第一章第二讲整数环.ppt

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1、初等数学研究初等数学研究第一章数系第一章数系第二讲第二讲 整数环、复数域整数环、复数域20092009数学与应用数学数学与应用数学20112011。9.139.13阅读教材：阅读教材：n n主要学习内容：n n1.群、环、域的基本知识n n2.复数域的构造（实数域的扩充）n n3.复数为什么不能比较大小？复数域是有序集，但不是有序域1.3整数环 以自然数集为基础，用添加负整数的方法扩展到整数集并讨论整数的以自然数集为基础，用添加负整数的方法扩展到整数集并讨论整数的运算及有关性质运算及有关性质一、整数的概念一、整数的概念1.1.负整数的引入负整数的引入 减法定义：减法定义：使使 则则 负整数定义

2、：负整数定义：2.2.整数概念及其绝对值整数概念及其绝对值正整数、负整数和零，统称整数整数集记为正整数、负整数和零，统称整数整数集记为Z Z 群群 GroupGroup定义定义 1 设 是有单位元的半群。若G中每个元素都有逆元，则称为群。n n在群中，通常将元素x的逆元记为x-1.n n要证明一个代数系统是否是群，根据群的定义需要证明以下4点：1)*是G上的二元运算；2)*满足结合律；3)关于*有单位元；4)G中每个元素关于*有逆元。例例 设Z是整数集合，+是整数加法，由算术知识知:1)两个整数之和仍为整数，且结果唯一，故+是I上的二元运算；2)整数加法满足结合律；3)取 0Z,aZ,有a+0

3、0+aa。由单位元的定义知，0是关于+的单位元；4)aZ，取-aI，有a+(-a)(-a)+a0。由逆元的定义知I中每个元素有逆元；由群的定义知是群。二、整数运算与整数环二、整数运算与整数环环的定义定义 设设(R,)是是一个代数结构，若一个代数结构，若（1）(R,)为交换群；为交换群；（2）(R,)为半群；为半群；（3）运算）运算对对满足分配律，满足分配律，则称则称(R,)为为一个环。一个环。三、整数集的性质1.Z是序集 有序集：如果存在一种关系R,集合里任意两个元素都能确定ARB或者BRA 。整数的大小顺序的定义：整数的大小顺序的定义：（教材P24）整数的顺序具有传递性和三分性，是整数的顺序

4、具有传递性和三分性，是有序集。有序集。2.Z具有离散性具有离散性 整数的离散性就是指在某些整数之间没有整数，例如1和2,-100和-99 等；有理数的稠密性就是指任两个有理数之间必有有理数。3.Z是可列集（教材是可列集（教材P24）可列集可列集:如果一个无限集中的元素可按某如果一个无限集中的元素可按某种规律排成一个序列。种规律排成一个序列。每个无限集必包含可列子集，但无限集并每个无限集必包含可列子集，但无限集并非一定是可列集。非一定是可列集。n n自然数集自然数集、有理数有理数集都是可列集。集都是可列集。n n实数实数集、集、复数复数集、直线点集、集、直线点集、平面点集都平面点集都是不可列集（

5、或不可数集）。是不可列集（或不可数集）。凡是能够和自然数集N建立一一对应关系的无限集是可列集四、带余除法和整除概念定理 （带余除法）设 ，则存在 ，使 成立，其中 是唯一的（证明参见P24）1.4 有理数域 一、有理数概念二、有理数的顺序三、有理数运算与有理数域 Q含有0和单位元1 对于加、减、乘、除（除数不为零）四种运算都封闭 Q的加法和乘法都满足交换律和结合律，还满足乘法对加法的分配律 Q是一个数域域域定义一个环定义一个环 叫做一个除环，若叫做一个除环，若、至少包含一个不等于零的元；、至少包含一个不等于零的元；、有一个单位元；、有一个单位元；、每一个非零的元都有逆元。、每一个非零的元都有逆

