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1、1专题专题 3.23.2 一次函数一次函数 一、单选题1在平面直角坐标系中，过点（1,2）作直线 l，若直线 l 与两坐标轴围成的三角形面积为 4，则满足条件的直线 l 的条数是（ ）A. 5 B. 4 C. 3 D. 2【来源】江苏省宿迁市 2018 年中考数学试卷【答案】C【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴交点问题，三角形的面积等，解本题的关键是确定出直线y=kx+b 与 x 轴、y 轴的交点坐标.2把函数向上平移 3 个单位，下列在该平移后的直线上的点是( )A. B. C. D. 【来源】广东省深圳市 2018 年中考数学试题【答案】D【解析】 【分析】根据直线平移的规律得到平移后
2、的直线解析式，然后把 x=2 代入平移后的解析式即可作出判断.【详解】由“上加下减”的原则可知，将直线 y=x 向上平移 3 个单位后，所得直线的表达式是 y=x+3，当 x=2 时，y=x+3=2+3=5，所以点（2，5）在平移后的直线上，故选 D.2【点睛】本题考查了一次函数的平移以及一次函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键3将直线向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位后，所得的直线的表达式为（ ）A. B. C. D. 【来源】湖南省娄底市 2018 年中考数学试题【答案】A【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键二、填空题
3、4如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，O经过A，B两点，已知AB=2，则 的值为_【来源】江苏省连云港市 2018 年中考数学试题【答案】【解析】分析：由图形可知：OAB 是等腰直角三角形，AB=2，可得 A，B 两点坐标，利用待定系数法可求k 和 b 的值，进而得到答案详解：由图形可知：OAB 是等腰直角三角形，OA=OBAB=2，OA2+OB2=AB2，OA=OB=，A 点坐标是（，0） ，B 点坐标是（0，） ，一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，3将 A，B 两点坐标带入 y=kx+b，得 k=-1，b=， =-.故答
4、案为：-.点睛：本题主要考查图形的分析运用和待定系数法求解析，找出 A，B 两点的坐标对解题是关键之举5如图，直线与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，C 是 OB 的中点，D 是 AB 上一点，四边形OEDC 是菱形，则OAE 的面积为_【来源】浙江省温州市 2018 年中考数学试卷【答案】把 y=0 代入 y = x + 4 得出 x=,A(,0);OA=,4点睛: 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数 y=kx+b， （k0，且 k，b 为常数）的图象是一条直线它与 x 轴的交点坐标是（- ，0） ；与 y 轴的交点坐标是（0，b） 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式 y
5、=kx+b也考查了菱形的性质. 6如图,点的坐标为,过点作不轴的垂线交直于点以原点 为圆心,的长为半径断弧交 轴正半轴于点；再过点作 轴的垂线交直线 于点,以原点 为圆心,以的长为半径画弧交 轴正半轴于点；按此作法进行下去,则的长是_【来源】山东省潍坊市 2018 年中考数学试题【答案】【解析】分析：先根据一次函数方程式求出 B1点的坐标，再根据 B1点的坐标求出 A2点的坐标，得出 B2的坐标，以此类推总结规律便可求出点 A2019的坐标，再根据弧长公式计算即可求解， 详解：直线 y=x，点 A1坐标为（2，0） ，过点 A1作 x 轴的垂线交 直线于点 B1可知 B1点的坐标为（2，2）
6、，以原 O 为圆心，OB1长为半径画弧 x 轴于点 A2，OA2=OB1，OA2=，点 A2的坐标为（4，0） ，5这种方法可求得 B2的坐标为（4，4） ，故点 A3的坐标为（8，0） ，B3（8，8）以此类推便可求出点 A2019的坐标为（22019，0） ，则的长是故答案为：点睛：本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，做题时要注意数形结合思想的运用，是各地的中考热点，学生在平常要多加训练，属于中档题7将直线向上平移 2 个单位长度，平移后直线的解析式为_【来源】天津市 2018 年中考数学试题【答案】点睛：本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式
