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1、上页下页铃结束返回首页4.1复级数的基本性质 2、复数项级数、复数项级数3、复函数项级数、复函数项级数4、解析函数项级数、解析函数项级数1、复数列的极限、复数列的极限上页下页铃结束返回首页1、复数列的极限复数列的极限定义定义记作记作上页下页铃结束返回首页复数列收敛的条件复数列收敛的条件那末对于任意给定的那末对于任意给定的就能找到一个正数就能找到一个正数N,证证从而有从而有所以所以同理同理上页下页铃结束返回首页反之反之,如果如果从而从而上页下页铃结束返回首页定理：数列收敛的定理：数列收敛的Cauchy准则准则课堂练习课堂练习:下列数列是否收敛下列数列是否收敛?如果收敛如果收敛,求出其极限求出其极
2、限.上页下页铃结束返回首页1.定义定义表达式表达式称为复数项级数称为复数项级数.称为级数的部分和称为级数的部分和.部分和：部分和：若部分和数列若部分和数列sn(n=1,2,)以有限复数以有限复数s为极限为极限,2、复数项级数、复数项级数即即上页下页铃结束返回首页收敛与发散（敛散性）收敛与发散（敛散性）注：注：与实数项级数相同与实数项级数相同,判别复数项级数敛散性判别复数项级数敛散性的基本方法是的基本方法是:则称复数项无穷级数则称复数项无穷级数(4.1)收敛于收敛于s,且称且称s为为(4.1)的和的和,写成写成否则若复数列否则若复数列sn(n=1,2,)无有限极限无有限极限,则称级数则称级数(4
3、.1)为发散为发散.上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页 定理定理4.1 设设 n=an+ibn(n=1,2,),an及及bn为实数为实数,则则复级数复级数(4.1)收敛于收敛于s=a+ib(a,b为实数为实数)的充要条件为的充要条件为:分别收敛于分别收敛于a及及b.复数项级数收敛的条件复数项级数收敛的条件实数项级数实数项级数注：该定理的说明复数项级数的审敛问题可转化为注：该定理的说明复数项级数的审敛问题可转化为实数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题分别收敛于分别收敛于a及及b上页下页铃结束返回首页解解例例1、所以原级数发散上页下页铃结束返回首页 定理定理4.2(Cauchy准则准则
4、)复级数复级数(4.1)收敛的充要条件收敛的充要条件为为:对任给对任给0,存在正整数存在正整数N(),当当nN且且p为任何正整数为任何正整数时时|n+1+n+2+n+p|推论推论2 收敛级数的各项必是有界的收敛级数的各项必是有界的.推论推论1 收敛级数的通项必趋于零收敛级数的通项必趋于零:(事实上，取事实上，取p=1,则必有则必有|an+1|0,以及给定的以及给定的zE,存在正整数存在正整数N=N(,z),使当使当nN时时,有有|f(z)-sn(z)|0,存在正整数存在正整数N=N(z),当当nN时时,对一切对一切的的zE均有均有|f(z)-sn(z)|0,存在正整数存在正整数N=N(),使当
5、使当nN时时,对于对于一切一切zE,均有均有|fn+1(z)+fn+p(z)|(p=1,2,).Weierstrass优级数准则优级数准则:如果整数列如果整数列Mn(n=1,2,),使对一切使对一切zE,有有|fn(z)|Mn(n=1,2,),而且正项而且正项级数级数 收敛收敛,则复函数项级数则复函数项级数 在点集在点集E上上绝对收敛且一致收敛绝对收敛且一致收敛:这样的正向级数这样的正向级数 称为函数项级数称为函数项级数的优级数的优级数.上页下页铃结束返回首页定理定理4.6 设级数设级数 的各项在点集的各项在点集E上连续上连续,并且一并且一 致收敛于致收敛于f(z),则和数则和数 也在也在E上
6、连续上连续.定理定理4.7 设级数设级数 的各项在的各项在 曲线曲线C上连续上连续,并且并且 在在C上一致收敛于上一致收敛于f(z),则沿则沿C可以逐项积分可以逐项积分:定义定义4.5 设函数设函数fn(z)(n=1,2,)定义于区域定义于区域D内内,若级若级数数 (4.2)在在D内任一有界闭集上一致收敛内任一有界闭集上一致收敛,则称此级则称此级 数在数在D内闭一致收敛内闭一致收敛.上页下页铃结束返回首页定理定理4.8 设级数设级数(4.2)在圆在圆K:|z-a|R内闭一致收敛的充要内闭一致收敛的充要条件为条件为:对于任意正数对于任意正数,只要只要R,级数级数(4.2)在闭圆在闭圆K:|z-a|上一致收敛上一致收敛.证证 必要性 因为K,就是K 内的有界闭集.充分性 因为圆K内的任意闭集F,总可以包含在圆K内的某个闭圆Kp上.显然,在区域D内一致收敛的级数必在D内内闭一致收敛,但其逆不真.例如我们考察几何级数当当|z|1时时,此级数收敛此级数收敛,但不一致收敛但不一致收敛.可是由例可是由例4.2知它知它在单位圆在单位圆|z|0,使闭圆K:|z-a|全含于D内.若C为圆K:|z-z0|0，使闭圆K:|z-z0|全含于D内,K的边界是圆周:|z-z0|=故有定理3.13有上页下页铃结束返回首页在上由条件(2)知级数是一致收敛的.于是由定理4.7得到两端同乘以 就得到所要证明的