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1、第4章 立体的投影及表面交线4.1 平面立体平面立体4.2曲面立体曲面立体4.3两回两回转体表面相交体表面相交1表面全部由平面围成的立体，称为平平面面立立体体。平面立体上相邻表面的交线称为棱线棱线。平面立体主要分为棱柱棱柱和棱锥棱锥两种。4.1 平面立体平面立体一、棱柱一、棱柱二、棱锥二、棱锥2.几何特征几何特征 两两个个底底面面(全全等等且且相相互互平平行行的的多边形多边形)若若干干侧侧棱棱面面(侧侧棱棱面面为为矩矩形形或或平行四边形平行四边形)侧侧棱棱线线相相互互平平行行，侧侧棱棱线线与与底底面垂直的称为直棱柱面垂直的称为直棱柱这里只讨论直棱柱这里只讨论直棱柱(以正五棱以正五棱柱为例柱为例
2、)。一、棱柱一、棱柱3一、棱柱一、棱柱一、棱柱一、棱柱投影投影水平投影水平投影正面投影正面投影侧面投影侧面投影主视主视主视主视俯视俯视俯视俯视左左左左视视视视V VHHWWY Y1 1Y Y1 1棱柱类立体的投影特征：棱柱类立体的投影特征：棱柱类立体的棱面在某一投影面上有积聚性。棱柱类立体的棱面在某一投影面上有积聚性。Y Y2 2Y Y2 24一、棱柱一、棱柱一、棱柱一、棱柱(6)(6)(7)(7)V VHHWWY Y1 1Y Y1 1Y Y2 2Y Y2 21 12 23 34 45 57 76 63 35 54 42 21 133112244557766112(3)2(3)4(5)4(5)
3、6(7)6(7)表面取点和线表面取点和线5P PV2V2114(5)4(5)6(7)6(7)2 21 13 35 54 411667722334455截平面与立体表面的交线。截平面与立体表面的交线。性质：性质：截平面与立体表面的共有线。截平面与立体表面的共有线。是一个封闭的平面图形。是一个封闭的平面图形。求截交线方法：求截交线方法：共有线共有线共有点共有点表面取点表面取点动画动画动画动画P PV1V12(3)2(3)4 4截交线截交线6.几何特征几何特征 一个多边形底面一个多边形底面侧棱面为三角形侧棱面为三角形所有侧棱线交于一点所有侧棱线交于一点二、棱锥二、棱锥（三棱锥）（三棱锥）7S SA
4、AB BC Cs sa ab bc cs saab(c)b(c)ssccaabb棱锥类立体的投影特征：棱锥类立体的投影特征：棱锥类立体的棱面一般情况下在三个投影面棱锥类立体的棱面一般情况下在三个投影面上都没有积聚性。上都没有积聚性。二、棱锥二、棱锥二、棱锥二、棱锥投影投影水平投影水平投影正面投影正面投影侧面投影侧面投影8s sa(b)a(b)2(3)2(3)11441 12 23 34 4Y YY YY YY Y1 14 42 23 344113322s sb ba a二、棱锥二、棱锥二、棱锥二、棱锥表面取点和线表面取点和线92(3)2(3)11441 14 43 344113322P PV1
5、V1P PV2V2动画动画动画动画4 4截交线截交线102 22(3)2(3)11441 14 42 23 344113322动画动画动画动画4 4截交线截交线114.2曲面立体曲面立体表面由曲面或曲面和平面所围成立体，称为曲曲面立体面立体。常见曲面是回回转转面面，它是由一直线或曲线以一定直线为轴线回转形成。由回转曲面组成的立体，称回转体回转体，如圆柱体圆柱体、圆锥体圆锥体、球体球体等。一、圆柱一、圆柱二、圆锥二、圆锥三、球三、球四、平面与复合回转体相交四、平面与复合回转体相交12.形形 成成底面为两个全等且平行的圆底面为两个全等且平行的圆侧面为圆柱面（与两底垂直）侧面为圆柱面（与两底垂直）一
