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1、第六章 第四节 基本不等式第1页，共46页，编辑于2022年，星期三第2页，共46页，编辑于2022年，星期三一、基本不等式一、基本不等式基本不等式基本不等式不等式成立的条件不等式成立的条件等号成立的条件等号成立的条件a0，b0ab第3页，共46页，编辑于2022年，星期三二、常用的几个重要不等式二、常用的几个重要不等式(1)a2b2(a，b R)(2)Ab ()2(a，bR)(3)()2(a，bR)(4)(a，b同号且不为零同号且不为零)2ab2第4页，共46页，编辑于2022年，星期三上述四个不等式等号成立的条件是什么？上述四个不等式等号成立的条件是什么？提示：提示：上述四个不等式等号成立
2、的条件都是上述四个不等式等号成立的条件都是ab.第5页，共46页，编辑于2022年，星期三三、算术平均数与几何平均数三、算术平均数与几何平均数设设a0，b0，则，则a，b的算术平均数为的算术平均数为，几何平均，几何平均数为数为，基本不等式可叙述为：，基本不等式可叙述为：.两个正数的算术平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数不小于它们的几何平均数第6页，共46页，编辑于2022年，星期三四、利用基本不等式求最值四、利用基本不等式求最值设设x，y都是正数都是正数.(1)如果积如果积xy是定值是定值P，那么当，那么当时，和时，和xy有有最小值最小值.(2)如果和如果和xy是定值是定值S，那
3、么当，那么当时积时积xy有最大有最大值值.xyxy第7页，共46页，编辑于2022年，星期三1.下列函数中，最小值为下列函数中，最小值为4的函数是的函数是()A.yxB.ysinx(0 x)C.yex4exD.ylog3xlogx81答案：答案：C第8页，共46页，编辑于2022年，星期三2.设设a、bR，已知命题，已知命题p：a2b22ab；命题；命题q：()2，则，则p是是q成立的成立的()A.必要不充分条件必要不充分条件B.充分不必要条件充分不必要条件C.充分必要条件充分必要条件D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析：解析：命题命题p：(ab)20ab；命题；命题q：(ab)2
4、0.显然，显然，pq，但，但qp，则，则p是是q的充分不必要条件的充分不必要条件.答案：答案：B第9页，共46页，编辑于2022年，星期三3.当当x1时，关于函数时，关于函数f(x)x，下列叙述正确的是，下列叙述正确的是()A.函数函数f(x)有最小值有最小值2B.函数函数f(x)有最大值有最大值2C.函数函数f(x)有最小值有最小值3D.函数函数f(x)有最大值有最大值3解析：解析：x1，x10，答案：答案：C+1=3第10页，共46页，编辑于2022年，星期三4.已知已知2(x0，y0)，则，则xy的最小值是的最小值是.解析：解析：2，所以，所以xy15，当且仅当，当且仅当时等号成立时等号
5、成立.所以所以xy的最小值是的最小值是15.答案：答案：15第11页，共46页，编辑于2022年，星期三5.某公司一年购买某种货物某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，每次都购买x吨，运费为吨，运费为4万元万元/次，一年的总存储费用为次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则与总存储费用之和最小，则x.解析：解析：每年购买次数为每年购买次数为.总费用总费用44x2160，当且仅当当且仅当4x，即，即x20时等号成立，故时等号成立，故x20.答案：答案：20第12页，共46页，编辑于2022年，星期三第13页，共46页，编辑于2022年
6、，星期三1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式性质和基本不其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由因导果由因导果”.2.证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立意每次等号是否都成立.同时也要注意应用基本不等式的变同时也要注意应用基本不等式的变形形式形形式.第14页，共46页，编辑于
7、2022年，星期三(1)已知已知a0，b0，ab1，求证：，求证：4.(2)证明：证明：a4b4c4d44abcd.第15页，共46页，编辑于2022年，星期三(1)利用利用ab1将要证不等式中的将要证不等式中的1代换，即可得代换，即可得证证.(2)利用利用a2b22ab两两结合即可求证两两结合即可求证.但需两次利但需两次利用不等式，注意等号成立的条件用不等式，注意等号成立的条件.第16页，共46页，编辑于2022年，星期三【证明证明】(1)a0，b0，ab1，4(当且仅当当且仅当ab时等号成立时等号成立).4.原不等式成立原不等式成立.(2)a4b4c4d42a2b22c2d22(a2b2c
8、2d2)22abcd4abcd.故原不等式得证，等号成立的条件是故原不等式得证，等号成立的条件是a2b2且且c2d2且且abcd.第17页，共46页，编辑于2022年，星期三1.已知已知a、b、c R且且abc1，求证：求证：第18页，共46页，编辑于2022年，星期三证明：证明：a、b、cR且且abc1，当且仅当当且仅当abc时取等号时取等号.第19页，共46页，编辑于2022年，星期三1.利用基本不等式求最值需注意的问题利用基本不等式求最值需注意的问题(1)各数各数(或式或式)均为正；均为正；(2)和或积为定值；和或积为定值；(3)等号能否成立，即等号能否成立，即“一正、二定、三相等一正、
