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1、一、本原多项式一、本原多项式 二、整系数多项式的因式分解二、整系数多项式的因式分解 问题的引入问题的引入 1.由因式分解定理，作为一个特殊情形：由因式分解定理，作为一个特殊情形：对对 则则 可唯一分解可唯一分解 成不可约的有理系数多项式的积成不可约的有理系数多项式的积.但是，如何作出它的分解式却很复杂，没有一个但是，如何作出它的分解式却很复杂，没有一个一般的方法一般的方法.2.我们知道，在我们知道，在 上只有一次多项式才是不可约上只有一次多项式才是不可约 多项式；多项式；在在 上，不可约多项式只有一次多项式与某些上，不可约多项式只有一次多项式与某些二次多项式；二次多项式；但在但在 上有任意次数
2、的不可约上有任意次数的不可约多项式如多项式如 如何判断如何判断 上多项式的不可约性呢上多项式的不可约性呢?3.有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题 这是因为任一有理数可表成两个整数的商这是因为任一有理数可表成两个整数的商事实上，设事实上，设 则可选取适当整数则可选取适当整数 使使 为整系数多项式为整系数多项式若若 的各项系数有公因子，就可以提出来，得的各项系数有公因子，就可以提出来，得 也即也即 其中其中 是整系数多项式，且各项系是整系数多项式，且各项系数没有异于数没有异于 的公因子的公因子 一、本原多项式一、本原多项式 设设 定义定义若若 没有没有
3、则称则称 为为本原多项式本原多项式异于异于 的公因子，即的公因子，即是互素的，是互素的，有关性质有关性质1 使使其中其中 为本原多项式为本原多项式（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）2Gauss引理引理定理定理10 两个本原多项式的积仍是本原多项式两个本原多项式的积仍是本原多项式设设 是两个本原多项式是两个本原多项式若若 不是本原的，则存在素数不是本原的，则存在素数 证：证：又又 是本原多项式，所以是本原多项式，所以 不能整除不能整除 的的每一个系数每一个系数反证法反证法令令 为为 中第一个不能被中第一个不能被 整整除的数，即除的数，即 同理
4、，同理，本原，令本原，令 为为 中第一个不能被中第一个不能被 整除的数，即整除的数，即 又又矛盾矛盾在这里在这里 故是本原的故是本原的定理定理11若一非零的整系数多项式可分解成两若一非零的整系数多项式可分解成两个个次次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解数较低的有理系数多项式，则它一定可分解成两个成两个次数较低的整系数多项式的乘积次数较低的整系数多项式的乘积二、整系数多项式的因式分解二、整系数多项式的因式分解 设整系数多项式设整系数多项式 有分解式有分解式其中其中 且且 证：证：令令 这里，这里，皆为本原多项式，皆为本原多项式，于是于是 由定理由定理10，本原，本原，即即从而有从而有 得证得
5、证 设设 是整系数多项式，且是整系数多项式，且 是本原是本原推推论论的，若的，若 则则必为必为整系数多项式整系数多项式 令令 本原，本原，即即 为整系数多项式为整系数多项式 证：证：于是有，于是有，定理定理12 设设是是一个整系数多项式，而一个整系数多项式，而 是它的一个有理根，是它的一个有理根，其中其中 是互素的，则必有是互素的，则必有 是是 的有理根，的有理根，从而从而 又又 互素，互素，比较两端系数，得比较两端系数，得 证：证：在有理数域上，在有理数域上，由上推论，有由上推论，有本原本原所以，所以，定理定理12是判断整系数多项式有理根的一个是判断整系数多项式有理根的一个必要条件，必要条件
6、，而非充分条件而非充分条件例例1求方程求方程 的有理根的有理根.可能有理根为可能有理根为用综合除法可知，用综合除法可知，只有只有1为根为根 注意注意解：解：例例2 证明证明:在在 上不可约上不可约 若若 可约，可约，但但 的有理根只可能是的有理根只可能是所以所以 不可约不可约证：证：则则 至少有一个一次因式，至少有一个一次因式，也即有一个有理根也即有一个有理根而而 矛盾矛盾 定理定理13 艾森斯坦因艾森斯坦因Eisenstein判别法判别法设设 是一个整系数多项式，若有一个素数是一个整系数多项式，若有一个素数 使得使得则则 在有理数域上是不可约的在有理数域上是不可约的若若 在在 上可约，由定理
7、上可约，由定理11，可分解为可分解为两次数较低的整系数多项式积两次数较低的整系数多项式积 证：证：又又不妨设不妨设 但但 或或不能同时整除不能同时整除 另一方面，另一方面，假设假设 中第一个不能被中第一个不能被 整除的数为整除的数为 比较两端比较两端 的系数，得的系数，得 上式中上式中 皆能被皆能被整除，整除，矛盾矛盾故不可约故不可约例例3证明：证明：在在 上不可约上不可约 证：（令证：（令 即可）即可）(可见存在任意次数的不可约有理系数多项式可见存在任意次数的不可约有理系数多项式)例例4判断判断（为素数）在（为素数）在 上上是否可约是否可约令令 则则 为整系数多项式为整系数多项式 但但 解：
8、解：在在 上不可约，上不可约，从而从而 在在 上不可约上不可约即即 Eisenstein判别法是判断不可约的充分条件，而判别法是判断不可约的充分条件，而 非必要条件非必要条件注意注意也就是说，如果一个整系数多项式也就是说，如果一个整系数多项式不满足不满足Eisenstein判别法条件，则它可能是可约的，判别法条件，则它可能是可约的，也可能是不可约的也可能是不可约的 有些整系数多项式有些整系数多项式 不能直接用不能直接用Eisenstein判别法来判断是其是否可约，此时可考虑用适当的判别法来判断是其是否可约，此时可考虑用适当的代换使满足代换使满足Eisenstein判别法条件，从而来判定原多项式
9、判别法条件，从而来判定原多项式不可约不可约有理系数多项式有理系数多项式 在有理系数上不可约在有理系数上不可约命题命题在有理数域上不可约在有理数域上不可约多项式多项式例例5证明：证明：在在 上不可约上不可约 取取 证：证：作变换作变换则则在上不可约，在上不可约，所以所以 在上不可约在上不可约由由Eisenstein判别法知，判别法知，对于许多对于许多 上的多项式来说，作适当线性代换后上的多项式来说，作适当线性代换后再用再用Eisenstein判别法判定它是否可约是一个较好的判别法判定它是否可约是一个较好的多项式无论作怎样的代换都不能多项式无论作怎样的代换都不能 使使 满足爱森斯坦因判别法的条件，满足爱森斯坦因判别法的条件，即找不到相应的素数即找不到相应的素数 说明说明：办法，但未必总是凑效的也就是说，存在办法，但未必总是凑效的也就是说，存在 上的上的如，如，练习练习P 为素数，为素数，证明证明:在上不可约在上不可约