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1、结构力学第九章 薄壁杆件扭转本讲稿第一页，共二十七页 薄壁杆件是指横截面上壁的厚度较薄的杆件，其三个尺薄壁杆件是指横截面上壁的厚度较薄的杆件，其三个尺度通常满足如下关系：度通常满足如下关系：式中，式中，t壁厚；壁厚；b截面的最大宽度；截面的最大宽度；l杆长。杆长。薄壁截面视其壁厚中心线是否封闭而分为开口薄壁截薄壁截面视其壁厚中心线是否封闭而分为开口薄壁截面（图面（图9-1a,b,c9-1a,b,c）和闭口薄壁截面（图）和闭口薄壁截面（图9-1d,e,f9-1d,e,f）两类。）两类。闭口截面又分为单闭室闭口截面又分为单闭室(图图9-1d,e)9-1d,e)和多闭室（图和多闭室（图9-1f9-1
2、f）两）两种。种。图9-1(a)(b)(c)(d)(e)(f)（9-1）本讲稿第二页，共二十七页 除薄壁圆管外，薄壁杆件通常是非圆截面杆件。材料力除薄壁圆管外，薄壁杆件通常是非圆截面杆件。材料力学中已经指出，学中已经指出，非圆截面杆件在扭转变形后，杆件的截面已不非圆截面杆件在扭转变形后，杆件的截面已不再保持为平面，而是变为曲面，这种现象称为翘曲。再保持为平面，而是变为曲面，这种现象称为翘曲。薄壁杆件扭转分为自由扭转和约束扭转两种。薄壁杆件扭转分为自由扭转和约束扭转两种。如果一根等截面杆件仅在两端受到扭矩作用，并不受任如果一根等截面杆件仅在两端受到扭矩作用，并不受任何约束，扭转时可以自由变形，则
3、这种扭转就称为自由扭转。何约束，扭转时可以自由变形，则这种扭转就称为自由扭转。非圆截面薄壁杆件自由扭转时，其横截面虽将发生翘曲，但非圆截面薄壁杆件自由扭转时，其横截面虽将发生翘曲，但由于扭转不受阻碍，所以各横截面的翘曲程度都相同。因此，由于扭转不受阻碍，所以各横截面的翘曲程度都相同。因此，杆件上平行于杆轴的直线在变形后长度不变且仍为直线；杆杆件上平行于杆轴的直线在变形后长度不变且仍为直线；杆件各横截面上没有正应力而只有扭转引起的剪应力。件各横截面上没有正应力而只有扭转引起的剪应力。本讲稿第三页，共二十七页本讲稿第四页，共二十七页本讲稿第五页，共二十七页本讲稿第六页，共二十七页本讲稿第七页，共二
4、十七页 如果薄壁杆件受到扭矩作用，由于存在支座或其他约束，如果薄壁杆件受到扭矩作用，由于存在支座或其他约束，扭转时不能自由变形，扭转时不能自由变形，则这种扭转称为约束扭转。则这种扭转称为约束扭转。薄壁杆件薄壁杆件约束扭转时，各横截面的翘曲程度是不相同的，这将引起约束扭转时，各横截面的翘曲程度是不相同的，这将引起相相邻两截面间纵向纤维的长度改变邻两截面间纵向纤维的长度改变，于是横截面上除了有扭转，于是横截面上除了有扭转而引起的剪应力之外，还有因翘曲而产生的正应力而引起的剪应力之外，还有因翘曲而产生的正应力。由于翘。由于翘曲正应力在横截面上分布不均匀，就会导致薄壁杆件发生弯曲，曲正应力在横截面上分
5、布不均匀，就会导致薄壁杆件发生弯曲，并伴随产生弯曲剪应力。并伴随产生弯曲剪应力。这样，薄壁杆件约束扭转时，截面这样，薄壁杆件约束扭转时，截面上就存在二次剪应力。二次剪应力又将在截面上形成一个上就存在二次剪应力。二次剪应力又将在截面上形成一个附加扭矩，称之为二次扭矩，于是杆件截面上的扭矩就等附加扭矩，称之为二次扭矩，于是杆件截面上的扭矩就等于自由扭转扭矩与二次扭矩之和。由此可见，薄壁杆件约于自由扭转扭矩与二次扭矩之和。由此可见，薄壁杆件约束扭转是比较复杂的。束扭转是比较复杂的。本讲稿第八页，共二十七页 薄壁杆件在实际工程上应用非常广泛。如桥梁工程和薄壁杆件在实际工程上应用非常广泛。如桥梁工程和海
6、洋工程中的箱形、工字型和槽形梁等等。就船舶结构来海洋工程中的箱形、工字型和槽形梁等等。就船舶结构来说，船体骨架一般有薄壁杆件组成；整个船体梁也是一根说，船体骨架一般有薄壁杆件组成；整个船体梁也是一根薄壁杆件。薄壁杆件。本讲稿第九页，共二十七页本讲稿第十页，共二十七页本讲稿第十一页，共二十七页 1.1.开口薄壁杆件的自有扭转开口薄壁杆件的自有扭转 开口薄壁杆件的截面可以看作由若干狭长矩形截面所开口薄壁杆件的截面可以看作由若干狭长矩形截面所组成。利用狭长矩形截面的杆件自有扭转时的计算公式和组成。利用狭长矩形截面的杆件自有扭转时的计算公式和如下两个假定可导出薄壁杆件自有扭转的计算公式。这两如下两个假