7、有这样一个规律“左加右减，上加下减” 8已知点 A 是直线 y=x+1 上一点，其横坐标为 ，若点 B 与点 A 关于 y 轴对称，则点 B 的坐标为_【来源】四川省宜宾市 2018 年中考数学试题【答案】( , )【解析】分析：利用待定系数法求出点 A 坐标，再利用轴对称的性质求出点 B 坐标即可；详解：由题意 A（- ， ） ，A、B 关于 y 轴对称，B（ ， ） ，故答案为（ ， ） 点睛：本题考查一次函数的应用、轴对称的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型9已知点在直线上，也在双曲线上，则 m2+n2的值为_【来源】四川省宜宾市 2018 年中考数学试题6【答案
8、】6点睛：此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征，正确得出 m，n 之间的关系是解题关键10如图,点的坐标为,过点作不轴的垂线交直于点以原点 为圆心,的长为半径断弧交 轴正半轴于点；再过点作 轴的垂线交直线 于点,以原点 为圆心,以的长为半径画弧交 轴正半轴于点；按此作法进行下去,则的长是_【来源】山东省潍坊市 2018 年中考数学试题【答案】【解析】分析：先根据一次函数方程式求出 B1点的坐标，再根据 B1点的坐标求出 A2点的坐标，得出 B2的坐标，以此类推总结规律便可求出点 A2019的坐标，再根据弧长公式计算即可求解， 详解：直线 y=x，点 A1坐标为（
9、2，0） ，过点 A1作 x 轴的垂线交 直线于点 B1可知 B1点的坐标为（2，2） ，以原 O 为圆心，OB1长为半径画弧 x 轴于点 A2，OA2=OB1，7点睛：本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，做题时要注意数形结合思想的运用，是各地的中考热点，学生在平常要多加训练，属于中档题11如图，在等腰中，点 的坐标为，若直线 ：把分成面积相等的两部分，则的值为_【来源】江苏省扬州市 2018 年中考数学试题【答案】【解析】分析：根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意即可列出相应的方程，从而可以求得 m 的值详解：y=mx+m=m（x+1） ，函数 y=mx+m 一定过点（-1，0） ，
10、当 x=0 时，y=m，点 C 的坐标为（0，m） ，由题意可得，直线 AB 的解析式为 y=-x+2，得，8直线 l：y=mx+m（m0）把ABO 分成面积相等的两部分，解得，m=或 m=（舍去） ，故答案为：点睛：本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答 12如图，一次函数与的图象相交于点，则关于 的不等式组的解集为_【来源】2018 年甘肃省武威市（凉州区）中考数学试题【答案】【点评】考查一次函数与一次不等式，会数形结合是解题的关键.13已知长方体容器的底面是边长为 2cm 的正方形（高度不限） ，容器内
11、盛有 10cm 高的水，现将底面是边长 1cm 的正方形、高是 xcm 的长方体铁块竖直放入容器内（铁块全部在水里） ，容器内的水高 y 关于 x 的函数关系式为_.9【来源】浙江省义乌市 2018 年中考数学试题【答案】.点睛：本题考查了根据实际问题列一次函数关系式，正确表示放入长方体铁块后增加的水高是解题的关键14两地相距的路程为 240 千米，甲、乙两车沿同一线路从 地出发到 地，分别以一定的速度匀速行驶，甲车先出发 40 分钟后，乙车才出发.途中乙车发生故障，修车耗时 20 分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了 10 千米/小时（仍保持匀速前行） ，甲、乙两车同时到达 地.甲、乙两车
12、相距的路程 （千米）与甲车行驶时间 （小时）之间的关系如图所示，求乙车修好时，甲车距 地还有_千米.【来源】 【全国省级联考】2018 年重庆市中考数学试卷（A 卷）【答案】90【解析】 【分析】观察图象可知甲车 40 分钟行驶了 30 千米，由此可求出甲车速度，再根据甲车行驶小时时与乙车的距离为 10 千米可求得乙车的速度，从而可求得乙车出故障修好后的速度，再根据甲、乙两车同时到达 B 地，设乙车出故障前走了 t1小时，修好后走了 t2小时，根据等量关系甲车用了小时行驶了全程，乙车行驶的路程为 60t1+50t2=240，列方程组求出 t2，再根据甲车的速度即可知乙车修好时甲车距 B 地的路
13、程.【详解】甲车先行 40 分钟（） ，所行路程为 30 千米，因此甲车的速度为（千米/时） ，设乙车的初始速度为 V乙，则有，10解得：（千米/时） ，因此乙车故障后速度为：60-10=50（千米/时） ，设乙车出故障前走了 t1小时，修好后走了 t2小时，则有，解得：，452=90（千米） ，故答案为：90.【点评】 本题考查了一次函数的实际应用，难度较大，求出速度后能从题中找到必要的等量关系列方程组进行求解是关键.15实验室里有一个水平放置的长方体容器，从内部量得它的高是，底面的长是，宽是，容器内的水深为.现往容器内放入如图的长方体实心铁块（铁块一面平放在容器底面） ，过顶点 的三条棱的
