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1、全微分方程全微分方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五节第五节定理定理4.1 P,Q 在某单连通域在某单连通域D内有连续一阶偏导数内有连续一阶偏导数,为全微分方程为全微分方程 则则求解步骤求解步骤:方法方法1 凑微分法凑微分法;方法方法2 利用积分与路径无关的条件利用积分与路径无关的条件.1.求原函数求原函数 u(x,y)2.由由 d u=0 知通解为知通解为 u(x,y)=C.一、全微分方程一、全微分方程则称则称为为全微分方程全微分方程(又叫做又叫做恰当方程恰当方程).机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.1 求解方程求解方程解：解：因此原方程为全微分方程因此原方程为全微分方程.
2、取取x0=0,y0=0,利用公式得利用公式得其中其中C为任意常数为任意常数.例例4.2 求解初值问题求解初值问题解：解：因此原方程为全微分方程因此原方程为全微分方程.取取x0=0,y0=2,利用公式得利用公式得其中其中C为任意常数为任意常数.将初值条件带入此通解，得将初值条件带入此通解，得C=0.故所求初值问题的解为故所求初值问题的解为思考与练习思考与练习判别下列方程类型判别下列方程类型:提示提示:可分离可分离 变量方程变量方程齐次方程齐次方程线性方程线性方程线性方程线性方程伯努利伯努利方程方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例.解初值问题解初值问题解解:分离变量得分离变量得两边积分得两
3、边积分得即即由初始条件得由初始条件得 C=1,(C 为任意常数为任意常数)故所求特解为故所求特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例.求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:解解:令令 则则故有故有即即解得解得(C 为任意常数为任意常数)所求通解所求通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例:解法解法 1 分离变量分离变量即即(C 0 )解法解法 2故有故有积分积分(C 为任意常数为任意常数)所求通解所求通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例.求方程求方程的通解的通解.解解:注意注意 x,y 同号同号,由一阶线性方程由一阶线性方程通解公式通解公式,得得故方程可故方程可变形为
4、变形为所求通解为所求通解为 这是以这是以为因变量为因变量,y为为 自变量的一阶线性方程自变量的一阶线性方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例.求解求解解解:这是一个全微分方程这是一个全微分方程.用凑微分法求通解用凑微分法求通解.将方程改写为将方程改写为即即故原方程的通解为故原方程的通解为或或机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:如何解方程如何解方程这不是一个全微分方程这不是一个全微分方程,就化成就化成上上例例 的方程的方程.但若在方程两边同乘但若在方程两边同乘例2 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 解方程解方程解法解法1 积分因子法积分因子法.原方程变形为原方程变形为取积分因子取积分因子故通解为故通解为此外此外,y=0 也是方程的解也是方程的解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 化为齐次方程化为齐次方程.原方程变形为原方程变形为积分得积分得将将代入代入,得通解得通解此外此外,y=0 也是方程的解也是方程的解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法3 化为线性方程化为线性方程.原方程变形为原方程变形为其通解为其通解为即即此外此外,y=0 也是方程的解也是方程的解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 习题习题7.4(A)1(1),(5).习题课1 目录 上页 下页 返回 结束