9、二定、三相等”，这三个条件，这三个条件缺一不可缺一不可.2.合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值和为定值.第20页，共46页，编辑于2022年，星期三3.当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件因此在利用基本不
10、等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法种方法.第21页，共46页，编辑于2022年，星期三4.基本不等式的几种变形公式基本不等式的几种变形公式对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种常见的变形形式及公式的逆运用等，如：的几种常见的变形形式及公式的逆运用等，如：第22页，共46页，编辑于2022年，星期三求下列各题的最值求下列各题的最值.(1)已知已知x0，y0，lgxlgy1，求，求z的最小值的最小值.(2)x0，求，求f(x)
11、3x的最小值的最小值.(3)x3，求，求f(x)x的最大值的最大值.第23页，共46页，编辑于2022年，星期三(1)由条件由条件lgxlgy1得定值得定值xy10，故可用基本不，故可用基本不等式等式.(2)由由x0，3x36是常数，故可直接利用基本不是常数，故可直接利用基本不等式等式.(3)因因x不是常数，故需变形不是常数，故需变形.f(x)x33，又，又x30，故需变号，故需变号.第24页，共46页，编辑于2022年，星期三【解解】(1)由已知条件由已知条件lgxlgy1，可得可得xy10.则则2.()min2.当且仅当当且仅当2y5x，即，即x2，y5时等号成立时等号成立.第25页，共4
12、6页，编辑于2022年，星期三(2)x0，f(x)等号成立的条件是等号成立的条件是3x，即，即x2，f(x)的最小值是的最小值是12.第26页，共46页，编辑于2022年，星期三(3)x3，x30，3x0，f(x)x(x3)3(3x)3231，当且仅当当且仅当3x，即，即x1时，等号成立时，等号成立.故故f(x)的最大值为的最大值为1.第27页，共46页，编辑于2022年，星期三2.解下列问题：解下列问题：(1)已知已知a0，b0，且，且4ab1，求，求ab的最大值；的最大值；(2)已知已知x2，求，求x的最小值；的最小值；(3)已知已知x0，y0，且，且xy1，求，求的最小值的最小值.第28
13、页，共46页，编辑于2022年，星期三解：解：(1)法一：法一：a0，b0,4ab1，14ab2当且仅当当且仅当4a时，等号成立时，等号成立.所以所以ab的最大值为的最大值为法二：法二：a0，b0,4ab1，当且仅当当且仅当4ab=时，等号成立时，等号成立.所以所以ab的最大值为的最大值为第29页，共46页，编辑于2022年，星期三(2)x2，x20，当且仅当当且仅当x2即即x4时，等号成立时，等号成立.所以所以x的最小值为的最小值为6.+2=6,第30页，共46页，编辑于2022年，星期三(3)x0，y0，xy1，当且仅当当且仅当时等号成立，时等号成立，由由当当时取等号时取等号.所以所以的最
14、小值为的最小值为25.第31页，共46页，编辑于2022年，星期三在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)设变量时一般把求最大值或最小值的变量定义为函数；设变量时一般把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域；建立相应的函数关系式，确定函数的定义域；(3)在定义域内只需再利用基本不等式，求出函数的最值；在定义域内只需再利用基本不等式，求出函数的最值；(4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案回到实际问题中去，写出实际问题的答案.第32页，共46页，编辑于2022年，星期三某养殖厂需定期购买饲料，
15、已知该厂每天需要饲料某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千千克，每千克饲料的价格为克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费元，购买饲料每次支付运费300元元.(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少？求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少？(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可吨时其价格可享受八五折优惠享受八五折优惠(即为原价的即为原价的85%).问该厂是否可以考虑利用此优问该厂是
16、否可以考虑利用此优惠条件？请说明理由惠条件？请说明理由.第33页，共46页，编辑于2022年，星期三根据已知条件建立根据已知条件建立“购买天数购买天数x”与与“平均每天支付的平均每天支付的总费用总费用”之间的函数关系式，然后利用基本不等式或之间的函数关系式，然后利用基本不等式或函数的单调性解决函数的单调性解决.第34页，共46页，编辑于2022年，星期三【解解】(1)设该厂每设该厂每x(xN*)天购买一次饲料，平均每天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为天支付的总费用为y1.饲料的保管与其他费用每天比前一天少饲料的保管与其他费用每天比前一天少2000.036(元元)，x天饲料的保管与其他费用共
