第四章 恒定电流场精选文档.ppt

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1、第四章 恒定电流场本讲稿第一页，共二十九页第四章第四章 恒定电流场恒定电流场 主主 要要 内内 容容电流，电动势，电流连续性原理，能量损耗。电流，电动势，电流连续性原理，能量损耗。1.1.电流及电流强度电流及电流强度 分类：分类：传导电流传导电流与与运流电流运流电流。传导电流传导电流是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液中的离子运是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液中的离子运动形成的电流动形成的电流。运流电流运流电流是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成的电流。是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成的电流。本讲稿第二页，共二十九页 电流强度：电流强度：单位时间内穿过某

2、一截面的电量，又简称为电流，以单位时间内穿过某一截面的电量，又简称为电流，以 I 表示。电流的单位为表示。电流的单位为A（安培安培）。因此，电流因此，电流 I 与电荷与电荷 q 的关系为的关系为 电流密度：电流密度：是一个矢量，以是一个矢量，以 J 表示。电流密度的方向为表示。电流密度的方向为正正电荷的运动方向，电荷的运动方向，其大小为单位时间内其大小为单位时间内垂直垂直穿过单位面积的电荷量。穿过单位面积的电荷量。因此，穿过任一有向面元因此，穿过任一有向面元 dS 的电流的电流 dI 与电流密度与电流密度 J 的关系为的关系为 本讲稿第三页，共二十九页1 1、电流、电荷守恒定律电流、电荷守恒定

3、律a)电流密度（Current density)电荷的运动形成电流，通常用 来描述，其定义为 代表电荷密度 的运动速度。b)电流强度(Current intensity)单位时间内垂直穿过导线横截面的电量称为电流强度，用I表示，显然I与 的关系为本讲稿第四页，共二十九页 c)电荷守恒(Conservation of Charge)对于封闭系统，总电荷保持不变。实验表明电荷是守恒的。即一处电荷增加了，另一处的电荷必然减少，而且增加和减少的量值相等。若在通有电流的导体内部，任意找出一个小体积V，包围这个体积的闭合曲面为S，并且假定电流的体积V的一面流入，从另一面流出。SV本讲稿第五页，共二十九页单

4、位时间内穿过S曲面流出去的电量为而流出去的电量应该等于封闭曲面S内总电荷在单位时间内的减少量，即所以本讲稿第六页，共二十九页根据Gauss theorem，有若所选取的封闭曲面S不随时间变化，则由于曲面S是任意选取的，所以被积函数恒为零，即这就是电荷守恒定律的数学表达式,也称连续性方程。本讲稿第七页，共二十九页注意：a)在稳定电流的情况下，由于 ，所以这表示稳定电流线是闭合的。b)对于全空间V，S为无穷远界面，由于S面上没有电流流出，即 ，从而得到 ，表示全空间的总电荷守恒。本讲稿第八页，共二十九页那么，穿过任一截面那么，穿过任一截面 S 的电流的电流 I 为为此式表明，此式表明，穿过某一截面

5、的电流等于穿过该截面电流密度的穿过某一截面的电流等于穿过该截面电流密度的通量通量。在在外外源源的的作作用用下下，大大多多数数导导电电媒媒质质中中某某点点的的传传导导电电流流密密度度 J 与与该该点点的的电电场场强强度度 E 成正比，即成正比，即式中式中 称为电导率，其单位为称为电导率，其单位为 S/m。值愈大表明导电能力愈强，即使在值愈大表明导电能力愈强，即使在微弱的电场作用下，也可形成很强的电流。微弱的电场作用下，也可形成很强的电流。上式又称为欧姆定律上式又称为欧姆定律 的微分形式。的微分形式。本讲稿第九页，共二十九页 电导率为无限大的导体称为电导率为无限大的导体称为理想导电体理想导电体。显

6、然，在理想导电体中，无需电场推。显然，在理想导电体中，无需电场推动即可形成电流。由上式可见，在理想导电体中是不可能存在恒定电场的，否则，动即可形成电流。由上式可见，在理想导电体中是不可能存在恒定电场的，否则，将会产生无限大的电流，从而产生无限大的能量。但是，任何能量总是有限的。将会产生无限大的电流，从而产生无限大的能量。但是，任何能量总是有限的。电导率为零的媒质，不具有导电能力，这种媒质称为电导率为零的媒质，不具有导电能力，这种媒质称为理想介质理想介质。媒媒 质质电导率电导率(S/m)媒媒 质质电导率电导率(S/m)银银海海 水水4紫紫 铜铜淡淡 水水金金干干 土土铝铝变压器油变压器油黄黄 铜

7、铜玻玻 璃璃铁铁橡橡 胶胶本讲稿第十页，共二十九页 运流电流运流电流的电流密度并不与电场强度成正比，而且电流密度的方向与的电流密度并不与电场强度成正比，而且电流密度的方向与电场强度的方向也可能不同电场强度的方向也可能不同。可以证明。可以证明运流电流的电流密度运流电流的电流密度J 与运动速度与运动速度 v 的关系为的关系为 式中式中 为电荷密度。为电荷密度。与介质的极化特性一样，媒质的导电性能也表现出均匀与非均匀，与介质的极化特性一样，媒质的导电性能也表现出均匀与非均匀，线性与非线性以及各向同性与各同异性等特点，这些特性的含义与前相线性与非线性以及各向同性与各同异性等特点，这些特性的含义与前相同

