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1、2.物理方程物理方程(胡克定律胡克定律)3.静力学关系静力学关系平面弯曲中横截面上弯曲正应力的公式平面弯曲中横截面上弯曲正应力的公式1.几何变形几何变形:平面纯弯曲梁上的横截面只存在正应力平面纯弯曲梁上的横截面只存在正应力,以中性轴为界分为拉力以中性轴为界分为拉力区和压力区区和压力区.中性轴过截面的形心中性轴过截面的形心.2横截面对横截面对z 轴的惯性矩轴的惯性矩横截面对横截面对y 轴的惯性矩轴的惯性矩抗弯截面系数抗弯截面系数 常用截面的轴惯矩常用截面的轴惯矩:矩形截面矩形截面3Rr平移轴定理平移轴定理:截面对某一轴的惯性矩截面对某一轴的惯性矩,等于该截面对平行此轴且过质心的等于该截面对平行此
2、轴且过质心的轴的惯性矩加上该截面面积乘以两轴距离的平方轴的惯性矩加上该截面面积乘以两轴距离的平方.4例例1.长为长为l的矩形截面悬臂梁的矩形截面悬臂梁,在自由端作用一集中力在自由端作用一集中力F,已知矩形截面上已知矩形截面上 b120mm，h180mm、l2m，F1.6kN，试求试求B截面上截面上 a、b、c 各点各点的正应力的正应力.（压）解解:B截面的弯矩为截面的弯矩为a 点点:c 点点:b 点点:例例4.图示外伸梁，受均布载荷作用，图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力材料的许用应力=160MPa，校校核该梁的强度。核该梁的强度。解解:先求出危险截面的弯矩值先求出危险截面的弯矩值Fs
3、(kN)图图M(kN.m)图图由弯矩图可见由弯矩图可见该梁满足强度条件，安全该梁满足强度条件，安全.例例5.图示图示T形截面简支梁在中点承受集中力形截面简支梁在中点承受集中力F32kN，梁的长度，梁的长度L2m。T形截面的形心坐标形截面的形心坐标yc96.4mm，横截面对于，横截面对于z轴的惯性矩轴的惯性矩Iz1.02108mm4。求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。梁的中部有最大的弯矩值梁的中部有最大的弯矩值2002003030z42.5例例7.习习 5.16(169)铸铁梁的载荷和横截面尺寸如图示铸铁梁的载荷和横截面尺寸如图示,许应拉应力许应
4、拉应力 t=40MPa.许应压许应压应力应力 c=160MPa.试按正应力强度条件校核梁的强度试按正应力强度条件校核梁的强度.若载荷不变若载荷不变,但将但将T形横截面倒形横截面倒置置,即翼缘在下成为即翼缘在下成为形形,是否合理是否合理?何故何故?首先首先,确定梁内弯矩的极值确定梁内弯矩的极值.（）（）（）（）20kNm10kNm中性轴过形心中性轴过形心,故须确定形心的位置故须确定形心的位置.C2m3m1m20kN10kN/mABCD30kN10kN8在在B点处点处在在C点处点处故故结构是安全的结构是安全的.如果如果T形梁倒置形梁倒置,则在则在B 处有处有结构不安全结构不安全.（）（）（）（）2
5、0kNm10kNm2002003030z42.5C(可略去可略去)9习习 5.29 截面为正方形的梁按图示两种方式放置截面为正方形的梁按图示两种方式放置,试问那一种方式比较合理试问那一种方式比较合理?看一看哪一个对看一看哪一个对 z 轴的惯性矩大轴的惯性矩大?a对于上图形对于上图形或或对于下图形对于下图形10a关于抗弯截面系数关于抗弯截面系数上图中上图中下图中下图中显然显然,下图的放置更合理下图的放置更合理.11习习5.31 为改善载荷分布为改善载荷分布,在主梁在主梁AB上安置辅助梁上安置辅助梁CD.设主梁和辅助梁的抗弯设主梁和辅助梁的抗弯截面系数分别为截面系数分别为W1和和W2,材料相同材料