6、元。除环的性质除环的性质1 1、除环没有零因子、除环没有零因子2 2、除环的特征只能为零或者素数。、除环的特征只能为零或者素数。一个交换除一个交换除一个交换除一个交换除环环环环叫做一个域。（考虑两个定义的等价性）叫做一个域。（考虑两个定义的等价性）叫做一个域。（考虑两个定义的等价性）叫做一个域。（考虑两个定义的等价性）序域序域四、四、QQ的性质的性质性质性质1 1 Q Q是有序域是有序域 序域，是指一种具有关系序域，是指一种具有关系“”的域的域F,F,其其中正元素集中正元素集 x xF|xF|x00在加法和乘法下封闭。在加法和乘法下封闭。等价于在加法和乘法下：单调性成立。等价于在加法和乘法下：

7、单调性成立。性质2 ，存在 ，使 （阿基米德性质）性质3 Q具有稠密性（教材p30）性质4 Q是一个可列集（教材p30）1.5 近似计算一、近似值的三种截取方法一、近似值的三种截取方法二、近似值精确程度的衡量二、近似值精确程度的衡量1.1.绝对误差与绝对误差界绝对误差与绝对误差界 A A真值真值A A的近似值为的近似值为 ，则，则 叫叫做近似值做近似值 的绝对误差的绝对误差 .尽量小的界尽量小的界 叫做叫做 的绝对误界的绝对误界 叫做叫做A A的一个下界，的一个下界，叫做叫做A A的一个上界的一个上界 。2.相对误差与相对误差界近似值 的绝对误差 与 的绝对值之比，叫做近似值 的相对误差，记作

8、 即 相对误差界 三、近似数四则运算的经验法则三、近似数四则运算的经验法则四、预定精确度的计算方法四、预定精确度的计算方法五、电子计算器（机）的计算功能五、电子计算器（机）的计算功能1.6 实数域一、无理数的列入例 证明 不是有理数（教材p42）二、实数概念及其顺序 叫做正实数其中 ，当 时，不全为0三、退缩有理闭区间序列(参阅教材教材p44)四、实数的运算五、R的性质性质1 R是一个数域，而且是一个有序域性质2 R中阿基米德性质成立：对于 ，使。性质3 R具有连续性。性质4 R是不可数集。分析：只须证明 是不可数集。（0,1）是不不可数集证明：假设（证明：假设（0,10,1）是可数集）是可数

9、集,则则 （0,10,1）可以写成一个无穷可以写成一个无穷 序列的形式：序列的形式：把每个数写成正规小数（不能以把每个数写成正规小数（不能以0 0为循环节）为循环节）令x=0.a1a2a3a4其中则得到矛盾，所以(0,1)是不可数集。1.7 复数域 一、数概念与复数域的构成一、数概念与复数域的构成定义定义 设设 内定了加法和乘内定了加法和乘 法运算：法运算：则称集合则称集合C C为复数集，其中的元素为复数集，其中的元素 叫做复叫做复数叫做复数数叫做复数 的实部，的实部，叫做叫做 的虚部，的虚部，并分别记作并分别记作 和和 .当且仅当当且仅当 时，时，定理 关于它的加法和乘法构成复数域分析 加法

10、：满足交换律、结合律 有零元 ；的逆元为 乘法：结合律、交换律、乘法对加法的 分配律 有单位元 的逆元为 二、数的代数形式 是R0到R的一个一一映射 对 R0与R同构在同构的意义下，可以把复数 与实数 等同起来，即规定令 则其中 定义 叫做复数 的代数式部不是零的复数叫做虚数，实部为零的虚数做纯虚数复数为什么不能比较大小？从数的扩充原则来看，我们自然希望把实数之间的大小关从数的扩充原则来看，我们自然希望把实数之间的大小关从数的扩充原则来看，我们自然希望把实数之间的大小关从数的扩充原则来看，我们自然希望把实数之间的大小关系扩充到复数集上去同时需要保留原来大小关系所具系扩充到复数集上去同时需要保留