7、定可导出薄壁杆件自有扭转的计算公式。这两个假定是：个假定是：（1 1）假定开口薄壁杆件自由扭转时，）假定开口薄壁杆件自由扭转时，截面在其本身平面内截面在其本身平面内形状不变，即在边形过程中，截面在其本身平面内的投影只形状不变，即在边形过程中，截面在其本身平面内的投影只作刚性平面运动。作刚性平面运动。此即为刚周边假定；此即为刚周边假定；（2 2）假定薄壁杆件中面上无剪切变形。）假定薄壁杆件中面上无剪切变形。本讲稿第十二页，共二十七页 开口薄壁杆件自由扭转时的扭率计算公式如下：开口薄壁杆件自由扭转时的扭率计算公式如下：式中，式中，杆件的扭率（单位长度上的扭角）；杆件的扭率（单位长度上的扭角）；Ms
8、 s扭矩；扭矩；G剪切模量；剪切模量；It截面扭转惯性矩（扭转常数）。截面扭转惯性矩（扭转常数）。式中，式中，hi、ti截面上第截面上第i个狭长矩形的高度（长边）个狭长矩形的高度（长边）和厚度（短边）。若截面的壁厚中心线是一根曲线，则和厚度（短边）。若截面的壁厚中心线是一根曲线，则 式中，式中，si壁厚中心线的总长壁厚中心线的总长（9-2）（9-3）（9-4）本讲稿第十三页，共二十七页 式中，式中，s截面上的扭矩剪应力（图截面上的扭矩剪应力（图9-29-2）；）；t t壁厚。壁厚。式（式（9-59-5）表明，截面上最大剪应力将发生在壁厚最大）表明，截面上最大剪应力将发生在壁厚最大处的表面上。处
9、的表面上。（9-5）(图9-2)本讲稿第十四页，共二十七页 可以认为，闭口薄壁杆件自由扭转时截面上的剪应力可以认为，闭口薄壁杆件自由扭转时截面上的剪应力沿壁厚是均匀分布的。记沿壁厚是均匀分布的。记 2.2.单闭室薄壁杆件的自有扭转单闭室薄壁杆件的自有扭转 称称q q为剪流。现在来确定为剪流。现在来确定q q沿截面的变化规律。图沿截面的变化规律。图9-3b9-3b所示的为一个变厚度单元，由于自由扭转时截面上无正应所示的为一个变厚度单元，由于自由扭转时截面上无正应力，即轴向力为零，所以有：力，即轴向力为零，所以有：（9-6）(图9-3)本讲稿第十五页，共二十七页或或上式说明剪流上式说明剪流q q沿
10、截面为常数。据此，最大剪应力将发生沿截面为常数。据此，最大剪应力将发生在壁厚最小处，这与开口薄壁杆件不同。在壁厚最小处，这与开口薄壁杆件不同。下面讨论如何计算剪流下面讨论如何计算剪流q q。如图。如图9-3a9-3a所示，剪流所示，剪流q q在在微元微元dsds上引起的力为上引起的力为qds,qds,它绕它绕o o点的力矩为：点的力矩为：ds ds所对的扇形面积为：所对的扇形面积为：（9-7）本讲稿第十六页，共二十七页 沿整个截面积分可得总扭矩为：沿整个截面积分可得总扭矩为：式中式中A A闭口截面壁厚中心线所围的总面积。从而沿闭口截面壁厚中心线所围的总面积。从而沿截面的剪流为：截面的剪流为：再
11、来推导扭率和扭矩常数计算公式。若从薄壁杆件中再来推导扭率和扭矩常数计算公式。若从薄壁杆件中取出长度为取出长度为dxdx的微段，其受扭矩的微段，其受扭矩MsMs作用产生的扭角为作用产生的扭角为d d,则扭矩所做的功为：则扭矩所做的功为：（9-8）本讲稿第十七页，共二十七页 微段扭转变性能为：微段扭转变性能为：由由dW=dV，可得扭率：，可得扭率：比较式（比较式（9-99-9）与式（）与式（9-29-2），得单闭室截面的扭转常），得单闭室截面的扭转常数计算公式：数计算公式：（9-9）本讲稿第十八页，共二十七页 式（式（9-99-9）中）中MsMs用用2qA2qA代换，可得代换，可得 上式称为环流方
