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1、2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英 Department of Mathematics2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英第一章复习2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英第一节第一节集及其运算集及其运算2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英集合集合:具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体.通常用大写英文字母通常用大写英文字母A，B，X，Y等表示等表示.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.一般说来，我们总用小写字母一般说来，我们总用小写字母a,b,x,y表示集合中的元素。表示集合中的元素。有限集有限
2、集无限集无限集2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英定理1.1 分配律2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英定理1.2 (De Morgan公式)注：通过取余集，使注：通过取余集，使A与与Ac，与与互相转换互相转换2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英AB（其中S为全集）,简记为Ac2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英笛卡尔乘积2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英第二节映射.集的对等.可列集2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英一一.映射映射原原像像像像定义域定义域 D(f)值域值域 R(f)1.1.定义定义2023/1/27福州
3、大学数学与计算机学院聂建英称称f为单射为单射；则称则称f为满射；为满射；若f既为单射又是满射，则称f为一一映射。单射单射,满射满射,一一对应一一对应(一一映射一一映射)2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英2 对等与势对等与势定义定义2.2 设A,B是两非空集合，若存在着A到B的一一映射f（f既单又满），则称A与B对等,注：称与A对等的集合为与A有相同的势（基数），记作势是对有限集元素个数概念的推广记作约定2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英 1,2,3,4,5,6,a1,a2,a3,a4,a5,a6,与自然数集N对等的集合称为可数集或可列集，其基数记为1).可数集的定义
4、可数集的定义3.可数集合2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英例：1）Z=0，1，-1，2，-2，3，-3，2）0,1中的有理数全体 =0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,注：A可数当且仅当当且仅当 A可以写成无穷序列的形式a1,a2,a3,2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英可数集性质：定理定理2.1 2.1 任何无穷集都包含一个可任何无穷集都包含一个可数子集。数子集。（即可数集（即可数集是无限集中具有最小势的集合是无限集中具有最小势的集合)2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英可数集的性质（并集）可数集的性质（并集）有限集与可数集
5、的并仍为可数集有限集与可数集的并仍为可数集可数个可数集的并仍为可数集可数个可数集的并仍为可数集有限个可数集的并仍为可数集有限个可数集的并仍为可数集2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英例:有限个可数集的卡氏积是可数集设A，B是可数集，则AB也是可数集从而AB也是可数集（可数个可数集的并）利用数学归纳法数学归纳法即得有限个乘积的情形 x固定，y在变2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英整系数多项式方程的实根称为代数数；不是代数数的实数称为超越数。例例 4 代数数全体是可数集代数数全体是可数集常见可数集举例常见可数集举例:2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英第三节一