11、原来大小关系所具系扩充到复数集上去同时需要保留原来大小关系所具系扩充到复数集上去同时需要保留原来大小关系所具有的通常必备的一些性质这样，把原来数集上的大小有的通常必备的一些性质这样，把原来数集上的大小有的通常必备的一些性质这样，把原来数集上的大小有的通常必备的一些性质这样，把原来数集上的大小关系扩充到新数集上去的问题包括两个方面的内容一关系扩充到新数集上去的问题包括两个方面的内容一关系扩充到新数集上去的问题包括两个方面的内容一关系扩充到新数集上去的问题包括两个方面的内容一方面是能否在方面是能否在方面是能否在方面是能否在 原来数集上的大小关系的基础上，建立新原来数集上的大小关系的基础上，建立新原

12、来数集上的大小关系的基础上，建立新原来数集上的大小关系的基础上，建立新数集上的大小关系，并使其满足顺序律；另一方面是新数集上的大小关系，并使其满足顺序律；另一方面是新数集上的大小关系，并使其满足顺序律；另一方面是新数集上的大小关系，并使其满足顺序律；另一方面是新数集上的这种大小关系能否保留一些通常必备的性质数集上的这种大小关系能否保留一些通常必备的性质数集上的这种大小关系能否保留一些通常必备的性质数集上的这种大小关系能否保留一些通常必备的性质所谓通常必备的性质是指数的大小与数的运算之问相联所谓通常必备的性质是指数的大小与数的运算之问相联所谓通常必备的性质是指数的大小与数的运算之问相联所谓通常必

13、备的性质是指数的大小与数的运算之问相联系的两条性质即所谓的单调性：系的两条性质即所谓的单调性：系的两条性质即所谓的单调性：系的两条性质即所谓的单调性：若若若若 若若若若 就前几次扩充数集就前几次扩充数集就前几次扩充数集就前几次扩充数集(从自然数到整数，从整数到有理数，从自然数到整数，从整数到有理数，从自然数到整数，从整数到有理数，从自然数到整数，从整数到有理数，从有理数到实数从有理数到实数从有理数到实数从有理数到实数)的结果来看，这两个方面的要求都得到的结果来看，这两个方面的要求都得到的结果来看，这两个方面的要求都得到的结果来看，这两个方面的要求都得到了肯定的解决也就是说，在新数集里不仅能在原

14、有的了肯定的解决也就是说，在新数集里不仅能在原有的了肯定的解决也就是说，在新数集里不仅能在原有的了肯定的解决也就是说，在新数集里不仅能在原有的基础上建立起满足顺序律的大小关系，而且，这种数的基础上建立起满足顺序律的大小关系，而且，这种数的基础上建立起满足顺序律的大小关系，而且，这种数的基础上建立起满足顺序律的大小关系，而且，这种数的大小关系与数的运算联系起来考虑也还具有上面提到的大小关系与数的运算联系起来考虑也还具有上面提到的大小关系与数的运算联系起来考虑也还具有上面提到的大小关系与数的运算联系起来考虑也还具有上面提到的两个单调性现在对复数集来说，情形就不完全一样了两个单调性现在对复数集来说，

15、情形就不完全一样了两个单调性现在对复数集来说，情形就不完全一样了两个单调性现在对复数集来说，情形就不完全一样了二、复数集是有序集二、复数集是有序集 首先，把实数集上的大小关系扩充到整个复数集上首先，把实数集上的大小关系扩充到整个复数集上首先，把实数集上的大小关系扩充到整个复数集上首先，把实数集上的大小关系扩充到整个复数集上去，并且使之满足顺序律，这是毫无困难的，而且办去，并且使之满足顺序律，这是毫无困难的，而且办去，并且使之满足顺序律，这是毫无困难的，而且办去，并且使之满足顺序律，这是毫无困难的，而且办法还不止一种例如，对任意的两个复数法还不止一种例如，对任意的两个复数法还不止一种例如，对任意