17、是天饲料的保管与其他费用共是6x6(x1)6(x2)63x23x(元元).从而有从而有y1(3x23x300)2001.83x363423.当且仅当当且仅当3x，即，即x10时，时，y1有最小值有最小值.即每即每10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.第35页，共46页，编辑于2022年，星期三(2)若厂家利用此优惠条件，则至少若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每此优惠条件，每x天天(x25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用购买一次饲料，平均每天支付的总费用为为y2，则，则y2
18、(3x23x300)2001.80.853x309(x25).y23，当当x25时，时，y20，即函数，即函数y2在在25，)上是增函数，上是增函数，当当x25时，时，y2取得最小值为取得最小值为396.而而396423，该厂可以接受此优惠条件该厂可以接受此优惠条件.第36页，共46页，编辑于2022年，星期三3.经观测，某公路段在某时段内的车流量经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆千辆/小时小时)与汽车与汽车的平均速度的平均速度v(千米千米/小时小时)之间有函数关系之间有函数关系 y(1)在该时段内，当汽车的平均速度在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量为多少时车流量y最大？最大
19、？最大车流量为多少？最大车流量为多少？(2)为保证在该时段内车流量至少为为保证在该时段内车流量至少为10千辆千辆/小时，则汽车的小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？平均速度应控制在什么范围内？第37页，共46页，编辑于2022年，星期三解：解：当散当散即即v40(千米千米/小时小时)时，车流量最大，最大值为时，车流量最大，最大值为11.08(千辆千辆/小量小量).(1)y=第38页，共46页，编辑于2022年，星期三(2)根题意有根题意有化简得化简得v289v16000，即，即(v25)(v64)0，所以所以25v64.所以汽车的平均速度应控制在所以汽车的平均速度应控制在25,64这个范
20、围内这个范围内.第39页，共46页，编辑于2022年，星期三第40页，共46页，编辑于2022年，星期三从近几年的高考试题看，基本不等式从近几年的高考试题看，基本不等式的应用一直是高考命题的热点，在选择题、填空题、解答题的应用一直是高考命题的热点，在选择题、填空题、解答题中都有可能出现，它的应用范围涉及高中数学的很多章节，中都有可能出现，它的应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求最值、且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求最值、求取值范围等求取值范围等.2009年湖北卷第年湖北卷第17题考查了基本不等式的实际应用，题考查了基本不等式的实际应用，代
21、表了一个重要的高考方向代表了一个重要的高考方向.第41页，共46页，编辑于2022年，星期三(2009湖北高考湖北高考)围建一个面积为围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙一面利用旧墙(利用的旧墙需维修利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示的进出口，如图所示.已知旧墙的维已知旧墙的维修费用为修费用为45元元/米，新墙的造价为米，新墙的造价为180元元/米米.设利用的旧墙长度为设利用的旧墙长度为x(单位：单位：m)，修建此矩形场地围墙的总
22、费用为，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元单位：元).第42页，共46页，编辑于2022年，星期三(1)将将y表示为表示为x的函数；的函数；(2)试确定试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用总费用.第43页，共46页，编辑于2022年，星期三解解(1)如图，设矩形的另一边长为如图，设矩形的另一边长为am，第44页，共46页，编辑于2022年，星期三则则y45x180(x2)1802a225x360a360.由已知由已知xa360，得，得a所以所以y225x360(x0).x0225x（8分）分）(2)y225x36010
23、440.当且仅当当且仅当225x时，等号成立时，等号成立.即当即当x24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元元.（14分）分）第45页，共46页，编辑于2022年，星期三2009年很多考生解答本题时做对了答案却没有得满分，年很多考生解答本题时做对了答案却没有得满分，主要原因是解题步骤不规范，造成失分，主要体现在以主要原因是解题步骤不规范，造成失分，主要体现在以下几点下几点.(1)列出函数解析式后没有注明函数的定义域列出函数解析式后没有注明函数的定义域.(2)利用基本不等式求出最值后没有注明等号成立的条件利用基本不等式求出最值后没有注明等号成立的条件.(3)没有对结论进行总结没有对结论进行总结.第46页，共46页，编辑于2022年，星期三