行计算。8ppl(a,x)：Poisson分布的线性损失函数，即返回max(0,z-x)的期望值，随机变量z服从均值为a的Poisson分布。9pps(a,x)：均值为a的Poisson分布的累积分布函数。当x不是整数时，采用线性插值进行计算。10psl(x)：单位正态线性损失函数，即

9、返回max(0,z-x)的期望值，其中随机变量z服从标准正态分布。11psn(x)：标准正态分布的累积分布函数。12ptd(n,x)：自由度为n的t分布的累积分布函数。13qrand(seed)：产生服从(0,1)区间的拟随机数。qrand只允许在模型的数据部分使用，它将用拟随机数填满集属性。通常，声明一个mn的二维表，m表示运行实验的次数，n表示每次实验所需的随机数的个数。在行内，随机数是独立分布的；在行间，随机数是非常均匀的。这些随机数是用“分层取样”的方法产生的。model:data:M=4;N=2;seed=1234567;enddatasets:rows/1.M/;cols/1.N/

10、;table(rows,cols):x;endsetsdata:X=qrand(seed);enddataend如果没有为函数指定种子，则LINGO用系统时间构造种子。14rand(seed)返回0和1间的伪随机数，依赖于指定的种子。典型用法是U(I+1)=rand(U(I)。注意如果seed不变，那么产生的随机数也不变。例例.利用rand产生15个标准正态分布的随机数和自由度为2的t分布的随机数。model:!产生一列正态分布和t分布的随机数;sets:series/1.15/:u,znorm,zt;endsets!第一个均匀分布随机数是任意的;u(1)=rand(.1234);!产生其余的

11、均匀分布的随机数;for(series(I)|I#GT#1:u(I)=rand(u(I-1);for(series(I):!正态分布随机数;psn(znorm(I)=u(I);!和自由度为2的t分布随机数;ptd(2,zt(I)=u(I);!ZNORM和ZT可以是负数;free(znorm(I);free(zt(I););end5、变量界定函数、变量界定函数变量界定函数实现对变量取值范围的附加限制，共4种：bin(x)限制x为0或1bnd(L,x,U)限制LxUfree(x)取消对变量x的默认下界为0的限制，即x可以取任意实数gin(x)限制x为整数在默认情况下，LINGO规定变量是非负的，也

12、就是说下界为0，上界为+。free取消了默认的下界为0的限制，使变量也可以取负值。bnd用于设定一个变量的上下界,它也可以取消默认下界为0的约束。例例.求函数z=(x+2）2+(y-2)2的最小值（free(x)函数的用法)例例.背包问题背包问题.某人打算外出旅游，路途远，考虑要带许多必要的旅游和生活用品n件，重量分别为wi，而受航空行李重量及个人体力的限制，能带走的行李总重量为b，n件物品的总重量超过了b，需要裁减。假设现有8件物品Weight:13 4331510（kg）Price：2938106410总量不超过15kg，试决定带哪些物品，使所带的物品总价值最大。6、集操作函数、集操作函数

13、LINGO提供了几个函数帮助处理集。1in(set_name,primitive_index_1,primitive_index_2,)如果元素在指定集中，返回1；否则返回0。例例全集为I，B是I的一个子集，C是B的补集。sets:I/x1.x4/;B(I)/x2/;C(I)|#not#in(B,&1):;endsets2index(set_name,primitive_set_element)该函数返回在集set_name中原始集成员primitive_set_element的索引。如果set_name被忽略，那么LINGO将返回与primitive_set_element匹配的第一个原始集

14、成员的索引。如果找不到，则产生一个错误。例例.如何确定集成员(B,Y)属于派生集S3。sets:S1/ABC/;S2/XYZ/;S3(S1,S2)/AX,AZ,BY,CX/;endsetsX=in(S3,index(S1,B),index(S2,Y);看下面的例子例子，表明有时为index指定集是必要的。sets:girls/debble,sue,alice/;boys/bob,joe,sue,fred/;endsetsI1=index(sue);I2=index(boys,sue);I1的值是2，I2的值是3。我们建议在使用index函数时最好指定集。3wrap(index,limit)该函

15、数返回j=index-k*limit，其中k是一个整数，取适当值保证j落在区间1，limit内。该函数相当于index模limit再加1。该函数在循环、多阶段计划编制中特别有用。4size(set_name)该函数返回集set_name的成员个数。在模型中明确给出集大小时最好使用该函数。它的使用使模型更加数据中立，集大小改变时也更易维护。5.集循环函数集循环函数遍历整个集进行操作。其语法为function(setname(set_index_list)|conditional_qualifier:expression_list);function相应于下面罗列的四个集循环函数之一；setnam

