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1、1(复习二)开始2第四章第四章 随机变量的数字特征(知识点)随机变量的数字特征(知识点)1.随机变量数学期望的定义及随机变量数学期望的定义及性质,性质,7个分布个分布 的数学期望。的数学期望。2.随机变量函数随机变量函数的的数学期望求法数学期望求法3.随机变量方差的定义及随机变量方差的定义及性质,性质,7个分布个分布 的方差。的方差。4.协方差及相关系数,协方差及相关系数,二维正态分布二维正态分布的协方差及相关系数。的协方差及相关系数。*5*5.矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵*6*6.条件期望条件期望3定理定理4.1.1:设设Y是随机变量是随机变量X的函数的函数,Y=g(X)(函数函数g(x)是
2、连续函数是连续函数).一、一、设离散随机变量设离散随机变量X的分布律为的分布律为 P(X=xk)=pk k=1,2,*随机变量函数随机变量函数的的数学期望数学期望若级数若级数绝对收敛绝对收敛,则有则有4二、二、连续型随机变量连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为f(x),若积分若积分绝对收敛绝对收敛,则有则有51.数学期望的数学期望的性质性质:(以下均设所遇到的以下均设所遇到的数学期望数学期望存在存在)10 设设C为常数为常数,则有则有 E(C)=C。20 设设C为常数为常数,X是随机变量是随机变量,则有则有 E(CX)=CE(X)。30 X,Y是两个随机变量是两个随机变量,则有则有 E(X
3、+Y)=E(X)+E(Y)。这个这个性质性质可以推广可以推广到到任意有限个任意有限个随机变量之和的情况随机变量之和的情况.40 X,Y是两个相互独立的随机变量是两个相互独立的随机变量,则有则有 E(XY)=E(X)E(Y)。这个这个性质性质可以推广可以推广到到任意有限个任意有限个相互独立的随机变量相互独立的随机变量之积的情况之积的情况.62.方差的方差的性质性质:(以下均设所遇到的以下均设所遇到的方差方差存在存在)10 设设C为常数为常数,则有则有 D(C)=0。20 设设C为常数为常数,X是随机变量是随机变量,则有则有 D(CX)=C2D(X)。30 X,Y是两个相互独立的随机变量是两个相互
4、独立的随机变量,则有则有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)。这个这个性质性质可以推广可以推广到到任意有限个任意有限个相互独立的随机变量相互独立的随机变量之和的情况之和的情况.40 D(X)=0 的充要条件是的充要条件是X以概率以概率1取常数取常数C,即即 PX=C=173.协方差的协方差的性质性质:(以下均设所遇到的以下均设所遇到的协方差协方差存在存在)10 Cov(X,Y)=Cov(Y,X)。30 设设a,b为常数为常数,则有则有 Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y)。40 X1,X2,Y 是任三个随机变量是任三个随机变量,则有则有 Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Co
5、v(X2,Y)20 Cov(X,c)=0。50 当当 X 和和 Y 相互独立时相互独立时84.2对任意两个随机变量对任意两个随机变量X和和Y,有有4.3将定义式展开易得将定义式展开易得我们常常利用这些式子计算。我们常常利用这些式子计算。即即2.1对任意对任意 随机变量随机变量X,有有9设随机变量设随机变量X具有具有数学期望数学期望 E(X)=和方差和方差 D(X)=2,则对于任意正数则对于任意正数 ,成立不等式成立不等式.此不等式称为此不等式称为切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)不等式不等式。对对一般一般随机变量值的随机变量值的估计估计要用到要用到一个重要的不等式,一个重要的不等式,此不等
