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1、第二章连续时间系统时域分析第1页，共51页，编辑于2022年，星期二 线性时不变线性时不变连续时间系统的激励连续时间系统的激励e e(t t)与响应与响应r r(t t)之间的关系，可用以下之间的关系，可用以下线性常系数线性常系数微分方程描述。微分方程描述。系统分析的任务就是求解这个系统分析的任务就是求解这个n n 阶非齐次线性常微分方程。阶非齐次线性常微分方程。2.1 2.1 引言引言第2页，共51页，编辑于2022年，星期二微分方程求解微分方程求解时域分析法时域分析法变换域法变换域法（LT法）法）全响应全响应=零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应（卷积积分法）（卷积积分法）全响应全响
2、应=齐次解齐次解 +特解特解 （自由响应）（强迫响应）（自由响应）（强迫响应）第3页，共51页，编辑于2022年，星期二1.1.R、L、C 元件端口电压与流经电流的约束关系元件端口电压与流经电流的约束关系（一）微分方程的建立（一）微分方程的建立2.2 2.2 微分方程的建立与算子表示法微分方程的建立与算子表示法2.2.电路的电流、电压约束关系（电路的电流、电压约束关系（KVL、KCL）C第4页，共51页，编辑于2022年，星期二11F1H1例：例：右图所示电路，激励为电流右图所示电路，激励为电流 ，响应取响应取 ，列写微分方程。，列写微分方程。解：解：消去中间变量消去中间变量 ，得，得方程阶数
3、等于电路阶数（方程阶数等于电路阶数（独立独立储能元件的个数）。储能元件的个数）。第5页，共51页，编辑于2022年，星期二（二）微分方程的算子表示法（二）微分方程的算子表示法（参考（参考P782.10P782.10节）节）微分算子微分算子积分算子积分算子称为系统的传输算子称为系统的传输算子传输算子是系统数学模型的另一种形式。第6页，共51页，编辑于2022年，星期二例：例：第7页，共51页，编辑于2022年，星期二1.1.算子符号的运算规则算子符号的运算规则（1 1）算子多项式可进行因式分解或由因式相乘展开。算子多项式可进行因式分解或由因式相乘展开。例：例：（2 2）等式两端的公共因子不能随意
4、消去。等式两端的公共因子不能随意消去。例：例：不等价于不等价于（3 3）第8页，共51页，编辑于2022年，星期二2.2.借助算子符号建立微分方程借助算子符号建立微分方程广义阻抗广义阻抗11F1H1例例1 1：第9页，共51页，编辑于2022年，星期二例例2 2：P83P83习题习题2-12-1（a a）e(t)+vo(t)1HR12L1R21C1FL22H+-i2(t)i1(t)多余的公共因子可消去第10页，共51页，编辑于2022年，星期二总结：总结：（1 1）引入算子符号后，）引入算子符号后，RLC 电路可借助纯电阻电路的分析方法；电路可借助纯电阻电路的分析方法；（2 2）是否可消去公共
5、因子的原则：）是否可消去公共因子的原则：微分方程的阶数应等于电路微分方程的阶数应等于电路 阶数（独立储能元件的个数）。阶数（独立储能元件的个数）。第11页，共51页，编辑于2022年，星期二（1）求齐次解）求齐次解 特征方程特征方程 特征根特征根、齐次解齐次解（2）求特解）求特解根据根据 ，设，设2.3 2.3 用时域经典法求解微分方程用时域经典法求解微分方程 ，求完全响应。，求完全响应。，例：例：系统微分方程、系统微分方程、激励信号及初始条件如下：激励信号及初始条件如下：第12页，共51页，编辑于2022年，星期二完全解完全解（3）由初始条件确定待定系数）由初始条件确定待定系数 微分方程的齐
6、次解称为系统的自由响应，它由系统本身的特性 决定；特征方程的根称为系统的固有频率，它决定了系统自由响应的 全部形式；特解称为系统的强迫响应，它只与激励函数的形式有关。系统的完全响应 =自由响应 +强迫响应 ；第13页，共51页，编辑于2022年，星期二1、齐次解：齐次解：由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根写出齐次解的形式。写出齐次解的形式。经典法求解微分方程步骤：经典法求解微分方程步骤：特征根特征根对应的齐次解部分项对应的齐次解部分项单根单根二重根二重根例：例：对特征根对特征根（二重根二重根），），齐次解齐次解第14页，共51页，编辑于2022年，星期二激励函数激励函数e(t)特解特解（
