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1、第第4 4章章 根轨迹法根轨迹法 引言引言 根根 系统特征方程的根，即系统的闭环极点。系统特征方程的根，即系统的闭环极点。系统闭环极点对系统特性起着决定性作用：系统闭环极点对系统特性起着决定性作用：(1)(1)决定系统的稳定性决定系统的稳定性 (2)(2)决定系统瞬态响应的模式及性能指标决定系统瞬态响应的模式及性能指标 （单极点响应、共轭极点响应）（单极点响应、共轭极点响应）1闭环极点的位置决定系统瞬态响应各分量的模式：闭环极点的位置决定系统瞬态响应各分量的模式：若极点是在左半若极点是在左半S S平面平面,则对应的响应各分量是则对应的响应各分量是 收敛的收敛的;若极点是在负实轴上若极点是在负实
2、轴上,则对应的响应分量是指则对应的响应分量是指 数衰减的数衰减的;若极点是左半若极点是左半S S平面的复共轭极点对平面的复共轭极点对,则对应的则对应的 响应分量是衰减振荡的。响应分量是衰减振荡的。2 19481948年，伊文思（年，伊文思（W.R.EvansW.R.Evans）提出了根轨迹法。）提出了根轨迹法。根轨迹法是一种根轨迹法是一种基于基于 S S 域的一种图解分析法域的一种图解分析法，它，它是在系统的开环零、极点分布基础上，用是在系统的开环零、极点分布基础上，用作图的方法作图的方法简便地确定系统的闭环极点及其变化轨迹，进而对系简便地确定系统的闭环极点及其变化轨迹，进而对系统的特性进行定
3、性分析和定量计算。统的特性进行定性分析和定量计算。3本章讨论本章讨论:根轨迹方程根轨迹方程 绘根轨迹的依据绘根轨迹的依据常规根轨迹的绘制规则常规根轨迹的绘制规则特殊根轨迹的绘制特殊根轨迹的绘制用根轨迹法分析系统的动态特性用根轨迹法分析系统的动态特性用用MATLABMATLAB绘制系统的根轨迹绘制系统的根轨迹 4 4.1-1 4.1-1 什么是根轨迹什么是根轨迹 系统开环传递函数的某一个参数从零变化到系统开环传递函数的某一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根在无穷大时，闭环系统特征方程的根在 S S 平面上平面上的变化轨迹。的变化轨迹。4.1 4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概
4、念5 研究开环放大系数研究开环放大系数K K与闭环特征根的关系与闭环特征根的关系6当取不同当取不同K K值时，算得闭环特征根如下：值时，算得闭环特征根如下：7 K K由由00变化时，闭环特征根在变化时，闭环特征根在S S平面上移动平面上移动的轨迹如下图所示，这就是该系统的根轨迹。的轨迹如下图所示，这就是该系统的根轨迹。根轨迹决定的响应模式：过阻尼、临界阻尼、欠阻尼根轨迹决定的响应模式：过阻尼、临界阻尼、欠阻尼84.1-2 4.1-2 根轨迹方程根轨迹方程 （绘制根轨迹图的依据）（绘制根轨迹图的依据）系统的开环传递函数：系统的开环传递函数：系统的闭环传递函数：系统的闭环传递函数：系统的特征方程：
5、系统的特征方程：9本教材采用的符号形式本教材采用的符号形式10 该方程的解即为闭环特征根，当该方程的解即为闭环特征根，当K Kg g在可能范围连续变化时，在可能范围连续变化时，特征根变化形成轨迹，因此该式又称为根轨迹方程。特征根变化形成轨迹，因此该式又称为根轨迹方程。此方程也揭示了闭环传递函数极点（即闭环极点）与开环传此方程也揭示了闭环传递函数极点（即闭环极点）与开环传递函数极点、零点的联系。递函数极点、零点的联系。11由于由于S是复变量：是复变量：此方程是一个复方程，可表示成幅值和辐角的形式。此方程是一个复方程，可表示成幅值和辐角的形式。根轨迹方程又可分别表示成根轨迹方程又可分别表示成幅值（