14、长分别是，当铁块的顶部高出水面时， ， 满足的关系式是_【来源】2018 年浙江省绍兴市中考数学试卷解析【答案】或故答案为：或【点评】考查函数关系式的建立，解题的关键是找到题目中的等量关系.1116星期天，小明上午 8：00 从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家他离家的距离 y（千米）与时间 t（分钟）的关系如图所示，则上午 8：45 小明离家的距离是_千米【来源】浙江省衢州市 2018 年中考数学试卷【答案】1.5点睛：本题主要考查了一次函数的应用，关键是正确理解题意，掌握待定系数法求出函数解析式三、解答题17某种型号汽车油箱容量为 40L，每行驶 100km 耗油 10L.设一辆加
15、满油的该型号汽车行驶路程为 x（km） ，行驶过程中油箱内剩余油量为 y（L）（1）求 y 与 x 之间的函数表达式；（2）为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时油箱内剩余油量不低于油箱容量的四分之一，按此建议，求该辆汽车最多行驶的路程.【来源】江苏省宿迁市 2018 年中考数学试卷【答案】 （1）y 与 x 之间的函数表达式为：y=40-x（0x400） ；（2）该辆汽车最多行驶的路程为300.12【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，弄清题意，找出各个量之间的关系是解题的关键.18学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步
16、行且同时出发，乙先到达目的地.两人之间的距离 y（米）与时间 t（分钟）之间的函数关系如图所示.（1）根据图象信息，当 t=_分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为_米/分钟；（2）求出线段 AB 所表示的函数表达式.【来源】江苏省盐城市 2018 年中考数学试题【答案】 （1）24；40；（2）线段 AB 的表达式为：y=40t（40t60）【解析】分析：（1）根据图象信息，当 t=24 分钟时甲乙两人相遇，甲 60 分钟行驶 2400 米，根据速度=路程时间可得甲的速度；（2）由 t=24 分钟时甲乙两人相遇，可得甲、乙两人的速度和为 240024=100 米/分钟，减去甲的速度得出乙的速度，再求
17、出乙从图书馆回学校的时间即 A 点的横坐标，用 A 点的横坐标乘以甲的速度得出 A 点的纵坐标，再将 A、B 两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出线段 AB 所表示的函数表达式详解：（1）根据图象信息，当 t=24 分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为 240060=40 米/分钟（2）甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，t=24 分钟时甲乙两13人相遇，点睛：本题考查了一次函数的应用，路程、速度、时间的关系，用待定系数法确定函数的解析式，属于中考常考题型读懂题目信息，从图象中获取有关信息是解题的关键19为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种
18、花卉.经市场调查，甲种花卉的种植费用 （元）与种植面积之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米 100 元.（1）直接写出当和时， 与 的函数关系式；（2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共，若甲种花卉的种植面积不少于，且不超过乙种花卉种植面积的 2 倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植费用最少？最少总费用为多少元？【来源】四川省成都市 2018 年中考数学试题【答案】 （1）；（2）应分配甲种花卉种植面积为，乙种花卉种植面积为，才能使种植总费用最少，最少总费用为 119000 元.14【解析】分析：（1）由图可知 y 与 x 的函数关系式是分段函数，待定系数法求解