7、不是系统的特征根）不是系统的特征根）（是系统的特征根（非重根）是系统的特征根（非重根）3、全全 解解=齐次解齐次解+特解，由特解，由初始条件初始条件定出齐次解系数。定出齐次解系数。2、特特 解：解：根据激励函数式形式，设含待定系数的特解函数根据激励函数式形式，设含待定系数的特解函数 式式代入原方程，比较系数定出特解。代入原方程，比较系数定出特解。P51 例例2-5：第15页，共51页，编辑于2022年，星期二2.4 起始点的跳变起始点的跳变从从 0-到到 0+状态的转换状态的转换 系统状态系统状态阶系统阶系统 ，在在 时刻的状态时刻的状态若若 从从 时刻开始作用，时刻开始作用，则系统状态可能会
8、发生跃变。则系统状态可能会发生跃变。0-状态：状态：0+状态：状态：0-状态状态0+状态状态确定确定 的待定系的待定系数，需要用数，需要用0+状态状态。第16页，共51页，编辑于2022年，星期二（一）（一）实际电路实际电路条件：没有冲激电流（或阶跃电压）强迫作用于C；没有冲激电压（或阶跃电流）强迫作用于L。+-+-RCP54P54例例2-62-6：,求求 。第17页，共51页，编辑于2022年，星期二例：例：如右图所示电路，如右图所示电路，t0开关开关S处于处于1的位置且电路已经达到稳态；的位置且电路已经达到稳态；当当t=0转向转向2。建立。建立i(t)的微分方程，的微分方程，并求并求i(t
9、)在在 时的变化。时的变化。解：解：（1）列写微分方程）列写微分方程第18页，共51页，编辑于2022年，星期二（2）求系统的完全响应）求系统的完全响应齐次解：齐次解：特征方程特征方程特征根特征根齐次解齐次解设设 ，将其代入微分方程，得，将其代入微分方程，得系统的全响应为：系统的全响应为：特解：特解：第19页，共51页，编辑于2022年，星期二换路后换路后换路前换路前 （3）确定换路后的）确定换路后的第20页，共51页，编辑于2022年，星期二全响应全响应（4）确定系统）确定系统t0+的全响应的全响应（二）（二）用微分方程描述的系统用微分方程描述的系统奇异函数平衡法奇异函数平衡法包含包含 项项
10、P54P54例例2-62-6：第21页，共51页，编辑于2022年，星期二P84P84习题习题2-62-6：，求，求 。、解：解：将将 代入方程右端，代入方程右端，得得包含包含 项项当系统用微分方程描述时，系统的 0-到 0+状态有没有跳变取决于微分方程右端有无冲激函数 及其各阶导数项。第22页，共51页，编辑于2022年，星期二零输入响应零输入响应：零状态响应零状态响应：2.5 2.5 零输入响应与零状态响应零输入响应与零状态响应LTI系统响应的另一种分解形式系统响应的另一种分解形式满足：满足：（一）（一）零输入响应的求解零输入响应的求解（a）（b）系数系数 Ak 可直接由可直接由 来确定。
11、来确定。没有外加激励信号的作用，仅由没有外加激励信号的作用，仅由起始状态起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。（起始时刻系统储能）所产生的响应。系统的起始状态为零，仅由系统的起始状态为零，仅由外加激励信号外加激励信号所产生的响应。所产生的响应。第23页，共51页，编辑于2022年，星期二特征方程特征方程特征根特征根零输入响应零输入响应将起始状态代入，得将起始状态代入，得零输入响应为零输入响应为解：解：P84P84习题习题2-62-6：，求，求 。、第24页，共51页，编辑于2022年，星期二（二）（二）零状态响应的求解零状态响应的求解满足：满足：（a）（b）P84P84习题习题2-62-6
12、：，求，求 。、解：解：设设 ，将其代入微分方程，得，将其代入微分方程，得（1 1）（2 2）第25页，共51页，编辑于2022年，星期二将将 代入方程右端，代入方程右端，得得包含包含 项项（3 3）确定）确定第26页，共51页，编辑于2022年，星期二自由响应瞬态响应强迫响应零输入响应零状态响应全响应全响应稳态响应第27页，共51页，编辑于2022年，星期二（三）（三）零状态响应的零状态响应的卷积法卷积法求解求解作用于系统产生的零状态响应线性线性时不变性激励 分解为冲激函数之和 单位冲激信号单位冲激信号 作用于系统产生作用于系统产生的的零状态响应零状态响应，称为，称为单位冲激响应单位冲激响应
13、，以，以表示。表示。记为记为LTI系统的零状态响应 分解为冲激响应之和第28页，共51页，编辑于2022年，星期二（四）对系统（四）对系统线性线性的进一步讨论的进一步讨论常系数线性微分方程描述的系统的线性包含以下三层含义：常系数线性微分方程描述的系统的线性包含以下三层含义：（a）响应的可分解性响应的可分解性 完全响应完全响应 =零输入响应零输入响应 +零状态响应零状态响应（b）零输入线性零输入线性 当激励为零时，系统的零输入响应当激励为零时，系统的零输入响应 对于各起始状态呈线对于各起始状态呈线性关系。性关系。（c）零状态线性零状态线性 当起始状态为零时，系统的零状态响应当起始状态为零时，系统