6、条件）方程和辐角（条幅值（条件）方程和辐角（条件）方程件）方程。12或表示为：或表示为：13同时满足幅值条件和辐角条件的同时满足幅值条件和辐角条件的s s，就是特征方程式的，就是特征方程式的 根，也就是闭环极点。根，也就是闭环极点。根轨迹上的任一点，同时满足幅值条件和辐角条件。根轨迹上的任一点，同时满足幅值条件和辐角条件。14例例1：某系统开环传递函数有：某系统开环传递函数有1个零点，个零点，4个极点（个极点（m=1,n=4），），S平面上某试验点对应的各矢量幅值和相角关系如图所示。平面上某试验点对应的各矢量幅值和相角关系如图所示。图（图（a）、图（）、图（b）各矢量幅值和相角关系都满足幅值方
7、程和相角方程）各矢量幅值和相角关系都满足幅值方程和相角方程15例例2 2已知系统的开环传递函数已知系统的开环传递函数：试证明复平面上点试证明复平面上点是该系统的闭环极点（是根轨迹上的点）。是该系统的闭环极点（是根轨迹上的点）。若若s1、s2 是是系统的系统的闭环闭环极点，极点，解：解：该系统的该系统的开环开环极点极点:则则 s1、s2 应满足相角方程应满足相角方程.无开环零点。无开环零点。16 以以为试验点，观察图为试验点，观察图2，可得，可得图2（k=-1)(k=0)以以为试验点，可得为试验点，可得22由于 都满足相角条件，所以，点是闭环极点（根轨迹上的点）。根轨迹上的点）。17例3 已知系
8、统开环传递函数已知系统开环传递函数 当当 变化时其根轨迹如图变化时其根轨迹如图3 3，求根轨迹上点，求根轨迹上点 所对应的所对应的K K*值。值。解解 根据模值方程求解根据模值方程求解值值令模值方程为：令模值方程为：图3得：得：184.2 4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则4.2.1 4.2.1 绘制根轨迹的一般法则绘制根轨迹的一般法则根轨迹方程根轨迹方程19绘制根轨迹的一般法则绘制根轨迹的一般法则 1.1.根轨迹关于实轴对称根轨迹关于实轴对称2.2.根轨迹始于开环极点根轨迹始于开环极点,终于开环零点终于开环零点,分支数为分支数为n.n.3.3.实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹4 4 分离点
9、和会合点分离点和会合点5 5 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线6.6.根轨迹的起始角与终止角（出射角与入射角）根轨迹的起始角与终止角（出射角与入射角）7 7 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点201.1.根轨迹关于实轴对称根轨迹关于实轴对称特征方程是关于变量特征方程是关于变量S的实系数代数方程的实系数代数方程,它的它的根是实根或共轭复根，因此根轨迹必然关于实轴对根是实根或共轭复根，因此根轨迹必然关于实轴对称称.212.根轨迹始于开环极点根轨迹始于开环极点,终于开环零点终于开环零点,分支数为分支数为n.根轨迹起点条件根轨迹起点条件:Kg=0说明当说明当Kg=0时，闭环极点就是开环极点，时，闭环极点
10、就是开环极点，因此因此根轨迹始于各开环极点根轨迹始于各开环极点。等效为：等效为：Kg=0时，时，闭环系统特征方程闭环系统特征方程22 根轨迹根轨迹终点条件终点条件:K:Kg g=当当 Kg=Kg=时，闭环系统的特征方程式等效为时，闭环系统的特征方程式等效为 可见，当可见，当 Kg=Kg=时，闭环极点就是开环有限零点。时，闭环极点就是开环有限零点。说明根轨迹的终点是开环传递函数的各个零点说明根轨迹的终点是开环传递函数的各个零点-z zi i 。v 物理可实现系统物理可实现系统:n:n m.m.v 当当n=mn=m时时,根轨迹有根轨迹有n n 个起点个起点,n,n个终点个终点,根轨迹有根轨迹有n