6、相同,试求辅助梁的合理长度试求辅助梁的合理长度.解解:对辅助梁对辅助梁,最大弯矩应满足最大弯矩应满足:对主梁对主梁,最大弯矩应满足最大弯矩应满足:将上两式相除将上两式相除材料相同材料相同,故故 相同相同.即是即是(对于同一种材料对于同一种材料,只要二梁的最大弯矩值一样即可只要二梁的最大弯矩值一样即可.)12习习 5.33 我国的营造法中我国的营造法中,对矩形截面梁给出的尺寸比例是对矩形截面梁给出的尺寸比例是 h:b=3:2.试用弯试用弯曲正应力强度证明曲正应力强度证明:从圆木锯出的矩形截面梁从圆木锯出的矩形截面梁,上述尺寸比例接近最佳比值上述尺寸比例接近最佳比值.解解:由强度的概念及弯曲正应力
7、公式由强度的概念及弯曲正应力公式求抗弯截面系数的极值求抗弯截面系数的极值d 是圆截面直径是圆截面直径.所以所以,Wz 是是b的函数的函数令令是极大值是极大值13习习 5.35 均布载荷下的简支梁由圆管及实心圆杆套合而成均布载荷下的简支梁由圆管及实心圆杆套合而成,变形后两杆仍密切接变形后两杆仍密切接触触.两杆材料的弹性模量分别是两杆材料的弹性模量分别是E1和和E2,且且E1=2E2.试求两杆各自承担的最大试求两杆各自承担的最大弯矩值弯矩值.解解:设设 圆管承受弯矩为圆管承受弯矩为M1,圆圆杆承受弯矩为杆承受弯矩为M2.由静力学关系由静力学关系:变形后变形后,同一截面处的曲率相等同一截面处的曲率相
8、等.联立求解可得联立求解可得:14由题意及已知条件由题意及已知条件代入上二式可得代入上二式可得:15习习 5.36 以力以力F将置于地面上的钢筋提起将置于地面上的钢筋提起,如图示如图示.若钢筋单位长度为若钢筋单位长度为q,当当b=2a 时时,试求所需的力试求所需的力F的大小的大小.解解:在提起处在提起处,其转角开始变化其转角开始变化由力矩平衡方程由力矩平衡方程:16ayzaO弯曲剪应力公式弯曲剪应力公式:此此公式适合于对称截面上与剪力同向的剪应力的计算公式适合于对称截面上与剪力同向的剪应力的计算A如图上如图上a aa a截面上的剪应力截面上的剪应力剪应力的最大值在截面的中性轴处剪应力的最大值在
9、截面的中性轴处.弯曲剪应力的分析方法弯曲剪应力的分析方法:(1)剪切互等定理剪切互等定理.(2)微元体上水平方向的剪应力的合力与微元体上水平方向的剪应力的合力与弯矩增量弯矩增量 引起的正应力的合力平衡引起的正应力的合力平衡.1.矩矩矩形截面梁切应力的分布规律矩形截面梁切应力的分布规律:当当y=0,有剪应力极大值有剪应力极大值.172.工字形截面梁工字形截面梁工字形梁的截面是承受弯曲应力工字形梁的截面是承受弯曲应力较合理的截面较合理的截面.工字梁的翼板的全部面积都在离中工字梁的翼板的全部面积都在离中性轴最远的地方性轴最远的地方,故上每一点的正故上每一点的正应力比较大应力比较大,所以承担了截面的大
10、所以承担了截面的大部分弯矩部分弯矩.而腹板承担了截面的大而腹板承担了截面的大部分的剪力部分的剪力.3.圆形截面梁圆形截面梁4.薄圆环截面梁薄圆环截面梁腹板腹板18例例8.(习习5.18)试计算在均布载荷下试计算在均布载荷下,圆截面简支梁内的最大正应力和最大的圆截面简支梁内的最大正应力和最大的切应力切应力,并指出它们发生于何处并指出它们发生于何处?解解:支反力支反力最大剪应力发生在最大剪应力发生在A、B支支座附近梁截面中性轴处座附近梁截面中性轴处.最大正应力发生在梁中部截最大正应力发生在梁中部截面上下两端面上下两端(上压下拉上压下拉).19胶合面胶合面例例10.由木板胶合而成的梁的截面如图示由木
11、板胶合而成的梁的截面如图示.试求胶合面上沿试求胶合面上沿x 轴方向轴方向(梁长的方向梁长的方向)的剪应力的剪应力.已知板厚为已知板厚为 s.z取取上胶合板上胶合板的的dx 长为研究对象长为研究对象zydxOs若按若按剪应力随高度变化的假定剪应力随高度变化的假定,此应力为平均剪应力此应力为平均剪应力.q:沿沿x轴单位长度的剪力轴单位长度的剪力.20一般而言一般而言,细长梁上横截面的弯曲正应力是控制材料强度的主要因素细长梁上横截面的弯曲正应力是控制材料强度的主要因素,该梁若满足弯该梁若满足弯曲正应力的强度条件曲正应力的强度条件,一定可满足弯曲剪应力的强度条件一定可满足弯曲剪应力的强度条件.但是在下
