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1、大大 数数 定定 律律 与与 中中 心心 极极 限限 定定 理理大数定律大数定律一、问题的引入一、问题的引入二、基本定理二、基本定理三、典型例题三、典型例题四、小结四、小结 概率论与数理统计是研究随机现象统计概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科规律性的学科.随机现象的规律性只有在相随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来来.也就是说，要从随机现象中去寻求必也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象然的法则，应该研究大量随机现象.一、问题的引入一、问题的引入 研究大量的随机现象，常常采用极限研究大量的随机
2、现象，常常采用极限形式，由此导致对极限理论进行研究形式，由此导致对极限理论进行研究.极极限理论的内容很广泛，其中最重要的两种限理论的内容很广泛，其中最重要的两种是是:与与大数定律大数定律中心极限定理中心极限定理下面我们先介绍大数定律下面我们先介绍大数定律 大量的随机现象中平均结果的稳定性大量的随机现象中平均结果的稳定性 大数定律的客观背景大数定律的客观背景大量抛掷硬币大量抛掷硬币正面出现频率正面出现频率字母使用频率字母使用频率生产过程中的生产过程中的废品率废品率大数定律的定义大数定律的定义定义定义4.12.不等式的其它不等式的其它(等价等价)形式形式 1、契比雪夫不等式、契比雪夫不等式:随机变
3、量随机变量X有有限的数学期望与方差有有限的数学期望与方差,则则证（证（2）例例1 估计估计的概率的概率解解而而故故 契贝雪夫不等式只利用随机变量的数学期望及方差契贝雪夫不等式只利用随机变量的数学期望及方差就可对的概率分布进行估计。就可对的概率分布进行估计。从契贝雪夫不等式还可以看出从契贝雪夫不等式还可以看出,对于给定的对于给定的 0,当当方差越小时，事件方差越小时，事件|X-E(X)|发生的概率也越小，发生的概率也越小，即即X的取值越集中在的取值越集中在E(X)附近这进一步说明方差确实附近这进一步说明方差确实是一个描述随机变量与其期望值离散程度的一个量是一个描述随机变量与其期望值离散程度的一个
4、量 当当D(X)已知时，契贝雪夫不等式给出了已知时，契贝雪夫不等式给出了X与与E(X)的偏的偏差小于差小于 的概率的估计值的概率的估计值 契贝雪夫不等式的契贝雪夫不等式的用途：用途：（1）证明大数定律；（）证明大数定律；（2）估计事件的概率。）估计事件的概率。例例2 设电站供电网有设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为的概率均为0.7，假定灯的开、关是相互立的，使用切，假定灯的开、关是相互立的，使用切贝雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在贝雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6800到到7200盏盏之间的概率。之间的概率。解解 令令X表示在夜晚同时开着的灯数
5、目，则表示在夜晚同时开着的灯数目，则X服从服从n=10000，p=0.7的二项分布，的二项分布，这时这时 由切贝雪夫不等式可得由切贝雪夫不等式可得:二、基本定理二、基本定理定理定理4.1（契比雪夫大数定理契比雪夫大数定理）契比雪夫契比雪夫证明证明由由契比雪夫不等式契比雪夫不等式可得可得证毕证毕关于定理关于定理4.1的说明的说明:（这个接近是概率意义下的接近这个接近是概率意义下的接近）即在定理条件下即在定理条件下,n个随机变量的算术平均个随机变量的算术平均,当当n无限增加时无限增加时,几乎变成一个常数几乎变成一个常数.定理定理4.2:依概率收敛序列的性质依概率收敛序列的性质证明证明时，恒有：时，
6、恒有：即：即：证毕证毕证明证明引入随机变量引入随机变量贝努利贝努利定理定理4.3（贝努利大数定理）（贝努利大数定理）显然显然根据定理根据定理4.1有有证毕证毕关于贝努利定理的说明关于贝努利定理的说明:故而当故而当n很大时很大时,事件发生的频率与概率有事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小较大偏差的可能性很小.在实际应用中在实际应用中,当试当试验次数很大时验次数很大时,便可以用事件发生的频率来代便可以用事件发生的频率来代替事件的概率替事件的概率.定理定理4.4*（泊松大数定理）（泊松大数定理）证明证明引入随机变量引入随机变量则类似于定理则类似于定理4.34.3可得结论可得结论.关于辛钦定理的
7、说明关于辛钦定理的说明:(1)与定理与定理4.1相比相比,不要求方差存在不要求方差存在;(2)贝努利定理是辛钦定理的特殊情况贝努利定理是辛钦定理的特殊情况.辛钦资料辛钦资料定理定理4.5（辛钦定理辛钦定理）三、典型例题三、典型例题解解 独立性依题意可知独立性依题意可知,检验是否具有数学期望？检验是否具有数学期望？例例1说明每一个随机变量都有数学期望说明每一个随机变量都有数学期望,检验是否具有有限方差？检验是否具有有限方差？说明离散型随机变量有有限方差说明离散型随机变量有有限方差,故满足契比雪夫定理的条件故满足契比雪夫定理的条件.解解由由辛钦定理辛钦定理知知例例2例例3四、小结四、小结四个大数定理四个大数定理契比雪夫大数定理契比雪夫大数定理贝努利大数定理贝努利大数定理辛钦定理辛钦定理频率的稳定性是概率定义的客观基础频率的稳定性是概率定义的客观基础,而伯而伯努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳定性定性.泊松大数定理泊松大数定理*