11、n条条.v 当当n mn m时时,根轨迹有根轨迹有n n 个起点个起点,有有m m个终点在开环零点个终点在开环零点,另另 外外(n-mn-m)个终点在个终点在S S平面无限远处零点平面无限远处零点.根轨迹仍然为根轨迹仍然为n n条条.233.3.实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹判断准则判断准则:若实轴上某点若实轴上某点右侧线段的开环零、极点的个数之右侧线段的开环零、极点的个数之和为奇数和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹。否则，则该线段是实轴上的根轨迹。否则该线段该线段不是根不是根轨迹。轨迹。用相角条件证明这个规则，基于以下事实：用相角条件证明这个规则，基于以下事实：复平面上的所有零、极点是共轭的，
12、它们到实轴上根轨迹复平面上的所有零、极点是共轭的，它们到实轴上根轨迹（任意试验点）的矢量辐角之和总为零。（任意试验点）的矢量辐角之和总为零。根轨迹根轨迹（任意试验点）（任意试验点）左侧的实数零、极点到根轨迹的矢量左侧的实数零、极点到根轨迹的矢量 辐角总为零；辐角总为零；根轨迹根轨迹（任意试验点）（任意试验点）右侧的实数零点、极点到根轨迹的矢右侧的实数零点、极点到根轨迹的矢 量辐角均为量辐角均为180180。24证明：设实轴上根轨迹右侧的开环有限零点数目为证明：设实轴上根轨迹右侧的开环有限零点数目为N Nz z，实轴上根轨迹右侧的开环极点数目为实轴上根轨迹右侧的开环极点数目为N Np p，由辐角
13、条件，由辐角条件:整理得整理得 所以，实轴上存在根轨迹的条件应满足所以，实轴上存在根轨迹的条件应满足即实轴上根轨迹右侧的开环零、极点的个数之和为奇数即实轴上根轨迹右侧的开环零、极点的个数之和为奇数.25例例:已知实轴上的根轨迹如图所示已知实轴上的根轨迹如图所示对于根轨迹对于根轨迹A，Nz+Np=1,(Np=1，Nz=0)；对根轨迹对根轨迹B，Nz+Np=3；对根轨迹对根轨迹C，Nz+Np=5。它们都是奇数。它们都是奇数。264 4分离点和会合点分离点和会合点 两条或两条以上的根轨迹分支在两条或两条以上的根轨迹分支在 s s 平面上相遇又立即分平面上相遇又立即分开的点称为分离点（或会合点）。开的
14、点称为分离点（或会合点）。实轴上根轨迹的分离点实轴上根轨迹的分离点 复平面上的分离点复平面上的分离点分离点表示特征方程式出现重根分离点表示特征方程式出现重根 27实轴上分离点实轴上分离点(会合点会合点)的判断的判断:1.若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间，则在这若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间，则在这两个极点之间至少存在一个分离点；两个极点之间至少存在一个分离点；2.若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间（其中一若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间（其中一个可以是无限零点），则在这两个零点之间也至少有一个可以是无限零点），则在这两个零点之间也至少有一个会合点。个会合点。3.