6、式亦可写成此不等式亦可写成10第五章第五章 大数定律即中心极限定理(知识点)大数定律即中心极限定理(知识点)1:1:几乎处处收敛几乎处处收敛、依概率收敛、依分布收敛的定义依概率收敛、依分布收敛的定义2 2:契比雪夫契比雪夫 大数定律(独立大数定律(独立、方差有界),贝努利大数定律贝努利大数定律 (二项分布二项分布的频率稳定性的频率稳定性),辛钦大数定律辛钦大数定律 (独立同分布)。(独立同分布)。3 3:林德贝格林德贝格勒维中心极限勒维中心极限 定理(独立同分布),定理(独立同分布),德莫弗德莫弗-拉普拉斯拉普拉斯 定理定理 (二项分布二项分布),李雅普诺夫李雅普诺夫 定理定理 (李雅普诺夫条
7、件李雅普诺夫条件)。满足条件满足条件的的随机变量随机变量的的算术平均序列算术平均序列与它们的与它们的数学期望数学期望的的算术平均序列算术平均序列之差之差依概率收敛于零依概率收敛于零。则则随机变量和随机变量和的的标准化标准化序列序列依分布收敛依分布收敛于于N(0,1),11 三个重要的收敛三个重要的收敛定义定义:设设,Y1,Y2,Yn,是一个随机变量序列是一个随机变量序列,X 也也是一个随机变量是一个随机变量.则称则称,随机变量序列随机变量序列Y1,Y2,Yn,几乎处处收敛几乎处处收敛于于X.记为记为1:若存在若存在 N S,P(N)=0.若若对任意的对任意的 e Nc,有有依概率收敛依概率收敛
8、2:若对于任意正数若对于任意正数 ,有有 3:它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为 Fn(x)和和 F(x).若对若对F的每的每一个连续点一个连续点 x,都有都有依分布收敛依分布收敛12定理一定理一:设随机变量设随机变量X1,X2,Xn,相相互独立互独立,且具有且具有 当当n充分大时充分大时,满足条件满足条件的随机变量的随机变量X1,X2,Xn的的算术平均算术平均接近于它们的接近于它们的数学期望的平均数学期望的平均。5.2大数定律大数定律或或有限方差有限方差,且存在常数且存在常数C C使得使得,或或有限方差有限方差,满足满足,则则 依概率收敛依概率收敛于于 0。或或相同的数学期望和方差相同
9、的数学期望和方差:E(Xk)=,D(Xk)=2.13定理三定理三(辛钦定理辛钦定理):设随机变量设随机变量X1,X2,Xn,相相互独立互独立,服从服从同一分布同一分布,且具有数学期望且具有数学期望 E(Xk)=(k=1,2,).则则随机变量的随机变量的平均序列平均序列 依概率收敛依概率收敛于于 .14定理二定理二(贝努利定理贝努利定理):设设nA是是n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A发生的次数发生的次数.p是事件是事件A在每次试验中发生的概率在每次试验中发生的概率,则则(这是定理一、三的特殊情况这是定理一、三的特殊情况)即:事件即:事件A发生的频率发生的频率依概率收敛依概率收敛于事件
10、于事件A发生的概率。发生的概率。15定理一定理一(独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理)则则随机变量和随机变量和的的标准化标准化序列序列5.3中心极限定理中心极限定理设设 X1,X2,Xn,为相为相互独立的随机变量互独立的随机变量,服从同服从同一分布一分布,且具有数学期望和方差且具有数学期望和方差:E(Xk)=,D(Xk)=2 0,(k=1,2,)依分布收敛依分布收敛于于N(0,1),即即16定理三定理三(德莫弗德莫弗-拉普拉斯拉普拉斯De Moivre-Laplace定理定理)设设 随机变量序列随机变量序列 n 服从参数为服从参数为n,p的二项分布的二项分布,则则即即,对于足够大
