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1、截交线的性质：截交线的性质：是一封闭多边形（平面）；是一封闭多边形（平面）；多边形的边数多边形的边数 =切到立体的面数（棱数）。切到立体的面数（棱数）。定义：定义：截平面截平面用来截切立体的平面用来截切立体的平面截交线截交线截平面与立体表面的交线截平面与立体表面的交线截断面截断面立体被截平面切得的平面立体被截平面切得的平面第八章第八章 平面与立体相交、直线与立体相交平面与立体相交、直线与立体相交8.1 平面与平面体相交（截切、截断）平面与平面体相交（截切、截断）纪念曲 平面截切体的画图平面截切体的画图 求截交线的两种方法：求截交线的两种方法：求各棱线与截平面的交点求各棱线与截平面的交点棱线法棱
2、线法。求各棱面与截平面的交线求各棱面与截平面的交线棱面法棱面法。关键是正确地画出截交线的投影关键是正确地画出截交线的投影。求截交线的步骤：求截交线的步骤：截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置确定截交线确定截交线的投影特性的投影特性确定截交确定截交线的形状线的形状 空间及投影分析空间及投影分析 画出截交线的投影画出截交线的投影 分别求出截平面与棱面分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。的交线，并连接成多边形。截交线的形状截交线的形状n1.1.分析截平面与立体的相对位置以决定分析截平面与立体的相对位置以决定截交线形状：多边形，其边数取决于
3、截截交线形状：多边形，其边数取决于截平面截到的棱面数。平面截到的棱面数。n2.2.分析截平面与投影面的相对位置以决分析截平面与投影面的相对位置以决定截交线的投影形状。定截交线的投影形状。例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。3 3 2 2 1 1(4(4)1 1 2 2 4 4 3 3 1 12 24 4 空间分析空间分析交线的形状？交线的形状？3 3 投影分析投影分析 求截交线求截交线 分析棱线的投影分析棱线的投影 检查检查 尤其注意检查截尤其注意检查截 交线投影的类似性交线投影的类似性截交线在俯、截交线在俯、左视图上的形左视图上的形状？状？截平面与体的
4、截平面与体的几个棱面相交几个棱面相交？例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。我们采用的是我们采用的是哪种解题方法哪种解题方法？棱线法！棱线法！例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。1 12 21 1(2(2)、两点分别两点分别同时位于三个面同时位于三个面上。上。三面共点：三面共点：2 2 1 1 注意：注意：要逐个截平面分析和绘制要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只有局截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想为整部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后体被截切，求出截交线后再取局部。再取局部。例：求四棱锥被截切
5、后的俯视图和左视图。例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。例例:求八棱柱被平面求八棱柱被平面P截切后的俯视图。截切后的俯视图。P P 截交线的形状？截交线的形状？1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 8 8 7 7 6 6 截交线的投影截交线的投影特性？特性？2 2 3 3 6 6 7 7 1 1 8 8 4 4 5 5 求截交线求截交线1 15 54 47 76 63 32 28 8分析棱线的分析棱线的投影投影检查截交检查截交线的投影线的投影例例:求八棱柱被平面求八棱柱被平面P截切后的俯视图。截切后的俯视图。作题步骤：作题步骤：想清形体的形状想清形体的形状 确定形体是如何截切的确定形体是如
6、何截切的 判断截交线的边数及形状判断截交线的边数及形状 利用面形法画图（截切平面与各棱线的交点）利用面形法画图（截切平面与各棱线的交点）补全视图，判断可见性补全视图，判断可见性例例1 1：1 2 346571,75,623,4123 4567p1p2p3p4p1 p2 p4 p3 p0p0 例例2 2：s a b c sa c b1 2 3 s a ,c b 1231 2 3 1 24 36 58 71,2 3,4,7,8 5,6 1245678例：例：例：例：3d f e c b a abcdef例、斜三棱柱与平面例、斜三棱柱与平面DEF相交，求截交线的投影。相交，求截交线的投影。求出三条棱