6、、圆柱体一、圆柱体2.2.几何特征几何特征13圆柱的投影特征：圆柱的投影特征：圆柱面在某一投影面上有积聚性。圆柱面在某一投影面上有积聚性。3.3.圆柱的投影圆柱的投影14YYYYYYYY17(8)6(8)5(7)481(2)2123(4)3435(6)576123456784圆柱的表面取点和线圆柱的表面取点和线方法：方法：方法：方法：利用圆柱面在某一投影面上有积聚性。155.5.圆柱体截交线圆柱体截交线圆柱体截交线的种类圆柱体截交线的种类161(2)求特殊位置的点。）交线在各投影面的投影形状。分析）空间交线的形状。求一般位置的点。7(8)15(7)482123(4)35(6)76(8)56PV
7、2PV143步骤：步骤：光滑连接各点。求圆柱体的截交线求圆柱体的截交线1718.形形 成成底面为圆底面为圆侧面为圆锥面侧面为圆锥面2.2.几何特征几何特征二、圆锥体二、圆锥体19圆锥的投影特征：圆锥的投影特征：圆锥面在三个投影面上都没有积聚性。圆锥面在三个投影面上都没有积聚性。3.3.圆锥的投影圆锥的投影20221 1112 21122b ba a4 43 344331 12 23(4)3(4)3 34 4s ss sssa(b)a(b)S Ss ss sssA AB Ba(b)a(b)3(4)3(4)3 34 44433圆锥的表面取点的方法：圆锥的表面取点的方法：辅助素线法辅助素线法辅助纬圆
8、法辅助纬圆法4.4.表面取点和线表面取点和线21圆锥体截交线的种类圆锥体截交线的种类5 5.圆圆锥锥体体的的截截交交线线2223P PH1H111223 3334 45 544551 1求特殊位置的点。求特殊位置的点。求特殊位置的点。求特殊位置的点。）交线在各投影面的投影）交线在各投影面的投影）交线在各投影面的投影）交线在各投影面的投影形状。形状。形状。形状。分析分析分析分析）空间交线的形状）空间交线的形状）空间交线的形状）空间交线的形状。求一般位置的点。求一般位置的点。求一般位置的点。求一般位置的点。步骤：光滑连接各点。光滑连接各点。光滑连接各点。光滑连接各点。2 2求圆锥体的截交线求圆锥体
9、的截交线24P PV1V1Y YY Y221 1112 211224 43 344333(4)3(4)66556 65 5Y YY Y5(6)5(6)求圆柱体的截交线举例求圆柱体的截交线举例25三、球三、球.形形 成成262.2.圆球的投影圆球的投影3.3.圆球的表面取点和线圆球的表面取点和线 （）方法：辅助纬圆法。主视主视主视主视俯视俯视俯视俯视左视左视左视左视274.4.平面与圆球相交（截交线）平面与圆球相交（截交线）28 Y Y1 1Y Y1 1Y Y1 1Y Y1 1Y YY YP PV1V1 （）66555(6)5(6)6 65 57(8)7(8)88777 78 8Y YY Y求球
10、的截交线求球的截交线29P PV3V3P PV1V1P PV2V2例补全缺口圆球的水平投影和侧面投影。30P PV4V45 57 76 64 4Y YY YY YY Y11P PV1V1P PV2V2P PV3V38 8111 12(3)2(3)4(5)4(5)6(7)6(7)10105(7)5(7)4(6)4(6)8(9)8(9)101099889 92 23 310102233Y YY YY YY YR RY YY YY YY Y例：求如图所示平面与复合回转相交后的投影和交线。四、平面与复合回转体相交四、平面与复合回转体相交31相贯线相贯线相贯线相贯线相贯体相贯体相贯体相贯体相贯体相贯体相