14、的零状态响应 对于各激励信号对于各激励信号呈线性关系。呈线性关系。第29页，共51页，编辑于2022年，星期二2.6 2.6 单位冲激响应单位冲激响应 的求解的求解单位冲激响应：单位冲激响应：单位冲激信号单位冲激信号 作用于系统产生的作用于系统产生的零状态零状态 响应响应，以，以 表示。表示。和和 的关系：的关系：单位阶跃响应：单位阶跃响应：单位阶跃信号单位阶跃信号 作用于系统产生的作用于系统产生的零状态零状态 响应响应，以，以 表示。表示。第30页，共51页，编辑于2022年，星期二次次次次当当 时，时，中无冲激函数项；中无冲激函数项；当当 时，时，中将含有中将含有给定微分方程给定微分方程
15、（a）满足：满足：（b）内，内，当当 时，时，中将含有中将含有 项；项；第31页，共51页，编辑于2022年，星期二解：解：例例1:1:描述某描述某LTI系统的微分方程为系统的微分方程为求系统的单位冲激响应求系统的单位冲激响应 。设设则则第32页，共51页，编辑于2022年，星期二解：解：例例3 3：求求 。教材教材P62P62例例2-92-9：特征方程特征方程设设则则第33页，共51页，编辑于2022年，星期二第34页，共51页，编辑于2022年，星期二LTI系统：系统：（一）卷积积分的定义（一）卷积积分的定义一般地，两函数的卷积积分定义为一般地，两函数的卷积积分定义为 卷积的基本计算方法：
16、卷积的基本计算方法：图解法。图解法。2.7 2.7 卷积卷积固定函数滑动函数第35页，共51页，编辑于2022年，星期二（二）卷积的（二）卷积的图解法图解法计算计算（1）先将先将e(t)和和h(t)的自变量的自变量t 改成改成 ，即：，即：（2）将其中的一个信号）将其中的一个信号反褶反褶，（3）时移时移：步骤：步骤：（4）相乘相乘：（5）对乘积后的图形）对乘积后的图形积分积分：难点：积分上、下限的确定难点：积分上、下限的确定右移右移t第36页，共51页，编辑于2022年，星期二0t12h(t)e(t)-1/210t1 例例1：已知信号已知信号e(t)与与h(t)如下图所示，求如下图所示，求解：
17、解：-1/211tt-201201-2第37页，共51页，编辑于2022年，星期二 （1）当当 时时，（2）当当 时，时，重合区间重合区间（3）当当重合区间重合区间即即 时，时，11tt-211tt-211tt-2第38页，共51页，编辑于2022年，星期二（4）当当 ，即当，即当 时时,重合区间重合区间（5）当当 ，即，即 时，时，11tt-211tt-2第39页，共51页，编辑于2022年，星期二13t00t12h(t)e(t)10t1若参与卷积的两个信号若参与卷积的两个信号不含有不含有 等奇异函数，则等奇异函数，则卷积的结果必定为一个卷积的结果必定为一个连续函连续函数数；且；且左边界左边
18、界等于等于左边界之和，左边界之和，右边界右边界等于等于右边界之和右边界之和。第40页，共51页，编辑于2022年，星期二解：解：例例2：已知已知 求求 。（1）当当 t 0 时，时，第41页，共51页，编辑于2022年，星期二需要记忆的几个卷积：需要记忆的几个卷积：第42页，共51页，编辑于2022年，星期二（一）卷积代数（一）卷积代数（1 1）交换律）交换律（2 2）分配律）分配律e(t)h2(t)h1(t)2.8 2.8 卷积的性质卷积的性质 分配律用于系统分析：并联系统的冲激响应等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和。第43页，共51页，编辑于2022年，星期二（3 3）结合律）结合律
19、结合律用于系统分析：串联系统的冲激响应等于组成串联系统的各子系统冲激响应的卷积。e(t)h2(t)h1(t)可逆系统可逆系统逆系统逆系统第44页，共51页，编辑于2022年，星期二（2 2）积分特性）积分特性（3 3）微分、积分特性）微分、积分特性条件：条件：（二）卷积的微分与积分（二）卷积的微分与积分（1 1）微分特性）微分特性第45页，共51页，编辑于2022年，星期二若若（三）卷积的延时特性（三）卷积的延时特性则则需要记忆的卷积：需要记忆的卷积：例：例：（1）（2）第46页，共51页，编辑于2022年，星期二例例1：已知：已知 f1(t)、f2(t)如图所示，求如图所示，求s(t)=f1(t)*f2(t)，并画出，并画出 s(t)的波形。的波形。解：解：第47页，共51页，编辑于2022年，星期二0t12h(t)-1/210t1e(t)例例2：-1/210t(1)(-1)0t12第48页，共51页，编辑于2022年，星期二30t12-1/21 3/2-10-1/21 3/22t30t12当当 时，时，第49页，共51页，编辑于2022年，星期二作业：作业：计算以下函数的卷积积分，并画出卷积结果的波形。计算以下函数的卷积积分，并画出卷积结果的波形。0t0t0t0t第50页，共51页，编辑于2022年，星期二0t0t0t0t0t0t第51页，共51页，编辑于2022年，星期二