19、析式即可（2）设甲种花卉种植为 a m2，则乙种花卉种植（12000-a）m2，根据实际意义可以确定 a 的范围，结合种植费用 y（元）与种植面积 x（m2）之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少点睛：本题是看图写函数解析式并利用解析式解决问题的题目，考查分段函数的表达和分类讨论的数学思想 20某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式.方式一：先购买会员证，每张会员证 100 元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费 5 元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费 9 元.设小明计划今年夏季游泳次数为 （ 为正整数）.（）根据题意，填写下表：游泳次数101520方式一的总费用（元）150175方式二
20、的总费用（元）90135（）若小明计划今年夏季游泳的总费用为 270 元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？（）当时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由.【来源】天津市 2018 年中考数学试题【答案】 （）200，180，.（）小明选择方式一游泳次数比较多. （）当时，有，小明选择方式二更合算；当时，有，小明选择方式一更合算.15【解析】分析：（）根据题意得两种付费方式 ，进行填表即可；（）根据（1）知两种方式的关系，列出方程求解即可；（）当时，作差比较即可得解.点睛：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答21 “扬州漆器”名
21、扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为 30 元/件，每天销售量 （件）与销售单价 （元）之间存在一次函数关系，如图所示.（1）求 与 之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于 240 件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出 150 元给希望工程，为了保证捐款后每天16剩余利润不低于 3600 元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.【来源】江苏省扬州市 2018 年中考数学试题【答案】 （1）；（2）单价为 46 元时，利润最大为 3840 元.（3）单价的范围是 45 元到 55元.详解
22、：（1）由题意得： 故 y 与 x 之间的函数关系式为：y=-10x+700，（2）由题意，得-10x+700240，解得 x46，设利润为 w=（x-30）y=（x-30） （-10x+700） ，w=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，-100，x50 时，w 随 x 的增大而增大，x=46 时，w大=-10（46-50）2+4000=3840，答：当销售单价为 46 元时，每天获取的利润最大，最大利润是 3840 元；17点睛：此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模
23、型是解答本题的重点和难点22小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第回到家中.设小明出发第时的速度为，离家的距离为. 与 之间的函数关系如图所示（图中的空心圈表示不包含这一点）.（1）小明出发第时离家的距离为 ；（2）当时，求 与 之间的函数表达式；（3）画出 与 之间的函数图像.【来源】江苏省南京市 2018 年中考数学试卷【答案】 （1）200；（2）；（3）图象见解析.【解析】分析：（1）观察图象可知，第时的速度为 100m,所以离家的距离为 200m；(2)根据路程=速度时间即可得出;(3)根据跑步的时间和速度,求出跑步的总路程,再除以 2 即可求出最远距离,此时所
24、用的时间为 6.25 分,根据题意画出这 4 段函数即可.详解：18（3） 与 之间的函数图像如图所示.点睛：本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，路程=速度时间，从图形中准确获取信息是解题的关键. 23如图，在平面直角坐标系中，直线过点且与 轴交于点 ，把点 向左平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位，得到点 .过点 且与平行的直线交 轴于点 .（1）求直线的解析式；（2）直线与交于点 ，将直线沿方向平移，平移到经过点 的位置结束，求直线在平移过程中与 轴交点的横坐标的取值范围.【来源】 【全国省级联考】2018 年重庆市中考数学试卷（A 卷）【答案】 （1）（2
