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1、 函数曲线除了有升有降之外函数曲线除了有升有降之外,还有不同的弯曲方还有不同的弯曲方向向,如何根据函数本身判断函数曲线的弯曲方向呢？如何根据函数本身判断函数曲线的弯曲方向呢？4-6 函数的凸凹性与函数作图函数的凸凹性与函数作图1.函数的凸凹性函数的凸凹性函数的函数的凸凸(向上凸向上凸)凹凹(向下凸向下凸)性性定义定义设设 在在 上上可导可导,若对于每一点若对于每一点 ,都有都有则称则称 在在 是是凸凸的的;则称则称 在在 是是凹凹的的.(曲线弧总是在它的切线的下方曲线弧总是在它的切线的下方)(曲线弧总是在它的切线的上方曲线弧总是在它的切线的上方)v曲线的凹凸性定义 设f(x)在区间I上连续 对
2、I上任意两点x1 x2 如果恒有 那么称f(x)在I上的图形是凹的 那么称f(x)在I上的图形是凸的 如果恒有 观察与思考:f(x)的图形的凹凸性与f(x)的单调性的关系.1)f(x)的图形是凹的 2)f(x)的图形是凸的 f(x)单调增加;f(x)单调减少.v定理(曲线凹凸性的判定法)设f(x)在a b上连续 在(a b)内具有二阶导数.若在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上的图形是凹的 若在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上的图形是凸的 例 判断曲线yx3的凹凸性 解 y3x 2 y6x 由y0 得x0 因为当x0时 y0时 y0 所以曲线在0)上是凹的 v定理(曲线凹
3、凸性的判定法)设f(x)在a b上连续 在(a b)内具有二阶导数.若在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上的图形是凹的 若在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上的图形是凸的 拐点连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点 定理如果在的左右两侧异号,则是拐点.在拐点处不存在.拐点是的拐点，是的拐点，设在 内有连续的二阶导数,若点则则讨论 曲线yx4是否有拐点？例 解 二阶导数无零点 当x0时 二阶导数不存在 因为当x0 当x0时 y0 所以点(0 0)是曲线的拐点 只有f(x0)等于零或不存在 (x0 f(x0)才可能是拐点如果在x0的左右两侧f(x)异号 则(x0
4、 f(x0)是拐点 虽然y(0)0,但(0,0)不是拐点.yOxy=x4 例 求曲线y3x44x31的拐点及凹、凸的区间 解(1)函数y3x44x31的定义域为()(4)列表判断 在区间(0和2/3)上曲线是凹的 在区间02/3上曲线是凸的 点(0 1)和(2/3 11/27)是曲线的拐点(0)0(0 2/3)2/3(2/3)00111/27 y(x)y(x)x只有f(x0)等于零或不存在 (x0 f(x0)才可能是拐点如果在x0的左右两侧f(x)异号 则(x0 f(x0)是拐点 例 求曲线y3x44x31的拐点及凹、凸的区间 只有f(x0)等于零或不存在 (x0 f(x0)才可能是拐点如果在
5、x0的左右两侧f(x)异号 则(x0 f(x0)是拐点 在区间(0和2/3)上曲线是凹的 在区间02/3上曲线是凸的 点(0 1)和(2/3 11/27)是曲线的拐点 渐近线渐近线2.函数作图函数作图证证此时此时 为为水平渐近线水平渐近线；若若若当若当 或或(或或 )时时 或或，此时为，此时为垂直渐近线垂直渐近线定理定理3 设函数设函数 在在 上有定义上有定义,则则直线直线 是是 当当 时之渐近线时之渐近线函数作图的一般步骤函数作图的一般步骤利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步第三步第三步第四步第四步 确定函数图形的水平确定函数图形的水平渐近线渐近线、垂直
6、渐近线、垂直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势斜渐近线以及其他变化趋势;列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点小结小结函数图形的描绘是函数导数特性的综合应用函数图形的描绘是函数导数特性的综合应用.最最大大值值最最小小值值极极大大值值极极小小值值拐拐点点凹的凹的凸的凸的单增单增单减单减M1M2N1N2 观察曲线的弯曲线程度与切线的关系观察曲线的弯曲线程度与切线的关系：*4-7 曲线的曲率曲线的曲率 一条曲线的一条曲线的弯曲程度弯曲程度可以根据它在单位长度内切线转过的可以根据它在单位长度内切线转过的角度的大小来表达角度的大小来表达.CM0MM Ds)sxyO 设设曲曲线线 C是是光光滑滑的的，曲曲线线 线线C上上从从点点 M 到到 点点 M 的的弧弧长长为为 D D s切切 线线 的的 转转 角角 为为 设在 上连续，且在 内有二阶导数曲线弧 上任一点处的切线与轴的夹角定义定义:曲线的曲率曲线的曲率所以曲线弧 上处的曲率曲率为时，称为曲线在该点处的时，称为曲线在该点处的曲率半径曲率半径曲线在M点的曲率中心 y=f(x)xyOD r曲线在M点的曲率半径曲线在M点的曲率圆M