6、维开集闭集及其性质2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英定义定义3.13.1 若集合E的每一个点都E的内点，则称E为开集。2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英4.开集的性质 定理定理3.1a.空集，空集，R为开集为开集;b.任意多个开集之并仍为开集；任意多个开集之并仍为开集；c.有限个开集之交仍为开集。有限个开集之交仍为开集。A B2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英定义定义若若Ec为开集，则称为开集，则称E为闭集。为闭集。2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英定理定理3.2 E为闭集的充分必要条件是为闭集的充分必要条件是 证明证明:2023/1/2
7、7福州大学数学与计算机学院聂建英定义定义 若，则称若，则称 E为完全集为完全集2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英闭集的闭集的(等价等价)定义定义 若 ,则E为闭集.R中只有空集和R既开又闭，存在大量既不开又不闭的集合，如：E=0,1)定义定义3.32023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英定理3.3 任何集E的导集 E为闭集2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英闭集性质闭集性质:任意一簇闭集之交为闭集；任意一簇闭集之交为闭集；任意有限个闭集之并仍为闭集。任意有限个闭集之并仍为闭集。2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英例例8 8 f(x)f(x)是直线上
8、的连续函数当且仅当是直线上的连续函数当且仅当对任意实数对任意实数a a，E=x|f(x)aE=x|f(x)a和和E E1 1=x|f(x)a=x|f(x)a都是闭集都是闭集证明：我们先证充分性：证明：我们先证充分性：2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英而要证E=x|f(x)a是开集，只要证中的点都为内点()xf(x0)+f(x0)f(x0)-a由f(x)在x0处连续及极限的保号性极限的保号性知，存在存在0,当当|x-x0|a 任取x0 E=x|f(x)a,则f(x0)a,必要性必要性:若若f(x)是直线上的实值连续函数，是直线上的实值
9、连续函数，只要证对任意常数只要证对任意常数a，E=x|f(x)a与与E1=x|f(x)a是开集是开集2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英()xf(x0)+f(x0)f(x0)-a类似可证类似可证x|f(x)a为开集为开集,从而从而x|f(x)a=x|f(x)a,即即x0为为E的内点，从而的内点，从而E为开集；为开集；2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英第四节 开集的构造目的目的：掌握：掌握CantorCantor集的构造，集的构造，熟悉直线上开集与闭集的构造。熟悉直线上开集与闭集的构造。重点与难点重点与难点：CantorCantor集的构造。集的构造。2023/1/27
10、福州大学数学与计算机学院聂建英定义定义4.1 1 设设GG是直线上有界开集，如果开区是直线上有界开集，如果开区间满足下面条件间满足下面条件:则称区间则称区间 为为G的构成区间的构成区间.2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英定理定理4.1-1 4.1-1 直线直线R R中任何非空的中任何非空的有界开集有界开集G G都可都可表示为有限个或可数个互不相交的构表示为有限个或可数个互不相交的构成区间的并。成区间的并。2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英定理定理4.1-24.1-2 设设F F是非空的有界闭集，则是非空的有界闭集，则F F是由一闭是由一闭区间中去掉有限个或可数个互不