16、e是要遍历的集；set_index_list是集索引列表；conditional_qualifier是用来限制集循环函数的范围，当集循环函数遍历集的每个成员时，LINGO都要对conditional_qualifier进行评价，若结果为真，则对该成员执行function操作，否则跳过，继续执行下一次循环。expression_list是被应用到每个集成员的表达式列表，当用的是for函数时，expression_list可以包含多个表达式，其间用逗号隔开。这些表达式将被作为约束加到模型中。当使用其余的三个集循环函数时，expression_list只能有一个表达式。如果省略set_index_l

17、ist，那么在expression_list中引用的所有属性的类型都是setname集。（1）for该函数用来产生对集成员的约束。基于建模语言的标量需要显式输入每个约束，不过for函数允许只输入一个约束，然后LINGO自动产生每个集成员的约束。例产生序列1,4,9,16,25model:sets:number/1.5/:x;endsetsfor(number(I):x(I)=I2);end（2）sum该函数返回遍历指定的集成员的一个表达式的和。例例.求向量5，1，3，4，6，10前5个数的和。model:data:N=6;enddatasets:number/1.N/:x;endsetsdat

18、a:x=5134610;enddatas=sum(number(I)|I#le#5:x);end（3）min和max返回指定的集成员的一个表达式的最小值或最大值。例例.求向量5，1，3，4，6，10前5个数的最小值，后3个数的最大值。model:sets:number/1.6/:x;endsetsdata:x=5134610;enddataminv=min(number(I)|I#le#5:x);maxv=max(number(I)|I#ge#N-2:x);End形式形式函数名（集合名函数名（集合名|条件：表达式）条件：表达式）例例 （职员时序安排模型）（职员时序安排模型）一项工作一周7天都需

19、要有人（比如护士工作），每天（周一至周日）所需的最少职员数为20、16、13、16、19、14和12，并要求每个职员一周连续工作5天，试求每周所需最少职员数，并给出安排。注意这里我们考虑稳定后的情况。附：如果将每天（周一至周日）所需的最少职员数为20、12、18、16、19、14和12呢？7、输入和输出函数、输入和输出函数输入和输出函数可以把模型和外部数据比如文本文件数据库和电子表格等连接起来。（1）file函数该函数用从外部文件中输入数据，可以放在模型中任何地方。该函数的语法格式为file(filename)。这里filename是文件名，可以采用相对路径和绝对路径两种表示方式。file函数

20、对同一文件的两种表示方式的处理和对两个不同的文件处理是一样的，这一点必须注意。如：model:!6发点8收点运输问题;sets:warehouses/file(1_2.txt)/:capacity;vendors/file(1_2.txt)/:demand;links(warehouses,vendors):cost,volume;endsets!目标函数;min=sum(links:cost*volume);!需求约束;for(vendors(J):sum(warehouses(I):volume(I,J)=demand(J);!产量约束;for(warehouses(I):sum(vend

21、ors(J):volume(I,J)=30;End2warn(text,logical_condition)如果逻辑条件logical_condition为真，则产生一个内容为text的信息框。如：model:x=1;warn(x是正数,x#gt#0);end例、（生产计划安排问题）例、（生产计划安排问题）某企业用A,B两种原油混合成甲、乙两种成品油销售，数据见下表，表中百分比是成品油中原油A的最低含量。甲乙现有库存量 最大采购量A=50%=60%5001650B8001200成品油甲和乙的销售价与加工价之差分别为5和5.6（单位：千元/吨），原油A,B的采购价分别是采购量x（单位：吨）的分段

22、函数f(x)和g(x)，该企业的现有资金限额为 7200（千元），生产成品油乙的最大能力为2000吨，假设成品油全部能销售出去，试在充分利用现有资金和库存的条件下，合理安排采购和生产计划，使企业的效益最大.第三讲、lingo的应用1.下料问题例1：圆钢原材料每根长5.5m，现需要A,B,C三种圆钢材料，长度分别为3.1m,2.1m,1.2m,数量分别为100，200，400根，试安排下料方式，使所需圆钢材料的总数量最少。模型推广：例2：钢管原材料每根长19m，现需要A,B,C,D四种钢管部件，长度分别为4m,5m,6m,8m，数量分别为50，10，20，15根因不同下料方式之间的转换会增加成本

23、，因而要求不同的下料方式不超过3种，试安排下料方式，使所需圆钢材料的总数量最少。2 2、配料问题、配料问题例3：某疗养院营养师要为某类病人拟定本周蔬菜类菜单，病人每周需14份蔬菜，为了口味的原因，规定一周内的卷心菜不多于2份，胡萝卜不多于3份，其他蔬菜不多于4份且至少1份。在满足要求的前提下，制定费用最少的一周菜单方案。养分蔬菜每份蔬菜所含养分数量每份价格铁磷维A维C烟酸A1青豆0.4520415220.32.1A2胡萝卜 0.4528406550.351.0A3花菜0.6540850430.61.8A4卷心菜 0.42575270.21.2A5芹菜0.52676480.42.0A6土豆0.5