12、面的一些情况下但是在下面的一些情况下,要进行弯曲剪应力的强度校核要进行弯曲剪应力的强度校核:1.梁的跨度较短梁的跨度较短.(l/h5)或在支座附近作用有较大的载荷或在支座附近作用有较大的载荷.2.铆接或焊接的工字梁铆接或焊接的工字梁,腹板较薄而截面高度较大腹板较薄而截面高度较大.3.其它梁内铆接、焊接及胶合的地方其它梁内铆接、焊接及胶合的地方.21习习5.27 图示梁有两根图示梁有两根36a工字梁铆接而成工字梁铆接而成.铆钉的间距铆钉的间距s=150mm.直径直径d=20mm,许许用切应力用切应力 =90MPa.梁上横截面上的剪力梁上横截面上的剪力Fs=40kN.试校核铆钉的剪切强度试校核铆钉
13、的剪切强度.解解:查表查表(p408)其余尺寸见图上其余尺寸见图上组合梁对中性轴的惯性矩组合梁对中性轴的惯性矩组合梁中性轴处剪应力计算所用的面积静矩组合梁中性轴处剪应力计算所用的面积静矩组合梁中性层上剪应力组合梁中性层上剪应力22每个铆钉应承受的剪力每个铆钉应承受的剪力组合梁中性层上剪应力组合梁中性层上剪应力每个铆钉横截面上的剪应力每个铆钉横截面上的剪应力故组合梁的铆接处是安全的故组合梁的铆接处是安全的.23xy转角转角挠度挠度转角转角挠曲线挠曲线 梁的弯曲变形梁的弯曲变形挠曲线挠曲线:弯曲变形后的梁的轴线弯曲变形后的梁的轴线几个基本概念几个基本概念:挠度挠度:梁的横截面形心梁的横截面形心(梁
14、轴上的点梁轴上的点)在垂直梁轴方向的位移在垂直梁轴方向的位移转角转角:弯曲变形后横截面与变形前该面间的夹角弯曲变形后横截面与变形前该面间的夹角在给定的坐标轴下在给定的坐标轴下,梁上各点的挠度和转角都是梁上各点的挠度和转角都是x的函数的函数挠曲线方程挠曲线方程转角方程转角方程24 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程而而对于弯曲小变形对于弯曲小变形转角和挠度都是很小的量转角和挠度都是很小的量xyw=w(x)又又所以所以,考查考查略去高阶小量略去高阶小量注意注意或或可有可有:25 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形第一次积分第一次积分第二次积分第二次积分如果如果EI=常数常数26用叠加法求弯曲变
15、形用叠加法求弯曲变形在小变形的前提下在小变形的前提下,挠曲线方程是线性微分方程挠曲线方程是线性微分方程.线性微分方程服从叠加原线性微分方程服从叠加原理理,在这里的一个重要应用是在这里的一个重要应用是:复杂载荷下方程的解是对应的有限简单载荷下复杂载荷下方程的解是对应的有限简单载荷下解的叠加解的叠加.就是说就是说,当梁上有若干载荷同时作用时当梁上有若干载荷同时作用时,可分别求出每一个载荷下可分别求出每一个载荷下单独引起的变形单独引起的变形,把所得的变形叠加即得最终的结果把所得的变形叠加即得最终的结果.一一.载荷叠加法载荷叠加法二二.逐段刚化求和法逐段刚化求和法在小变形的前提下在小变形的前提下,首先
16、分别计算梁上分解的各段的变形在需求位移处引起首先分别计算梁上分解的各段的变形在需求位移处引起的位移的位移,然后叠加然后叠加,即得最后的结果即得最后的结果.在逐段分析中在逐段分析中,除视所研究的梁段发生除视所研究的梁段发生变形外变形外,其余各段均视为刚体其余各段均视为刚体.27 三三.用叠加法求梁的转角和挠度用叠加法求梁的转角和挠度几个常用结构简单载荷下最大挠度和转角值几个常用结构简单载荷下最大挠度和转角值,设梁长为设梁长为l,EI=常数常数ABMPABMABPABqABqBA28习习6.22 刚架刚架ABC的的EI为常量为常量,拉杆的横截面面积为拉杆的横截面面积为A,弹性模量为弹性模量为E.试求试求C点的位移点的位移.解解:取刚架分析受力可知拉杆轴力取刚架分析受力可知拉杆轴力293031