11、相交的开区区间中去掉有限个或可数个互不相交的开区间间(F(F的余区间的余区间)而成。而成。根据开集与闭集的互余关系，可得如下闭集根据开集与闭集的互余关系，可得如下闭集的构造定理的构造定理.2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英 定义定义 （i）若 ，即 的每一点都是 自身的聚点，则称 是自密集自密集；（ii）若 ，则称 是完备完备(全全)集集。二自密集、疏朗集、完备二自密集、疏朗集、完备(全全)集集 2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英 定义定义 若E是实直线R的子集,若 ，则称E为R中稠密集.当 的补集在R中稠密时,则称 为疏朗集.即 为疏朗集 在R中稠密。2023/1
12、/27福州大学数学与计算机学院聂建英例例1：CantorCantor三分集三分集 Cantor集的构造:将0，1均分为三段，删去中间的开区间 ，将剩下的两个区间 再次三等分，删去中间的两个区间 。如此继续下去，最终剩下的点集记作P，称之为CantorCantor集集。2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英Cantor集的性质集的性质注：第n次共去掉2n-1个长为1/3n的开区间b.mP=0.去掉的区间长度和去掉的区间长度和a.P是闭集是闭集.2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英c.P没有内点没有内点d.P中的点全为聚点中的点全为聚点,没有孤没有孤立点立点,P为完备为完备(
13、全全)集集.e.P(0,1)0,1 R+(a,b)(ab)2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英第五节集的势序集2023/1/27福州大学数学与计算机学院聂建英定义：与0,1区间对等的集合称为连续势集，其势记为 ，显然：例：例：1）R(0,1)0,1 0,1)R+(a,b)(aa,则f(x)a,由连续性局部保号性知()x f(x0)+f(x0)f(x0)-a例例3.可测集可测集E上的连续函数上的连续函数f(x)一定一定为可测函数为可测函数可测函数关于子集、并集的性质可测函数关于子集、并集的性质l即即:若若f(x)是是E上的可测函数上的可测函数,可测，则可测，则f(x)限限制在制在E1
14、上也是可测函数；上也是可测函数；3.可测函数的性质证明证明:注意到注意到l若若 ,f(x)限制在限制在En上是上是 可测函数，则可测函数，则f(x)在在E上也是可测函数。上也是可测函数。证明证明:注意到注意到 设设S S是某个命题或某个性质是某个命题或某个性质,若若S S在集在集E E上除了某个零测度集上除了某个零测度集外处处成立外处处成立,则称则称S S在在E E上几乎处上几乎处处成立处成立.记为记为S,a.e.S,a.e.于于E E 或或S,a.e.S,a.e.（almost everywherealmost everywhere）定义定义1.3 (几乎处处概念几乎处处概念)若若m(Em(
15、Efgfg)=0,)=0,则称则称f(x)=g(x)f(x)=g(x)在在 E E上几乎处处相等上几乎处处相等,记记f(x)=g(x)a.e.f(x)=g(x)a.e.于于E E。例如例如:几乎处处相等几乎处处相等例如例如:Dirichlet函数几乎处处等于函数几乎处处等于0例例3 设设f(x)=g(x)a.e.于于E，f(x)在在E上上可测，则可测，则g(x)在在E上也可测上也可测 例题说明例题说明,在一零测度集上改变函数的取在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性值不影响函数的可测性例如例如:几乎处处收敛几乎处处收敛 设设 是是E E上上的的函函数数列列，是是E E上上的函数，若存在
16、的函数，若存在 ，使，使 且对任意且对任意 ，有，有 则称在上几乎处处收敛到则称在上几乎处处收敛到f f，记作，记作若若fn(x)是可测集是可测集E上的可测函数上的可测函数列列,则下列函数仍为则下列函数仍为E上可测函数。上可测函数。定理1.1.为方便我们把一般函数分解成两为方便我们把一般函数分解成两个非负函数来考察个非负函数来考察.一般函数可分解成正部和负部如一般函数可分解成正部和负部如下：下：推论推论1 设设f(x)是可测集是可测集E上的可测函上的可测函数列数列,则下列函数在则下列函数在E上均为可测函数。上均为可测函数。推论推论2 若若fn(x)是可测集是可测集E上的可测上的可测函数列函数列