11、贯体相贯体相贯线相贯线立体相交后表面产生的交线。立体相交后表面产生的交线。性质：性质：）是相交两立体表面的共有线。）是相交两立体表面的共有线。）一般来说交线是一封闭的空间图形。）一般来说交线是一封闭的空间图形。方法：方法：相贯线相贯线共有线共有线共有点共有点表示取点表示取点a).利用积聚性利用积聚性b).辅助平面法辅助平面法作图步骤：作图步骤：分析交线在各投影分析交线在各投影面的投影形状。面的投影形状。作特殊位置的点。作特殊位置的点。作一般位置的点。作一般位置的点。光滑连接各点。光滑连接各点。4.3两回转体表面相交两回转体表面相交32YYYY例一求两实心圆柱正交的相贯线。例一求两实心圆柱正交的
12、相贯线。12121(2)343(4)78655(7)6(8)7(8)5(6)4365348712作图步骤：作图步骤：投影及交线分析投影及交线分析求特殊位置点求特殊位置点求一般位置点求一般位置点判断可见性并光判断可见性并光滑连接各点滑连接各点结论：结论：解题方法：解题方法：交线在水平面和侧交线在水平面和侧面上有积聚性且已知，面上有积聚性且已知，在正面上未知在正面上未知。已知交线的两面投影求第三面投影，可利用交已知交线的两面投影求第三面投影，可利用交线的积聚性求得。线的积聚性求得。一、利用积聚性求相贯线（圆柱与圆柱正交）一、利用积聚性求相贯线（圆柱与圆柱正交）33例二例二求空心圆柱与空心圆柱、空心
13、圆柱与实心求空心圆柱与空心圆柱、空心圆柱与实心圆柱相交后的交线。圆柱相交后的交线。34ORRR圆柱与圆柱正交相贯线的近似画法圆柱与圆柱正交相贯线的近似画法相贯线朝向：相贯线朝向：总是向大圆柱轴线方向靠近。35RPW33(4)YYYYPW1主视主视主视主视俯视俯视俯视俯视左视左视左视左视例例三三求求如如图图所所示示圆圆柱柱与与圆圆锥锥相相交交（圆圆柱柱穿穿过圆锥）的相贯线。过圆锥）的相贯线。2211123443PW2565876787(8)5(6)1 15 53 32 2R27 7R3YYYY作图步骤：作图步骤：投影及交线分析投影及交线分析求特殊位置点求特殊位置点求一般位置点求一般位置点判断可见
14、性并光判断可见性并光滑连接各点滑连接各点交线的投影分析结论：交线在侧面有积聚性且已知，在其它两个面上未知。解题方法：解题方法：辅助平面法。二、利用辅助平面法求相贯线二、利用辅助平面法求相贯线36辅助平面的选择原则：辅助平面的选择原则：辅助平面的选择原则：辅助平面的选择原则：辅助平面切相贯体产生的辅助平面切相贯体产生的截交线在投影面上可直接画出截交线在投影面上可直接画出（即截交线为直线和圆）。（即截交线为直线和圆）。P PV3V3P PV2V2P PV1V1正确正确正确正确正确正确正确正确不恰当不恰当不恰当不恰当37PV2R1YYYYYYYY主视主视俯视俯视左视左视例四：例四：求如图所示圆台与半
15、球相交后的相贯 线的投影。1投影及交线分析投影及交线分析作图步骤：作图步骤：求一般位置点求一般位置点判断可见性并光判断可见性并光 滑连接各点滑连接各点求特殊位置点求特殊位置点交线的投影分析结论：交线的投影分析结论：交线的投影在三个投影面上都没有积聚性且都未知。解题方法：解题方法：辅助平面法22112PV13443R26565123465动画动画r25(6)3(4)138当两回转体相交并公切当两回转体相交并公切于一球时，相贯线为平于一球时，相贯线为平面曲线（椭圆）。面曲线（椭圆）。当两回转体同轴相交当两回转体同轴相交时，相贯线为垂直于时，相贯线为垂直于轴线的圆。轴线的圆。三、相贯线的特殊情况三、相贯线的特殊情况39