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1、第第二二章章函函数数12.3 2.3 函数的值域函数的值域第二课时第二课时题型题型4 用不等式法求函数的值域用不等式法求函数的值域 1.求下列函数的值域：求下列函数的值域：(1);(2).2 解：解：(1)因为因为x ，所以，所以x-0，所以所以 ，当且仅当当且仅当x-=，即，即x=时等号成立时等号成立.所以所以y ，所以原函数的值域为，所以原函数的值域为 ,+).3 (2)原函数可化为原函数可化为sinx-ycosx=1-2y，所以所以 sin(x-)=1-2y(其中其中 )，所以所以sin(x-)=-1,1，所以所以|1-2y|，所以所以3y2-4y0，所以，所以0y ，所以原函数的值域为
2、所以原函数的值域为0,.4 点评：点评：对于求形如对于求形如 或或 (x-或或x-)的值的值域，常用均值不等式求解，求解时注意域，常用均值不等式求解，求解时注意“一正，二定，三相等一正，二定，三相等”三个条件须同三个条件须同时成立时成立.5 将上题将上题(1)中条件中条件“x ”改为改为“x ”呢呢?解：解：因为因为x ，所以，所以x-0，所以所以当且仅当当且仅当 ，即，即x=时等号成立时等号成立.所以所以y-，所以原函数的值域为所以原函数的值域为(-,-.6 2.设设a0为常数，函数为常数，函数f(x)=，已知当，已知当xm，n(nm0)时，时，f(x)的值域也是的值域也是m，n，求，求a的
3、取值范围的取值范围.解：解：因为因为f(x)在在(0，+)上是增函数，上是增函数，所以当所以当nm0时，时，f(x)在在m，n上是增函数上是增函数.因为当因为当xm,n时时,f(x)m,n,所以所以 从而从而m,n是关于是关于x的方程的方程 =x的两个不等正根的两个不等正根.题型题型5 有关值域的逆向思维问题有关值域的逆向思维问题7 由由 =x，得，得 ，所以所以 解得解得0a ，故故a的取值范围是的取值范围是(0，).点评：点评：解决函数的定义域与值域对应的解决函数的定义域与值域对应的问题，一般先根据函数的单调性，找到定义问题，一般先根据函数的单调性，找到定义域与值域的端点值的对应关系，然后
4、由此得域与值域的端点值的对应关系，然后由此得出相应参数的方程出相应参数的方程(或不等式或不等式)，再求解得出参，再求解得出参数的取值或取值范围数的取值或取值范围.8 若函数若函数f(x)=的最大值为的最大值为4，最小值为，最小值为-1，求实数，求实数a，b的值的值.解：解：设设y=,去分母得去分母得yx2-ax+y-b=0，y=0显然在函数值域显然在函数值域-1，4内；内；y0时，时，xR，所以，所以=a2-4y(y-b)0，即即4y2-4by-a20的解为的解为-1y4.所以方程所以方程4y2-4by-a2=0的两根为的两根为-1，4，由韦达定理知，由韦达定理知，b=-1+4=3，-=-14
5、，所以所以a=4，b=3或或a=-4，b=3.拓展练习拓展练习9 3.若不等式若不等式a-x-对一切对一切x(0，成成立，求立，求a的最小值的最小值.解：解：构造函数构造函数f(x)=-x-，x(0，则则f(x)=-1+，当，当x(0，时，时，y0，所以所以f(x)=-x-在在(0，上单调递增上单调递增.因为因为x(0，,所以所以f(x)max=f()=-，又因为又因为af(x)恒成立恒成立af(x)max=-，故故a的最小值为的最小值为-.题型题型6 恒成立与存在性问题恒成立与存在性问题10 点评：点评：不等式的恒成立问题，可不等式的恒成立问题，可以构造函数，利用函数的最值问题来以构造函数，
6、利用函数的最值问题来解决解决.求函数的最值的方法与求函数的求函数的最值的方法与求函数的值域的方法是类似的，此类题综合了值域的方法是类似的，此类题综合了函数、方程、不等式等知识，注意三函数、方程、不等式等知识，注意三者之间的相互转化与联系者之间的相互转化与联系.11 (原创原创)关于关于x的不等式的不等式 a在区间在区间1，2上有解，求上有解，求a的取值范围的取值范围.解：解：构造函数构造函数f(x)=，x1，2，则则f(x)=，当当x1，2时，时，f(x)0，所以，所以f(x)在区在区间间1，2上是减函数上是减函数.所以所以x1,2时时,f(x)min=f(2)=-，因为因为 a在区间在区间1
7、，2上有解，则上有解，则af(x)min=-.故故a的取值范围是的取值范围是-，+).12 如图，在边长为如图，在边长为1的的正三角形正三角形ABC中，中，P、Q、R分别为边分别为边BC、CA、AB上的点，且上的点，且CQ=2BP，AR=3BP，求，求PQR的的面积面积S的取值范围的取值范围.题型题型 实际应用问题实际应用问题13 解：解：设设BP=x，则，则S=SABC-SBPR-SPCQ-SARQ又又03x1，即，即0 x ，所以函数的定义域为所以函数的定义域为0，所以当所以当x=时，时，Smin=;当当x=0时，时，Smax=.所以所以S的取值范围是的取值范围是 ，.14 1.求函数值域
8、的常用方法求函数值域的常用方法:配方法、判别式配方法、判别式法、换元法、不等式法、有界性法、单调性法、法、换元法、不等式法、有界性法、单调性法、图象法、反函数法、几何法等图象法、反函数法、几何法等.2.已知函数的定义域或值域，求参数的值已知函数的定义域或值域，求参数的值或取值范围，关键是要将题设条件转化为关于或取值范围，关键是要将题设条件转化为关于参数的方程参数的方程(组组)或不等式或不等式(组组).3.对于求含参数的方程有实根的条件，若对于求含参数的方程有实根的条件，若能分离参数，则可转化为函数的值域求解能分离参数，则可转化为函数的值域求解.154.恒成立问题：恒成立问题：f(x)a恒成立恒成立f(x)mina;f(x)a恒成立恒成立f(x)maxa.5.存在性问题：存在性问题：存在存在x，使，使f(x)a成立成立f(x)maxa；存在存在x，使，使f(x)a成立成立f(x)mina.16