17、,则下列函数仍为则下列函数仍为E上可测函数。上可测函数。证明证明 两次应用定理两次应用定理1.1即可即可.推论推论3：可测函数列的极限函数仍为：可测函数列的极限函数仍为可测函数可测函数.(注注:连续函数列的极限函数不一定为连续函数列的极限函数不一定为连续函数连续函数).由于函数的可测性不受一个零测度集由于函数的可测性不受一个零测度集的值的影响的值的影响,于是我们有下面定理于是我们有下面定理1,2.定理定理1.2 1.2 如果如果 是是可测集可测集E E上的可测函数序列，上的可测函数序列，且几乎处处收敛到且几乎处处收敛到 ，即，即 则则 在在E E上可测。上可测。可测函数与简单函数的关系设设f(
18、x)是可测集是可测集E上的非负可测函数上的非负可测函数,则则存在非负递增的简单函数列存在非负递增的简单函数列使极限使极限 在在E上处处成立上处处成立.定理3.1设设f(x)f(x)是可测集是可测集E E上的可测函数上的可测函数,则则f(x)f(x)总可表示成一列简单函数总可表示成一列简单函数 的极限的极限而且还可办到而且还可办到注注:由于一般函数由于一般函数f f可表示成它的正部可表示成它的正部与负部之差与负部之差,对对f f的正部与负部分别应的正部与负部分别应用定理用定理1.31.3即得即得:定理定理(可测函数的充分必要条件可测函数的充分必要条件):):函数函数f(x)f(x)是可测集是可测
19、集E E上的可测函上的可测函数的充分必要条件是数的充分必要条件是f(x)f(x)总可表示总可表示为一列简单函数的极限为一列简单函数的极限.引理引理1.11.1 函数函数(x),(x),(x)(x)是可测集是可测集E E上上的简单函数的简单函数,则它们的和、差、积、则它们的和、差、积、商商(分母几乎处处不为零分母几乎处处不为零)仍然是简仍然是简单函数单函数.定理定理1.41.4 可测集可测集E E上的两个可测函数的和、上的两个可测函数的和、差、积、商差、积、商(假定运算几乎处处有定假定运算几乎处处有定义义)仍然是仍然是E E上可测函数上可测函数.第二节可测函数列的收敛性(1).它的上极限集定义为
20、它的上极限集定义为:定义定义2.1(2.1(上、下极限集上、下极限集)(2)下极限集定义为下极限集定义为:(3)如果集列如果集列 的上极限集与下极限的上极限集与下极限集相等，即集相等，即则称集列则称集列 收敛，称其共同的极限收敛，称其共同的极限为集列为集列 的极限集，记为：的极限集，记为：定义定义2.1：极限集：极限集容易知道上、下极限集有关系：定理定理：单调集列是收敛的：单调集列是收敛的.单调单调增增集列集列极限极限 函数逼近是分析中十分重要的问题，它的本质就是用“好”的或“简单”的函数去逼近“坏”的或“复杂”的函数.点点收敛点点收敛:函数列的几种收敛定义记作记作一致收敛一致收敛:记作记作:
21、去掉某个零测度集，在留下的集去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛合上处处收敛即几乎处处收敛几乎处处收敛:记作记作:例例1：试考察函数列：试考察函数列fn(x)=xn ,n=1,2,在在0,1上处处收敛上处处收敛(自然几乎收敛自然几乎收敛).但不一致收敛但不一致收敛(因为极限函数不连因为极限函数不连续续).但去掉一小测度集合但去掉一小测度集合(1-,1,在留在留下的集合上一致收敛下的集合上一致收敛.1-fn(x)=xn定义定义2.2 设设E为可测集为可测集,mE0,有有则称则称fn 在在E上依测度收敛于上依测度收敛于f,记作记作依测度收敛依测度收敛不依测度收敛不依测度收敛（1）处处收敛但不依
22、测度收敛n 在在R+上处处收敛于上处处收敛于 f(x)=1,几种收敛的区别几种收敛的区别例例2说明：当说明：当n越大，取越大，取1的点越多，故的点越多，故fn(x)在在R+上处处收敛于上处处收敛于1所以所以fn(x)在在R+上不依测度收敛于上不依测度收敛于1.又例又例.上述上述fn处处收敛于处处收敛于1但不近一致收敛于但不近一致收敛于f(x)=1n例例3 3（依测度收敛但处处不收敛）（依测度收敛但处处不收敛）取基本集取基本集E=0,1),n=2k+i,0i2k,k=0,1,2,3,0 1f1f60 1/4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 1f7f5f4
