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1、第三章第三章 傅里叶变换傅里叶变换1.1.利用傅里叶级数的定义式分析周期信号利用傅里叶级数的定义式分析周期信号的的离散谱离散谱；2.2.利用傅里叶积分分析非周期信号的利用傅里叶积分分析非周期信号的连续连续谱谱；3.3.理解信号的理解信号的时域时域与与频域频域间的关系；间的关系；4.4.用傅里叶变换的性质进行正逆变换；用傅里叶变换的性质进行正逆变换；5.5.掌握掌握抽样信号频谱抽样信号频谱的计算及抽样定理。的计算及抽样定理。本章重点本章重点3.1 引言引言傅里叶生平傅里叶生平o1768年生于法国年生于法国o1807年提出年提出“任何周任何周期信号都可用正弦函期信号都可用正弦函数级数表示数级数表示
2、”o1822年首次发表年首次发表“热热的分析理论的分析理论”中中o1829年狄里赫利第一年狄里赫利第一个给出收敛条件个给出收敛条件o拉格朗日反对发表拉格朗日反对发表傅立叶的两个最主要的贡献：傅立叶的两个最主要的贡献：o“周期信号都可表示为成谐波关系的周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权和正弦信号的加权和”傅里叶的第傅里叶的第一个主要论点一个主要论点o“非周期信号都可用正弦信号的加权非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示积分表示”傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合 意义：意义：2.从系统分析角度从系统分
3、析角度:已知单频正弦信号激励下的响应已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然。1.1.从信号分析的角度从信号分析的角度:将信号表示为不同频率正弦将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。傅里叶分析法是信号分析和系统设计的不可缺少的重要工具3.2 3.2 周期信号的傅立叶级数分析周期信号的傅立叶级数分析一、三角函数形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数 1、三角函数形式的傅里叶级数、三角函数形式的傅里叶级数 为了积分方便，通常取积分区间为：为了积分方便，通常取积分区间
4、为：三角函数集是一组完备的正交函数三角函数集是一组完备的正交函数有关正交函数集及正交函数分解的概念，参见有关正交函数集及正交函数分解的概念，参见教材第六章：教材第六章：329329页页6.36.3 信号的正交函数分解信号的正交函数分解2 2、另一种三角函数形式的傅里叶级数、另一种三角函数形式的傅里叶级数3 3、傅里叶级数展开的充分条件、傅里叶级数展开的充分条件通常所遇到的周期性信号都能满足此条件，因此，通常所遇到的周期性信号都能满足此条件，因此，通常所遇到的周期性信号都能满足此条件，因此，通常所遇到的周期性信号都能满足此条件，因此，以后除非特殊需要，一般不再考虑这一条件。以后除非特殊需要，一般
5、不再考虑这一条件。以后除非特殊需要，一般不再考虑这一条件。以后除非特殊需要，一般不再考虑这一条件。例：求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数例：求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号 4、展开式的物理含义、展开式的物理含义 任何信号只要满足狄利克雷条件都可以展开为三角任何信号只要满足狄利克雷条件都可以展开为三角任何信号只要满足狄利克雷条件都可以展开为三角任何信号只要满足狄利克雷条件都可以展开为三角函数级数的形式，即可以展开为直流分量和正弦或余弦函数级数的形式，即可以展开为直流分量和正弦或余弦函数级数的形式，即可以展开为直流分量和正弦或余弦函数级数的形式，即可以展开为直流分量和正
6、弦或余弦分量的叠加：分量的叠加：分量的叠加：分量的叠加：从展开式中可以看出，正弦或余弦分量的频率是基从展开式中可以看出，正弦或余弦分量的频率是基从展开式中可以看出，正弦或余弦分量的频率是基从展开式中可以看出，正弦或余弦分量的频率是基频频频频f f1 1的整数倍的整数倍的整数倍的整数倍,通常把正弦或余弦分量定义为基波分量通常把正弦或余弦分量定义为基波分量通常把正弦或余弦分量定义为基波分量通常把正弦或余弦分量定义为基波分量和谐波分量。和谐波分量。和谐波分量。和谐波分量。基波：基波：基波：基波：频率为频率为频率为频率为的分量的分量的分量的分量二次谐波：二次谐波：二次谐波：二次谐波：频率为频率为频率为