15、若根轨迹位于实轴上一个开环零点和一个开环极点之若根轨迹位于实轴上一个开环零点和一个开环极点之间，则在这两个点之间不存在分离点或会合点间，则在这两个点之间不存在分离点或会合点,或既存或既存在在一个分离点又存在一个会合点。一个分离点又存在一个会合点。28分离点（会合点）位置的计算：分离点（会合点）位置的计算：产生分离点（会合点）的实质是：特征方程在一定产生分离点（会合点）的实质是：特征方程在一定K K下出下出现重根。分离点与会合点必须满足方程现重根。分离点与会合点必须满足方程:并由此可以计算分离点（会合点）的位置。并由此可以计算分离点（会合点）的位置。29例例已知系统的开环传递函数为已知系统的开环
16、传递函数为试求出系统根轨迹与实轴的交点（分离点）。试求出系统根轨迹与实轴的交点（分离点）。解：此系统特征方程为：解：此系统特征方程为：整理后令整理后令:得到求解交点得到求解交点的辅助方程的辅助方程:解得解得:由于实轴上的根轨迹为由于实轴上的根轨迹为-1到到-2线段和线段和-3到到-线段线段,不在上述两线段上，应舍去。不在上述两线段上，应舍去。是实轴根轨迹上的点，它就是根轨迹在实轴上的是实轴根轨迹上的点，它就是根轨迹在实轴上的分离点。分离点。30分离点的坐标分离点的坐标d d可由下面方程求得：可由下面方程求得：式中：为各开环零点的数值，为个开环极点的数值。315根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线研究根
17、轨迹是按什么走向趋向无穷远研究根轨迹是按什么走向趋向无穷远 当开环极点数当开环极点数n n大于开环零点数大于开环零点数m m时，系统有时，系统有n-mn-m条根轨迹终止条根轨迹终止于于S S平面的无穷远处，这平面的无穷远处，这n-mn-m条根轨迹变化趋向的直线为根轨迹的条根轨迹变化趋向的直线为根轨迹的渐近线，因此，浙近线也有渐近线，因此，浙近线也有n-mn-m条，且它们交于实轴上的一点。条，且它们交于实轴上的一点。渐近线与实轴的交点位置渐近线与实轴的交点位置 和与实轴正方向的交角和与实轴正方向的交角(渐进线倾角渐进线倾角)分别为分别为:（Pj是极点）32例例 已知系统的开环传递函数为已知系统的
18、开环传递函数为:试画出该系统根轨迹的渐近线。试画出该系统根轨迹的渐近线。解解 对于该系统有对于该系统有n=4，m=1，n-m=3；三条渐近线与实轴交点三条渐近线与实轴交点位置为位置为:它们与实轴正方向的交角分别是它们与实轴正方向的交角分别是:渐近线如图所示渐近线如图所示:33346.根轨迹的根轨迹的起始角与终止角（出射角与入射角）起始角与终止角（出射角与入射角）当当开开环环传传递递函函数数中中有有复复数数极极点点或或零零点点时时，根根轨轨迹迹是是沿沿着着什什么么方方向向离离开开开开环环复复数数极极点点或或进进入入开开环环复复数数零零点点的的呢呢？这这就就是是所所谓谓的起始角和终止角问题的起始角
19、和终止角问题。确定起始角（终止角）的依据确定起始角（终止角）的依据根轨迹的幅角条件根轨迹的幅角条件 起始角起始角 (出射角出射角)根轨迹离开开环复数极点处切线方向与实轴正方向的根轨迹离开开环复数极点处切线方向与实轴正方向的 夹角。夹角。起始角计算公式（第起始角计算公式（第K个极点的出射角）个极点的出射角）:35终止角计算公式终止角计算公式（第（第K个零点的入射角）个零点的入射角）:例例设系统开环传递函数设系统开环传递函数试绘制系统概略根轨迹。试绘制系统概略根轨迹。36解：解：将开环零、极点画在图将开环零、极点画在图4 41212的根平面上，逐步画图：的根平面上，逐步画图：1 1、两个开环极点、
20、两个开环零点两个开环极点、两个开环零点,n=2,n=2，有两条根轨迹。有两条根轨迹。2 2、两条根轨迹分别、两条根轨迹分别 起始于开环极点：起始于开环极点：(-1-j2),(-1+j2)(-1-j2),(-1+j2)终止于开环零点：终止于开环零点：(-2-j),(-2+j)(-2-j),(-2+j)图412 37图4133 3、确定起始角、终止角计算（如图所示）确定起始角、终止角计算（如图所示）3839407 7根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴相交时，特征方程式的根根轨迹与虚轴相交时，特征方程式的根s=s=jj，此时系统处于临界稳定状态，令此时的，此时系统处于临界稳定状态，令此时的 Kg=Kg=K Kl l。由此可计算对应的临界放大系数。由此可计算对应的临界放大系数K Kl l值。值。确定交点的方法：确定交点的方法：方法一：把方法一：把 s=s=jj代入特征方程式计算。代入特征方程式计算。方法二：利用劳斯判据。方法二：利用劳斯判据。4142434445