23、0 1f30 1f20 1/8 1/4 1f8fn如下图如下图:因为因为但是,对任何x0,1),fn(x)有两个子列，一个恒为1，一个恒为0，所以fn(x)在(0,1上处处不收敛；例：函数列fn(x)=xn在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛不一致收敛，但去掉一小测度集合(1-,1),在留下的集合上一致收敛一致收敛收敛的联系（叶果洛夫定理的引入）收敛的联系（叶果洛夫定理的引入）1-fn(x)=xn 设设E为可测集为可测集,mE+，fn，f是是E上上几乎处处有限的可测函数，几乎处处有限的可测函数，即：可测函数列的即：可测函数列的(收敛收敛)几乎处几乎处处收敛处收敛“基本上基本上”是
24、一致收敛是一致收敛.定理2.1(叶果洛夫定理)引理：设引理：设mE+，fn，f在在E上几乎处处有限且可测，上几乎处处有限且可测，注注:a.叶果洛夫定理中条件叶果洛夫定理中条件mE+不可少不可少n则fn 在R+上处处收敛于 f(x)=1,fn不几乎一致收敛于f于R+例例:设设定理2.2 (叶果洛夫定理的逆定理)Lebesgue定理：设mE+，fn，f在E上几乎处处有限且可测，叶果洛夫定理叶果洛夫定理 mE+Lebesgue定理 mE+叶果洛夫叶果洛夫逆定理逆定理 子列子列RieszRiesz定理定理 子列RieszRiesz定理证明的说明定理证明的说明定理定理2.4令令mE+，则，则 (1)若又
25、有若又有 ,则则f(x)=h(x)a.e.于于E。依测度收敛的性质（唯一性和四则运算）第三节可测函数的构造可测函数可测函数问：可测函数是否可表示成一列连续函数的极限？可测集E上的连续函数连续函数定为可测函数设设f(x)为为E上几乎处处有限的可测函数，上几乎处处有限的可测函数，则则 使得使得 m(E-F)且且f(x)在在F上连续。上连续。（去掉一小测度集，在留下的集合上成（去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数）即：可测函数为连续函数）即：可测函数“基本上基本上”是连续函数是连续函数定理3.1(鲁津定理)（1）任一可测集差不多就是开集（至多可数个开区间的并）（3）任一点点收敛的可测函数列集差
26、不多就是一致收敛列（2）任一可测函数差不多就是连续函数实变函数的三条原理（J.E.Littlewood）定理3.2(鲁津定理推论)若f(x)为 上几乎处处有限的可测函数，使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)0，存在闭集 ，使 且f(x)在 上连续，则f(x)是E上的可测函数 鲁津定理的逆定理一、可测函数的概念及其运算性质一、可测函数的概念及其运算性质.可测函数关于加、减、乘、除四可测函数关于加、减、乘、除四则运算和极限运算是封闭的。则运算和极限运算是封闭的。可测函数上、下确界函数和上、可测函数上、下确界函数和上、下极限函数还是可测的。下极限函数还是可测的。本章内容要点二、可测函数列的收敛
27、性、几乎处处收敛和依测度收敛是勒贝格积分理论中经常使用的收敛形式。叶果洛夫定理揭示了可测函数列几乎处处收敛与一致收敛之间的关系。通过它，可以把几乎处处收敛的函数列部分地“恢复”一致收敛，而一致收敛在许多问题的研究中都起着重要作用。勒贝格定理告诉我们：在测度有限的集合上，几乎处处收敛的可测函数列必是依测度收敛的，反之并不成立。黎斯定理指出：依测度收敛的可测函数列必有几乎处处收敛的子序列。三、可测函数的构造定理。连续函三、可测函数的构造定理。连续函数，单调函数等都是可测函数。反数，单调函数等都是可测函数。反之不然之不然(如迪里克雷函数如迪里克雷函数)。鲁金定理指出了可测函数与连鲁金定理指出了可测函
28、数与连续函数之间的关系，通过它常常能续函数之间的关系，通过它常常能把可测函数的问题又转化为关于连把可测函数的问题又转化为关于连续函数的问题来讨论，从而带来很续函数的问题来讨论，从而带来很大的方便。大的方便。四、关于论证方法和技巧方面也有四、关于论证方法和技巧方面也有不少值得注意的。不少值得注意的。如定理证明中的构造方法是富如定理证明中的构造方法是富有启发性的；叶果洛夫定理证明中有启发性的；叶果洛夫定理证明中的思想和分析的方法以及鲁金定理的思想和分析的方法以及鲁金定理证明中先考虑简单函数、然后再往证明中先考虑简单函数、然后再往一般的可测函数过渡，这种由特殊一般的可测函数过渡，这种由特殊到一般的证明方法在许多场合都是到一般的证明方法在许多场合都是行之有效的。行之有效的。Its The End！Thank You！Department of MathematicsReal Analysis