7、线与平面求出三条棱线与平面的交点即可。的交点即可。1 12 233 d f e c b a abcdef1 12 233 回转体截切的基本形式回转体截切的基本形式截交线的性质：截交线的性质：截交线是截平面与回转体表面的截交线是截平面与回转体表面的共有线共有线。截交线的形状取决于回转体表面的形状及截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置截平面与回转体轴线的相对位置。截交线都是截交线都是封闭的平面图形（封闭曲线或由封闭的平面图形（封闭曲线或由直线和曲线围成）直线和曲线围成）。8.2 平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交求平面与回转体的截交线的一般步骤求平面与回转体的截交线
8、的一般步骤 空间及投影分析空间及投影分析 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便的相对位置，以便确定截交线的形状确定截交线的形状。分析截平面与投影面的相对位置，分析截平面与投影面的相对位置，明确明确截交截交 线的投影特性线的投影特性，如积聚性、类似性等。，如积聚性、类似性等。找出找出 截交线的截交线的已知已知投影，投影，予见未知予见未知投影。投影。画出截交线的投影画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
9、见性。见性。先找特殊点，补充中间点先找特殊点，补充中间点。圆柱体的截切圆柱体的截切 截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置截平面与圆柱轴线的相对位置垂直垂直圆圆椭圆椭圆平行平行两平行直线两平行直线倾斜倾斜P PV VP PP PV VP PP PV VP P1 1截切平面平行于轴线截切平面平行于轴线PVPV例：求左视图例：求左视图空间及投影分析空间及投影分析求截交线求截交线分析圆柱体轮廓素线的投影分析圆柱体轮廓素线的投影截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置解题步骤：解题步骤：同一立体被多
10、同一立体被多个平面截切，要逐个平面截切，要逐个截平面进行截交个截平面进行截交线的分析和作图。线的分析和作图。例：求左视图例：求左视图空间及投影分析空间及投影分析求截交线求截交线分析圆柱体轮廓素线的投影分析圆柱体轮廓素线的投影截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置解题步骤：解题步骤：例：求左视图例：求左视图例：求左视图例：求左视图例：求俯视图例：求俯视图例：求俯视图例：求俯视图截交线的已知投影？截交线的已知投影？例：求左视图例：求左视图找特殊点找特殊点补充中间点补充中间点光滑连接各点光滑连接各点分析轮廓素线的投影分析轮廓素线的投影截交线的侧面投截
11、交线的侧面投影是什么形状？影是什么形状？截交线的截交线的空间形状空间形状？2 2截切平面倾斜于轴线截切平面倾斜于轴线例：求左视图例：求左视图找特殊点找特殊点找中间点找中间点光滑连接各点光滑连接各点分析轮廓素线的投影分析轮廓素线的投影 椭圆的长、椭圆的长、短轴随截平面与短轴随截平面与圆柱轴线夹角的圆柱轴线夹角的变化而改变。变化而改变。4545截平面与圆柱轴截平面与圆柱轴线成线成4545时。时。什么情况下什么情况下投影为圆呢投影为圆呢？3 3多平面截切圆柱体多平面截切圆柱体p1p2p2 p1p2p345那些平面截切立体那些平面截切立体每个截断面的形状每个截断面的形状（是否（是否 4545？）？）平
12、面与平面的交线平面与平面的交线!p3p4p1 p3 p4 p4例例5 5：求左视图：求左视图例：求左视图例：求左视图虚实分界点虚实分界点圆锥体的截切圆锥体的截切 根据截平面与圆锥轴线的相根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。对位置不同，截交线有五种形状。过锥顶过锥顶两相交直线两相交直线P PV V圆圆P PV V=90=90P PV V椭圆椭圆抛物线抛物线P PV V=双曲线双曲线P PV V=0=0例例:圆锥被正垂面截切，求圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。截交线，并完成三视图。截交线的截交线的空间形状空间形状？截交线的截交线的投影特性投影特性？找特殊点找特殊点如何