11、的对于足够大的 n,随机变量随机变量 n 近似服从近似服从N(np,npq).17定理二定理二(李雅普诺夫李雅普诺夫Liapunov定理定理)若存在正数若存在正数 ,使得当使得当 n 时时,设设 X1,X2,Xn,为相为相互独立的随机变量互独立的随机变量,具有数具有数学期望和方差学期望和方差:E(Xk)=k,D(Xk)=k2 0,记记则则随机变量和随机变量和的的标准化标准化序列序列依分布收敛依分布收敛于于N(0,1),即即18第六章第六章 样本及抽样分布(知识点)样本及抽样分布(知识点)1.1.随机样本、随机样本、统计量统计量的的定义定义:2.2.几个常用的统计量:几个常用的统计量:样本平均值
12、样本平均值;样本方差样本方差;样本标准差样本标准差;样本样本k k阶阶(原点原点)矩矩;样本样本k k阶阶(中心中心)矩矩;样本极差样本极差;样本中位数样本中位数;样本分布函数。样本分布函数。8个个3 3:几个:几个抽样分布抽样分布(0)正态正态分布分布(一一)2分布分布;(二二)t分布分布;(三三)F分布分布 4个个4 4:分布的分布的上上 、下下 、双侧双侧 分位点分位点5 5:正态总体的正态总体的样本均值样本均值与与样本方差样本方差的分布的分布 4个个 19定义定义:设设X是具有分布函数是具有分布函数F的随机变量。若的随机变量。若X1,X2,Xn是是相相互独立且具有同一分布的互独立且具有
13、同一分布的n个随机变量个随机变量,则称则称X1,X2,Xn为从分布函数为从分布函数F(或总体或总体F、或总体、或总体X)得到得到的的容量为容量为n的简单随机样本的简单随机样本,简称简称样本样本.它们的观察值它们的观察值x1,x2,xn称为称为样本值样本值,又称为又称为X的的n个独立观察值个独立观察值.6.1随机样本随机样本总体均可视为总体均可视为无限总体无限总体;抽出的部分抽出的部分(n个个)个体为一个样个体为一个样本本,亦视为亦视为有放回抽取有放回抽取,保证抽样为保证抽样为独立独立、同分布同分布的随机的随机样本样本;其个数其个数n为样本容量为样本容量。20定义定义 设设X1,X2,Xn是来自
14、总体是来自总体X的一个的一个样本样本,若若g是是连续函数连续函数且且g中中不含任何未知参数不含任何未知参数,则称函数则称函数g(X1,X2,Xn)是一个是一个统计量统计量.又设又设x1,x2,xn是相应于是相应于X1,X2,Xn的的样本值样本值,则称则称g(x1,x2,xn)为为g(X1,X2,Xn)的的观察值观察值.21设设X1,X2,Xn是来自总体是来自总体X的一个的一个样本样本,x1,x2,xn是相应于是相应于X1,X2,Xn的样本的样本观察值观察值.6.2 几个常用的统计量几个常用的统计量样本平均值样本平均值:样本方差样本方差:样本标准差样本标准差:定义定义:22样本样本k阶阶(原点原
15、点)矩矩:样本样本k阶阶(中心中心)矩矩:样本极差样本极差:23我们指出我们指出:若总体若总体X的的k阶矩存在阶矩存在,记为记为E(Xk)=k,则当则当 n 时(时(辛钦定理辛钦定理)对于连续函数对于连续函数g(x1,xk),由,由依概率收敛序列的依概率收敛序列的性质性质知知,24样本的函数是样本的函数是统计量统计量,它是一个随机变量它是一个随机变量.它的分布称为它的分布称为抽样分布抽样分布.(一一)2分布分布为服从自由度为为服从自由度为 n 的的 2 分布分布,记为记为 2 2(n)设设X1,X2,Xn是来自总体是来自总体N(0,1)的样本的样本,则称则称统计量统计量6.3 抽样分布抽样分布