16、的两个复数法还不止一种例如，对任意的两个复数a+bia+bi与与与与c+dic+di，我们规定：，我们规定：，我们规定：，我们规定：若若若若acac，就算，就算，就算，就算a+bia+bi c+dic+di，若若若若a=ca=c，但，但，但，但bdbd，就算，就算，就算，就算a+bia+bi c+dic+di 用语言叙述就是，用语言叙述就是，用语言叙述就是，用语言叙述就是，两个复数当中实数部分大者，两个复数当中实数部分大者，两个复数当中实数部分大者，两个复数当中实数部分大者，该复数就大；实数部分相等，而虚数部分的系数大者该复数就大；实数部分相等，而虚数部分的系数大者该复数就大；实数部分相等，而

17、虚数部分的系数大者该复数就大；实数部分相等，而虚数部分的系数大者该复数就大该复数就大该复数就大该复数就大 如此规定的复数之间的大小关系，就实数的情形如此规定的复数之间的大小关系，就实数的情形如此规定的复数之间的大小关系，就实数的情形如此规定的复数之间的大小关系，就实数的情形来看，与原有的大小关系完全吻合，同时又一般地满来看，与原有的大小关系完全吻合，同时又一般地满来看，与原有的大小关系完全吻合，同时又一般地满来看，与原有的大小关系完全吻合，同时又一般地满足所强调的顺序律足所强调的顺序律足所强调的顺序律足所强调的顺序律三、复数集不是有序域（即不能在复数集上建立大小关系）n n 但是，问题在于上述

18、这种相当自然的但是，问题在于上述这种相当自然的大小关系与复数运算之间的联系已经出现大小关系与复数运算之间的联系已经出现不够和谐的现象即已不可能维持所谓的不够和谐的现象即已不可能维持所谓的单调性这是很容易指出的比如，按照单调性这是很容易指出的比如，按照这里的规定，对于这里的规定，对于i与与0应有应有n n 0in n于是，如果关于乘法具有单调性的话，那于是，如果关于乘法具有单调性的话，那么就有么就有0iii，从而，从而0-1n n这与已经规定好的这与已经规定好的-l0相矛盾这就说明，相矛盾这就说明，上面规定的复数之间的相当自然的大小关上面规定的复数之间的相当自然的大小关系不能保持关于乘法的单调性

19、系不能保持关于乘法的单调性 其实，我们可以一般地证明，复数集其实，我们可以一般地证明，复数集上的任何一种大小关系上的任何一种大小关系(当然是满足顺序律当然是满足顺序律的大小关系的大小关系)都必须放弃对单调性的要求都必须放弃对单调性的要求换句话说，在复数集上不存在满足以下四换句话说，在复数集上不存在满足以下四个条件的大小关系：个条件的大小关系：n n 1)对任意两个复数对任意两个复数与与 ，下列三个关系，下列三个关系有且只有一个成立：有且只有一个成立：n n n n 2)若若,，则，则 3)若若，为任意复数为任意复数 n n +n n 4)若若O ,有有 n n事实上，假如在复数集上能够规定一个

20、小于关系事实上，假如在复数集上能够规定一个小于关系事实上，假如在复数集上能够规定一个小于关系事实上，假如在复数集上能够规定一个小于关系“”，它同时满足以上四个条件，它同时满足以上四个条件，它同时满足以上四个条件，它同时满足以上四个条件 我们考查我们考查我们考查我们考查0 0与与与与i i这两个复数这两个复数这两个复数这两个复数n n 由条件由条件由条件由条件1)1)，必有，必有，必有，必有0i 0i 或者或者或者或者 i0i0 不妨先假设不妨先假设不妨先假设不妨先假设0i0i，n n 那么由条件那么由条件那么由条件那么由条件4)4)，则有，则有，则有，则有 0i0iiiii，即，即，即，即0-