25、）【解析】 【分析】 （1）由题意先求出点 A 的坐标，再根据平移求得点 C 的坐标，由直线 CD 与 y=2x 平行，19可设直线 CD 的解析式为 y=2x+b，代入点 C 坐标利用待定系数法即可得；（2）先求得点 B 坐标，根据直线平移后经过点 B，可得平移后的解析式为 y=2x+3，分别求得直线 CD、直线 BF 与 x 轴的交点坐标即可得到平移过程中与 x 轴交点横坐标的取值范围.（2）将代入中，得，即，故平移之后的直线的解析式为，令，得，即，将代入中，得，即，平移过程中与 轴交点的取值范围是：.【点评】本题主要考查了一次函数的平移，待定系数法等，明确直线平移 k 值不变是解题的关键
26、.24如图，RtOAB 的直角边 OA 在 x 轴上，顶点 B 的坐标为（6，8） ，直线 CD 交 AB 于点 D（6，3） ，交 x轴于点 C（12，0） （1）求直线 CD 的函数表达式；（2）动点 P 在 x 轴上从点（10，0）出发，以每秒 1 个单位的速度向 x 轴正方向运动，过点 P 作直线 l垂直于 x 轴，设运动时间为 t点 P 在运动过程中，是否存在某个位置，使得PDA=B？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；请探索当 t 为何值时，在直线 l 上存在点 M，在直线 CD 上存在点 Q，使得以 OB 为一边，O，B，M，Q 为顶点的四边形为菱形，并求出此时
27、t 的值20【来源】浙江省衢州市 2018 年中考数学试卷【答案】 （1）直线 CD 的解析式为 y= x+6；（2）满足条件的点 P 坐标为（，0）或（，0） 满足条件的 t 的值为或详解：（1）设直线 CD 的解析式为 y=kx+b，则有，解得，直线 CD 的解析式为 y= x+6（2）如图 1 中，作 DPOB，则PDA=BDPOB，21，OP=6，P（，0） ，根据对称性可知，当 AP=AP时，P（，0） ，满足条件的点 P 坐标为（，0）或（，0） 如图 2 中，当 OP=OB=10 时，作 PQOB 交 CD 于 Q如图 3 中，当 OQ=OB 时，设 Q（m， m+6） ，22点
28、睛：本题考查了一次函数综合题、待定系数法、菱形的判定、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数的交点坐标25一辆汽车行驶时的耗油量为 0.1 升/千米，如图是油箱剩余油量 （升）关于加满油后已行驶的路程（千米）的函数图象.（1）根据图象，直接写出汽车行驶 400 千米时，油箱内的剩余油量，并计算加满油时油箱的油量；（2）求 关于 的函数关系式，并计算该汽车在剩余油量 5 升时，已行驶的路程.【来源】2018 年浙江省绍兴市中考数学试卷解析【答案】 （1）汽车行驶 400 千米，剩余油量 30 升，加满油时，油量为 70 升
29、；（2）已行驶的路程为 650千米.【解析】 【分析】 （1）观察图象，即可得到油箱内的剩余油量,根据耗油量计算出加满油时油箱的油量；用待定系数法求出一次函数解析式，再代入进行运算即可.【解答】 （1）汽车行驶 400 千米，剩余油量 30 升，23即加满油时，油量为 70 升.（2）设，把点，坐标分别代入得，当时，即已行驶的路程为 650 千米.【点评】考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征等，关键是掌握待定系数法求函数解析式. 26如图，公交车行驶在笔直的公路上，这条路上有 ， ， ， 四个站点，每相邻两站之间的距离为 5千米，从 站开往 站的车称为上行车，从 站开往
30、站的车称为下行车.第一班上行车、下行车分别从 站、站同时发车，相向而行，且以后上行车、下行车每隔 10 分钟分别在 ， 站同时发一班车，乘客只能到站点上、下车（上、下车的时间忽略不计） ，上行车、下行车的速度均为 30 千米/小时.（1）问第一班上行车到 站、第一班下行车到 站分别用时多少？（2）若第一班上行车行驶时间为 小时，第一班上行车与第一班下行车之间的距离为 千米，求 与 的函数关系式.（3）一乘客前往 站办事，他在 ， 两站间的 处（不含 ， 站） ，刚好遇到上行车，千米，此时，接到通知，必须在 35 分钟内赶到，他可选择走到 站或走到 站乘下行车前往 站.若乘客的步行速度是 5千米
31、/小时，求 满足的条件.【来源】2018 年浙江省绍兴市中考数学试卷解析【答案】 （1）第一班上行车到 站用时 小时，第一班下行车到 站用时 小时；（2）当时，当时，；（3）或. 【解答】 （1）第一班上行车到 站用时小时.第一班下行车到 站用时小时.24（2）当时，.当时，.如果乘不上右侧第一辆下行车，只能乘右侧第二辆下行车，符合题意.如果乘不上右侧第二辆下行车，只能乘右侧第三辆下行车，不合题意.综上，得.当时，乘客需往 站乘坐下行车，离他左边最近的下行车离 站是千米，离他右边最近的下行车离 站也是千米，如果乘上右侧第一辆下行车，不合题意.如果乘不上右侧第一辆下行车，只能乘右侧第二辆下行车，25，符合题意.【点评】考查一次函数，一元一次不等式等的实际应用. 解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题， 学会构建一次函数和一元一次不等式.