13、找椭圆另如何找椭圆另一根轴的端点一根轴的端点？补充中间点补充中间点光滑连接各点光滑连接各点分析轮廓线的分析轮廓线的 投影投影例例:圆锥被正垂面截切，求圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。截交线，并完成三视图。多个平面截切圆锥体多个平面截切圆锥体球体的截切球体的截切 平面与圆球相交，平面与圆球相交，截交线的形截交线的形状都是圆状都是圆，但根据截平面与投影面，但根据截平面与投影面的相对位置不同，的相对位置不同，其其截交线的投影截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。PV切切 点点 切切点点oacbdobcaddbcaofeeef11f1重点：重点：平面截切
14、平面立体的截断面均为平面多边形，平面截切平面立体的截断面均为平面多边形，其边数取决于切到表面的个数，用面形法解决。其边数取决于切到表面的个数，用面形法解决。平面截切回转体的截断面形状取决于：平面截切回转体的截断面形状取决于：回转体的种类；回转体的种类；截切平面与被切回转体的相对位置。截切平面与被切回转体的相对位置。例：求半球体截切后的俯视图和左视图。例：求半球体截切后的俯视图和左视图。水平面截圆球的截交线水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。积聚为直线。两个侧平面截圆球的截两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视图交线的投
15、影，在侧视图上为部分圆弧，在俯视上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。图上积聚为直线。例：求半球体截切后的俯视图和左视图。例：求半球体截切后的俯视图和左视图。PV 复合回转体的截切复合回转体的截切例：求作顶尖的俯视图例：求作顶尖的俯视图 首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，以及它们的连接关系，然后然后分别求出这些基本回分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。转体的截交线，并依次将其连接。小小 结结一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成 的封闭的平面多边形，多边形的边是的封闭的平面多边形，
16、多边形的边是截平截平 面与棱面的交线面与棱面的交线。求截交线的方法：求截交线的方法：棱线法棱线法 棱面法棱面法二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截 平面与被截立体轴线的相对位置。平面与被截立体轴线的相对位置。截交线是截平面与回转体表面的截交线是截平面与回转体表面的共有线共有线。当截交线的投影为非圆曲线时，当截交线的投影为非圆曲线时，要要先先找特殊点，再补充中间点找特殊点，再补充中间点，最后光滑连接，最后光滑连接各点。各点。注意分析平面体的棱线和回转体轮廓注意分析平面体的棱线和回转体轮廓素线的投影。素线的投影。分析截平面与被截立体对投影面的相对分析截平
17、面与被截立体对投影面的相对 位置，以位置，以确定截交线的投影特性确定截交线的投影特性。求截交线求截交线三、解题方法与步骤三、解题方法与步骤 空间及投影分析空间及投影分析 分析截平面与被截立体的相对位置，以分析截平面与被截立体的相对位置，以 确定截交线的形状确定截交线的形状。当单体被多个截平面截切时，要当单体被多个截平面截切时，要逐个逐个截截 平面平面进行截交线的分析与作图进行截交线的分析与作图。当只有。当只有 局部被截切局部被截切时，先时，先按整体被截切求出截按整体被截切求出截 交线交线，然后，然后再取局部再取局部。求求复合回转体复合回转体的截交线，应首先分析复的截交线，应首先分析复 合回转体
18、由哪些基本回转体组成以及它合回转体由哪些基本回转体组成以及它 们的连接关系，然后们的连接关系，然后分别求出分别求出这些这些基本基本 回转体的截交线回转体的截交线，并依，并依次将其连接次将其连接。8.3 8.3 直线与回转体相交直线与回转体相交 直线与回转体表面交点的投影，应采用面上找点、直线与回转体表面交点的投影，应采用面上找点、辅助线法或辅助平面法完成，对交点应予以标注；辅助线法或辅助平面法完成，对交点应予以标注；对直线应判别其可见性（回转体内部不画线、处于对直线应判别其可见性（回转体内部不画线、处于不可见部分的直线为虚线）。不可见部分的直线为虚线）。1 1特殊情况特殊情况PVPVb abalklka b ablkla ab bkkllk可见可见不可见2 2一般情况一般情况辅助面法辅助面法换面法换面法