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1、7.3 二维泊松方程的有限元法 以二维静电场泊松方程的求解为例。目标：依据加权余量法，利用分域基，建立离散的代数方程组，即确定系数Kij 和bi。场域离散二维问题常使用三角形单元离散，便于处理复杂的场域形状，容易实现。单元：互不重叠，覆盖全部场域；每个单元内介质是 单一、均匀的。节点：网格的交点，待求变量的设置点。该步骤需要记录的信息：节点编号、节点坐标节点属性(激励源、是否边界等)单元编号单元节点编号单元介质三角形单元内的基函数设三角形三个顶点处待求函数值分别为u1,u2,u3。如果单元足够小，可以采用线性近似，将单元内任意p点的u(x,y)表示为 代入三个顶点的坐标和函数值，可以解出a、b
2、、c。得到 单元节点的编号按逆时针方向排列！其中，记住我们的任务寻找基函数对比可得基函数Ni常被称为插值函数或者形状函数，具有以下性质：（1）是插值的；（2）（3）在相邻单元的公共边界上，Ni是连续的，从而通过Ni构造的逼近函数也是连续的。在积分 中，对于确定的 i，j的有效取值为i 本身以及与节点i相联的周围节点，积分的有效区域为以i、j 为公共节点的所有三角形单元，在这些单元中Ni、Nj才有交叠。计算系数阵 这些积分可以分单元进行。例如对右图所示的局部编码，K01、K00以及b0的计算公式为：计算系数阵 以下把单元e的贡献记为这样，就有 每个 或 的计算都在具体的单元内单独考虑（称为单元分
3、析）。由于单元很小，做单元分析时通常可以取 f(e)为常数值（可以认为等于三个顶点上的平均值）。因此右端项元素：上述以节点为序的分析过程对于有限元原理的说明是易于理解的。而在实际编程中，更有效率的是以单元为序，逐个计算单元系数阵K(e)，然后合成整体系数阵K。单元系数阵K(e)定义为设 i,j,m 是节点的整体编号，元素Kij在整体矩阵中的实际位置是第i行、j列；因此 必须合成到整体矩阵的第i行、j列元素上。单元矩阵：整体矩阵合成：第一类边界条件（强加边界条件）第一类边界节点是指边界上函数值 已知。因此处理方法是，合成整体系数阵之后，将该节点所在行的主元素置1，其它元素均置零，同时将右端项中对应元素设为已知函数值。要保持对称性；有更简便的做法