16、25(二二)t分布分布为服从自由度为为服从自由度为 n 的的 t 分布分布,记为记为 t t(n).设设 X N(0,1),Y 2(n),X 与与 Y 相互独立相互独立.则称则称统计量统计量26(三三)F分布分布为服从自由度为为服从自由度为(n1,n2)的的 F 分布分布,记为记为 F F(n1,n2)设设 U 2(n1),V 2(n2),U 与与 V 相互独立相互独立.则称则称统计量统计量显然,显然,1/F为服从自由度为为服从自由度为(n2,n1)的的 F 分布分布,即即 1/F F(n2,n1)276.4(正态)总体的(正态)总体的样本均值样本均值与与样本方差样本方差的分布的分布 1.设总
17、体设总体X数学期望数学期望E(X)=和方差和方差D(X)=2存在存在(不管服从什么分布不管服从什么分布)。又设又设X1,X2,Xn是来自总体是来自总体X的样本的样本,则总有则总有2.进而,进而,若若 X N(,2),则,则于是进而于是进而有有定理一定理一:28定理二定理二:设设X1,X2,Xn是来自总体是来自总体N(,2)X的样本的样本,为样本均值和方差为样本均值和方差,则有则有1.2.29定理三定理三:设设X1,X2,Xn是来自总体是来自总体N(,2)的样本的样本,为样本均值和方差为样本均值和方差,则有则有30设设X1,X2,Xn1与与Y1,Y2,Yn2分别是来自两分别是来自两正态总体正态总
18、体N(1,12),N(2,22)的样本的样本,且这两且这两个样本相互独立个样本相互独立.这两个这两个样本样本的的均值为均值为这两个这两个样本样本的的方差为方差为,31其中:其中:如果且具有如果且具有相同方差相同方差,则则:定理四定理四:则有则有:定理五定理五:326.5 (1)分布的分布的上上 分位点分位点则称则称 为该分布的上为该分布的上 分位点分位点.如如:正态分布正态分布、t 分布分布、2分布分布、F 分布分布、.等的等的上上 分位点分位点.请注意:请注意:设设 X为一个随机变量为一个随机变量,其分布为其分布为F,对任意对任意0 1,若若 满足条件满足条件33(2)分布的分布的下下 分位
19、点分位点则称则称 为该分布的下为该分布的下 分位点分位点.如如:正态分布正态分布、t 分布分布、2分布分布、F 分布分布、.等的等的下下 分位点分位点.请注意:请注意:设设 X为一个随机变量为一个随机变量,其分布为其分布为F,对任意对任意0 1,若若 满足条件满足条件34(3)对称分布的对称分布的 双侧双侧 分位点分位点则称则称 为该分布的为该分布的双侧双侧 分位点。分位点。如如:正态分正态分布布、t 分布分布、.等的等的双侧双侧 分位点分位点。请注意:。请注意:设设 X为一个随机变量为一个随机变量,其分布密度为其分布密度为对称的对称的,对对任意任意0 1,若若 满足条件满足条件35正态分布正
20、态分布N(0,1)的下、的下、(上上)分位点记为分位点记为:t(n)分布分布的下、的下、(上上)分位点记为分位点记为:2(n)分布分布的下、的下、(上上)分位点记为分位点记为:F(n1,n2)分布分布的下、的下、(上上)分位点记为分位点记为:36表中没有的表中没有的(小于小于0.5的的),可由对称性得出可由对称性得出1。正态。正态分布的(上)分布的(上)分位点可查分位点可查附表附表2.注意注意 本书本书分位数分位数的的查找方法查找方法为为372。对于对于n45的的 分布的(上)分布的(上)分位点由下式近似得到分位点由下式近似得到表中没有的表中没有的(小于小于0.5的的),可由对称性得出可由对称性得出383。为为 分布的下分布的下 分位点分位点.对于对于n45的的 分布的(下)分布的(下)分位点分位点由下式近似得到由下式近似得到u 为为标准正态分布的下下 分位点分位点.39 4。对于对于 分布的下分布的下 分位点分位点可查可查附表附表5.表中无有的表中无有的 (较小的较小的)可由右式得出可由右式得出:40(复习二)结束