7、频率为三次谐波：三次谐波：三次谐波：三次谐波：频率为频率为频率为频率为的分量的分量的分量的分量的分量的分量的分量的分量显然：信号直流分量的大小以及基波与各次谐波的显然：信号直流分量的大小以及基波与各次谐波的显然：信号直流分量的大小以及基波与各次谐波的显然：信号直流分量的大小以及基波与各次谐波的幅度、相位取决于周期信号的波形。幅度、相位取决于周期信号的波形。幅度、相位取决于周期信号的波形。幅度、相位取决于周期信号的波形。信号的直流分量、基波和各次谐波的幅度、相位信号的直流分量、基波和各次谐波的幅度、相位信号的直流分量、基波和各次谐波的幅度、相位信号的直流分量、基波和各次谐波的幅度、相位都是都是都
8、是都是n n n n1 1 1 1的函数，可以利用图形的方法将它们描的函数，可以利用图形的方法将它们描的函数，可以利用图形的方法将它们描的函数，可以利用图形的方法将它们描述，就是信号的述，就是信号的述，就是信号的述，就是信号的幅频图幅频图幅频图幅频图和和和和相频图相频图相频图相频图。5、周期信号的频谱图：幅度谱和相位谱、周期信号的频谱图：幅度谱和相位谱各频率分量的幅度称为各频率分量的幅度称为各频率分量的幅度称为各频率分量的幅度称为谱谱谱谱线线线线，连接谱线顶点的曲线，连接谱线顶点的曲线，连接谱线顶点的曲线，连接谱线顶点的曲线称为称为称为称为包络线包络线包络线包络线。周期信号频谱图的特点：周期信
9、号频谱图的特点：周期信号频谱图的特点：周期信号频谱图的特点：离散性、谐波性、收敛性离散性、谐波性、收敛性离散性、谐波性、收敛性离散性、谐波性、收敛性二、指数形式的傅里叶级数二、指数形式的傅里叶级数由三角形式的傅里叶级数：由三角形式的傅里叶级数：由三角形式的傅里叶级数：由三角形式的傅里叶级数：利用欧拉公式：利用欧拉公式：利用欧拉公式：利用欧拉公式：可以得到指数形式的傅里叶级数：可以得到指数形式的傅里叶级数：可以得到指数形式的傅里叶级数：可以得到指数形式的傅里叶级数：1、指数形式的傅里叶级数、指数形式的傅里叶级数2、傅里叶级数各系数之间的关系、傅里叶级数各系数之间的关系3、指数形式表示的信号频谱指
10、数形式表示的信号频谱-复数频谱复数频谱F Fn n一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱。一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱。幅度谱与相位谱合并幅度谱与相位谱合并周期信号频谱图的特点：周期信号频谱图的特点：周期信号频谱图的特点：周期信号频谱图的特点：离散性、谐波性、收敛性离散性、谐波性、收敛性离散性、谐波性、收敛性离散性、谐波性、收敛性说明：频谱中出现了负频率，而负频率的出现完全说明：频谱中出现了负频率，而负频率的出现完全说明：频谱中出现了负频率，而负频率的出现完全说明：频谱中出现了负频率，而负频率的出现完全是是是是数学运算的结果数学运算的结果数学运算的结果数学运算的结果，并没有任何物理意
11、义并没有任何物理意义并没有任何物理意义并没有任何物理意义，只有把，只有把，只有把，只有把负频率与相应的正频率项成对地结合起来，才是实负频率与相应的正频率项成对地结合起来，才是实负频率与相应的正频率项成对地结合起来，才是实负频率与相应的正频率项成对地结合起来，才是实际的频谱函数。际的频谱函数。际的频谱函数。际的频谱函数。4.周期信号的功率特性周期信号的功率特性周期信号的周期信号的周期信号的周期信号的平均功率平均功率平均功率平均功率P P：在一个周期内求平方再求积分。在一个周期内求平方再求积分。在一个周期内求平方再求积分。在一个周期内求平方再求积分。帕塞瓦尔帕塞瓦尔帕塞瓦尔帕塞瓦尔定理定理定理定理
12、三、函数的对称性与傅里叶系数的关系三、函数的对称性与傅里叶系数的关系1.函数的对称性函数的对称性 要将信号要将信号f(t)f(t)展开为傅里叶级数，如果展开为傅里叶级数，如果f(t)f(t)是实函数，是实函数，且它波形满足某种对称性，根据其系数求解公式可知：傅里且它波形满足某种对称性，根据其系数求解公式可知：傅里叶级数中有些项为叶级数中有些项为0 0，留下的各项系数的表示式也比较简单。，留下的各项系数的表示式也比较简单。波形对称性有两类：波形对称性有两类：（1 1）对整周期对称。即偶函数和奇函数。）对整周期对称。即偶函数和奇函数。（2 2）对半周期对称。即奇谐函数。）对半周期对称。即奇谐函数。
13、2.根据对称性求解傅里叶级数的系数根据对称性求解傅里叶级数的系数例如：周期三角波信号是一偶函数其他系数：其他系数：其他系数：其他系数：其傅里叶级数表达式为：例如：周期三角波信号是一偶函数例如：周期锯齿波信号是一奇函数其他系数的求解：其他系数的求解：其他系数的求解：其他系数的求解：例如：周期锯齿波信号是一奇函数其傅里叶级数表达式为：3 3）奇谐函数信号（半波对称函数）奇谐函数信号（半波对称函数）奇谐函数信号（半波对称函数）奇谐函数信号（半波对称函数 ）奇谐奇谐函数信号函数信号：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化，即满足：00a=奇谐函数举例：奇谐函数举例：作业：3-23-43-7(a)(b)(d)