24、7523580.61.2每周最低需求6125 12500 34553、指派问题、指派问题例4：分配甲、乙、丙、丁、戊去完成A,B,C,D,E五项任务，每人完成一项，每个任务只能由一个人去完成。试作出任务分配总时间最少。任务人员ABCDE甲8610912乙9127119丙74358丁958118戊4675114、投资问题例5：某部门现有资金100万元，在今后五年内考虑以下四个项目投资，项目1：从第一年到第四年年初投资，并于次年末收回本利112%；项目2：第三年年初需要投资，到第五年末收回本利118%，但规定最多投资额不超过40万元；项目3：第二年年初需要投资到第五年末收回本利126%，但规定最多

25、投资额不超过30万元；项目4：五年内每年年初可购买公债，于当年末归还，并加息5%；试确定投资方案，使收益最大。5、装箱问题例6：已知30个物品，其中6个长0.51m，6个长0.27m，余下的12个长0.23m，箱子长1m。问至少需多少个箱子才能把30个物品全部装进箱子。6、选址问题例7：某公司有6个建筑工地要开工，工地的位置(xi,yi)（单位：km）和水泥日用量di（单位:t)见表，公司目前有两个临时料场，分别位于A(5,1)和B(2,7)，日存储量各20t，请解决以下问题（1）假设料场到工地之间均有直线道路相连，是制定日与运输计划，使总运费最少。（2）为了优化，打算舍弃目前两个临时料场，改

26、建两个新料场，日存储量仍各20t，问应建在何处为好？工地123456位置xi1.250.850.55.7537.25yi1.250.754.7556.57.75日用量di35476117、稀疏集、稀疏集 配对模型配对模型例8：某公司准备将8个职员安排到4个办公室，每室两人.根据以往观察，以致有些职员在一起时合作好，有些则不然，下表列出了两两之间的相融程度，数字越小代表相融越好。s1s2s3s4s5s6s7s8S1942156S2173521S344292S41552S5876S623S74s8装配线平衡模型装配线平衡模型 一条装配线含有一系列的工作站，在最终产品的加工过程中每个工作站执行一种或

27、几种特定的任务。装配线周期是指所有工作站完成分配给它们各自的任务所化费时间中的最大值。平衡装配线的目标是为每个工作站分配加工任务，尽可能使每个工作站执行相同数量的任务，其最终标准是装配线周期最短。不适当的平衡装配线将会产生瓶颈有较少任务的工作站将被迫等待其前面分配了较多任务的工作站。问题会因为众多任务间存在优先关系而变得更复杂，任务的分配必须服从这种优先关系。这个模型的目标是最小化装配线周期。有2类约束：要保证每件任务只能也必须分配至一个工作站来加工；(A)(B)(C)(F)(G)(K)(J)(I)(H)(E)(D)任务ABCDEFGHIJK时间4511950151212121289 要保证满

28、足任务间的所有优先关系。例例9有11件任务（AK）分配到4个工作站（14），任务的优先次序如下图。每件任务所花费的时间如下表。最短路问题最短路问题给定N个点组成集合pj，由集合中任一点pi到另一点pj的距离dij用表示，指定一个终点pn，要求从点pi出发到pn的最短路线。动态规划方法用所在的点pi表示状态，决策集合就是除pi以外的点，选定一个点pj以后，得到效益dij并转入新状态pj，当状态是pn时，过程停止。显然这是一个不定期多阶段决策过程。ABGDCFE42333231411应用实例（最优渡江路线）一、问题的提出一、问题的提出 2003年全国大学生建模竞赛D题1934年9月9日，武汉警备旅

29、官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程5000m.有44人参加横渡，40人到达终点。2001年，“武汉抢渡长江挑战赛”重现江城。2002年，正式命名为“武汉国际抢渡长江挑战赛”，于每年的5月1日进行。由于水情、水性的不可预测性，这种竞赛更富有挑战性和观赏性。2002年5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸嘴，江面宽约1160m。据报载，当日的平均水温16.8摄氏度，江水的平均流速为1.89m/s。参赛的国内外选手共186人（其中专业人员将近一半），仅有34人到达终点。第一名的成绩为14分8秒。除了气象条件外

30、，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。假设在竞渡区域两岸为平行直线，它们之间的垂直距离为1160m，从武汉汉阳门的正对岸到汉阳嘴的距离为1000m。请你们通过数学建模，分析下面问题：1、假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为1.89m/s。试说明2002年第一名是沿怎样的路线前进的，求他游泳速度的大小和方向。如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在1.5m/s的人选择游泳方向，评估及他的成绩。2、在1的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游，他们能否到达终点？根据你们的数学模型说明为什么1934年和2002年能诱导终点的人数的百分比 有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。3、若流速离岸边距离的分布为为（设从武昌汉阳门垂直向上为y轴正向）游泳者的速度大小仍保持不变，是为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。4、若流速沿离岸边距离为连续分布，如何处理此问题Thank you for your attendance!祝大家在数学建模活动中 有更大的收获！