12、程式。上式称为环流方程式。3.3.多闭室薄壁杆件的自有扭转多闭室薄壁杆件的自有扭转 对于具有对于具有n n个闭室的薄壁截面（图个闭室的薄壁截面（图9-49-4），设在扭矩），设在扭矩MsMs作用作用下各闭室的剪流为下各闭室的剪流为qiqi（i=1i=1、2 2、3 3、）,并规定这些剪流沿并规定这些剪流沿反时针方向为正，那么任意两相邻室公共壁上的剪流为反时针方向为正，那么任意两相邻室公共壁上的剪流为该两室剪流之差。该两室剪流之差。（9-10）（9-11）本讲稿第十九页，共二十七页 由式由式(9-8)(9-8)，可得每一闭室上的扭矩：，可得每一闭室上的扭矩：acdbq1q2q3qnq4 式中，式
13、中，i=1=1、2 2、3 3、,（9-12）(图9-4)本讲稿第二十页，共二十七页 这些扭矩之和应等于整个截面上的扭矩这些扭矩之和应等于整个截面上的扭矩MsMs，即，即 式中，式中，Ai第第i i个闭室壁厚中心线所围的面积。仅由个闭室壁厚中心线所围的面积。仅由式式(9-12)(9-12)不能确定剪流不能确定剪流qiqi（i=1i=1、2 2、3 3、n),n),还必须利用还必须利用变形协调条件才能确定剪流变形协调条件才能确定剪流 qi qi。刚周边假定对多闭室薄壁横截面仍然使用。据此，各闭室刚周边假定对多闭室薄壁横截面仍然使用。据此，各闭室具有相同的扭率，且等于杆件的扭率具有相同的扭率，且等
14、于杆件的扭率。对于图。对于图9-49-4所示的所示的每一闭室，应用环流方程式每一闭室，应用环流方程式(9-11)(9-11)，例如对于第，例如对于第2 2室，有室，有本讲稿第二十一页，共二十七页 或写成或写成 上式写成通用形式为：上式写成通用形式为：式中，式中，i=1,2,3,i=1,2,3,n,n；绕第绕第i室的周室的周线积分线积分沿第沿第i与第与第k室的公共壁室的公共壁积分积分（9-13）本讲稿第二十二页，共二十七页 令令 式中，式中，i=1,2,3,i=1,2,3,n,n；式；式(9-15)(9-15)是关于未知数是关于未知数的的n n元一次方程组，当薄壁截面的形状、尺寸以及材料已定时，
15、元一次方程组，当薄壁截面的形状、尺寸以及材料已定时，的所有系数以及方程式等号右边的常数项均为已知。因此，由的所有系数以及方程式等号右边的常数项均为已知。因此，由式（式（9-159-15）可解出）可解出 （i=1i=1、2 2、3 3、）,代入式（代入式（9-149-14），得），得 第第i i室的扭转常数室的扭转常数,式（式（9-139-13）可写为：）可写为：（9-14）（9-15）本讲稿第二十三页，共二十七页 比较式比较式(9-16)(9-16)和式（和式（9-29-2），即得多闭室薄壁截面得扭），即得多闭室薄壁截面得扭转常数计算公式转常数计算公式 将上式代入（将上式代入（9-129-12
16、），可得杆件得扭率），可得杆件得扭率 将上式代入式将上式代入式(9-16)(9-16)得得（9-16）（9-17）本讲稿第二十四页，共二十七页 再将上式代入（再将上式代入（9-149-14），最终得出各室剪流的计算），最终得出各室剪流的计算公式：公式：式中，式中，i=1,2,3,i=1,2,3,n,n。81210101610800300400600三闭室截面如图三闭室截面如图所示，两端受扭所示，两端受扭矩矩求扭转惯性矩及剪求扭转惯性矩及剪流流（9-18）(图9-5)本讲稿第二十五页，共二十七页 作业作业2 2、3 3、5 5本讲稿第二十六页，共二十七页 考试题型：考试题型：（1 1）选择填空）选择填空 （2 2）判断题（不要解释理由，只要判断对错）判断题（不要解释理由，只要判断对错）以上两项共以上两项共5454分，可能会增加题量，减小每题的分值分，可能会增加题量，减小每题的分值（3 3）计算题（基本运算）计算题（基本运算）4646分分计算题比作业题目简单，运算量小计算题比作业题目简单，运算量小重点在后面章节，与材料力学重复率低的章节重点在后面章节，与材料力学重复率低的章节试验报告作业平时分试验报告作业平时分考试时计算题先把关键公式写下考试时计算题先把关键公式写下本讲稿第二十七页，共二十七页