21、10-1 （1 1）（1 1）式由条件）式由条件）式由条件）式由条件4)4)，可得，可得，可得，可得 0(-1)(-1)(-1),0(-1)(-1)(-1),即即即即01.01.n n （1）式由条件）式由条件3)，又得，又得 0+1(-1)+1,即即10.这样导致这样导致01与与10同时成立当然，同时成立当然，这是条件这是条件1)所不容许的所不容许的同理，同理，i0也是不可能的也是不可能的 总之，在复数集上确实没有能使上述总之，在复数集上确实没有能使上述四个条件都被满足的大小关系四个条件都被满足的大小关系尊重客观规律n n 概括以上讨论，对于复数之间的大小比较问概括以上讨论，对于复数之间的大

22、小比较问概括以上讨论，对于复数之间的大小比较问概括以上讨论，对于复数之间的大小比较问题，结论是：有满足条件题，结论是：有满足条件题，结论是：有满足条件题，结论是：有满足条件1)1)与与与与2)2)的大小比较方法；的大小比较方法；的大小比较方法；的大小比较方法；没有使上述没有使上述没有使上述没有使上述1)1)到到到到4)4)这四个条件同时具备的大小关这四个条件同时具备的大小关这四个条件同时具备的大小关这四个条件同时具备的大小关 系。系。系。系。n n 这样的结论似乎是令人不无遗憾的但是，这样的结论似乎是令人不无遗憾的但是，这样的结论似乎是令人不无遗憾的但是，这样的结论似乎是令人不无遗憾的但是，客

23、观规律是不以人们的意志为转移的，人们只能客观规律是不以人们的意志为转移的，人们只能客观规律是不以人们的意志为转移的，人们只能客观规律是不以人们的意志为转移的，人们只能接受客观规律，认识客观规律和运用客观规律接受客观规律，认识客观规律和运用客观规律接受客观规律，认识客观规律和运用客观规律接受客观规律，认识客观规律和运用客观规律不过，只要不是过于保守的话，承认摆在我们面不过，只要不是过于保守的话，承认摆在我们面不过，只要不是过于保守的话，承认摆在我们面不过，只要不是过于保守的话，承认摆在我们面前的新事物也并不困难因为任何事物的发生与前的新事物也并不困难因为任何事物的发生与前的新事物也并不困难因为任

24、何事物的发生与前的新事物也并不困难因为任何事物的发生与发展都是在继承的同时，在发展都是在继承的同时，在发展都是在继承的同时，在发展都是在继承的同时，在“弃旧扬新弃旧扬新弃旧扬新弃旧扬新”的过程的过程的过程的过程中进行的现在是这样，将来也还是这样中进行的现在是这样，将来也还是这样中进行的现在是这样，将来也还是这样中进行的现在是这样，将来也还是这样 三、用向量观点处理复数三、用向量观点处理复数n n1.与复数对应的点和向量n n不论向量的起点在哪里，凡是相等的向量都属于同一个等价类，它们表示同一个复数n n2.复数的三角形式n n模：辐角主值：n n（1）n n（2）n n（3）n n（4）n n（5）n n（6）为纯虚数或零3.3.共轭复数和共轭复数和模的性质模的性质 的性质的性质：的性质：n n（1）n n（2）n n（3）n n（4）4.复数及运算的几何意义（1）（2）的 次方根 （3），例1 解方程 例2 设 ，求 的最大值和最小值 分析：0,1,2,3,4k=另：令 ，则 当当 ，；当当 ，例3.已知 ，求 ，例4.设 ，为非零复数，且 求证：0 例5.设 和 满足 ，其中 为不等于0的复数 求证 例6.求证：分析：四、复数集的性质 性质1 C是一个数域 性质2 C不是有序域 复数习题复数习题n nP64：20、21、22、23、24、25、26、27、28