8、。上述公式仅适用于各向同性的线性媒质。同。上述公式仅适用于各向同性的线性媒质。本讲稿第十一页，共二十九页2.电动势电动势 如如图图所所示示，首首先先将将外外接接的的导导电电媒媒质质移移去去，讨讨论论开开路路情情况况下下外外源源内内部部的的作作用过程。用过程。在外源中在外源中非静电力非静电力作用下，正电荷不断地移向作用下，正电荷不断地移向正极板正极板 P，负电荷不断地移向负极板，负电荷不断地移向负极板 N。极板上。极板上的电荷在外源中形成电场的电荷在外源中形成电场 E，其方向由正极板，其方向由正极板指向负极板，而且随着极板上电荷的增加不指向负极板，而且随着极板上电荷的增加不断增强。断增强。E导电

9、媒质PNE外 源 显然，由极板上电荷产生的电场力阻止正电荷继显然，由极板上电荷产生的电场力阻止正电荷继续向正极板移动，同时也阻止负电荷继续向负极板移续向正极板移动，同时也阻止负电荷继续向负极板移动，一直到极板电荷产生的电场力等于外源中的非电动，一直到极板电荷产生的电场力等于外源中的非电力时，外源的电荷运动方才停止，极板上的电荷也就力时，外源的电荷运动方才停止，极板上的电荷也就保持恒定。保持恒定。本讲稿第十二页，共二十九页 既然外源中的非静电力表现为对于电荷的作用力，因此，通常认为这种非静电力既然外源中的非静电力表现为对于电荷的作用力，因此，通常认为这种非静电力是由外源中存在的外电场产生的，其电

10、场强度仍然定义为对于单位正电荷的作用力，是由外源中存在的外电场产生的，其电场强度仍然定义为对于单位正电荷的作用力，以以 E表示。由于外电场使正电荷移向正极板，负电荷移向负极板，因此，外电场的方表示。由于外电场使正电荷移向正极板，负电荷移向负极板，因此，外电场的方向由负极板指向正极板。可见，在外源中外电场向由负极板指向正极板。可见，在外源中外电场 E 的方向与极板电荷形成的电场的方向与极板电荷形成的电场 E 的方向恰好相反。当外源中的外电场与极板电荷的电场等值反向时，外源中的方向恰好相反。当外源中的外电场与极板电荷的电场等值反向时，外源中合成电场为零，电荷运动停止。合成电场为零，电荷运动停止。若

11、外源的极板之间接上导电媒质，正极板上的正电荷通过导电媒质移若外源的极板之间接上导电媒质，正极板上的正电荷通过导电媒质移向负极板；负极板上的负电荷通过导电媒质移向正极板。因而导致极板上向负极板；负极板上的负电荷通过导电媒质移向正极板。因而导致极板上电荷减少，使得外源中由极板电荷形成的电场电荷减少，使得外源中由极板电荷形成的电场 E 小于外电场，外电场又小于外电场，外电场又使外源中的正负电荷再次移动，外源不断地向正极板补充新的正电荷，向使外源中的正负电荷再次移动，外源不断地向正极板补充新的正电荷，向负极板补充新的负电荷。负极板补充新的负电荷。本讲稿第十三页，共二十九页 由上可见，极板上的电荷通过导

12、电媒质不断流失，外源又不断地向极由上可见，极板上的电荷通过导电媒质不断流失，外源又不断地向极板补充新电荷，从而维持了连续不断的电流。因此，为了在导电媒质中产板补充新电荷，从而维持了连续不断的电流。因此，为了在导电媒质中产生连续不断的电流，必须依靠外源。生连续不断的电流，必须依靠外源。当达到当达到动态平衡动态平衡时，极板上的电荷分布保持不变。这样，极板时，极板上的电荷分布保持不变。这样，极板电荷在外源中以及在导电媒质中产生电荷在外源中以及在导电媒质中产生恒定电场恒定电场，且在外源内部保持，且在外源内部保持 ，在包括外源及导电媒质的整个回路中维持恒定的电流。，在包括外源及导电媒质的整个回路中维持恒

13、定的电流。注意，极板上的电荷分布虽然不变，但是极板上的电荷并不是静止的。注意，极板上的电荷分布虽然不变，但是极板上的电荷并不是静止的。它们是在不断地更替中保持分布特性不变，因此，这种电荷称为它们是在不断地更替中保持分布特性不变，因此，这种电荷称为驻立电荷驻立电荷。驻立电荷是在外源作用下形成的，一旦外源消失，驻立电荷也将随之逐渐消驻立电荷是在外源作用下形成的，一旦外源消失，驻立电荷也将随之逐渐消失。失。本讲稿第十四页，共二十九页 外电场由负极板外电场由负极板 N 到正极板到正极板 P 的线积分称为外源的的线积分称为外源的电动势电动势，以，以e 表示，表示，即即 达到动态平衡时，在外源内部达到动态

14、平衡时，在外源内部 ，所以上式又可写为，所以上式又可写为 考虑到导电媒质中，考虑到导电媒质中，那么，上式可写成，那么，上式可写成 驻驻立立电电荷荷产产生生的的恒恒定定电电场场与与静静止止电电荷荷产产生生的的静静电电场场一一样样，也也是是一一种保守场。因此，它沿任一闭合回路的线积分应为零，即种保守场。因此，它沿任一闭合回路的线积分应为零，即本讲稿第十五页，共二十九页对于均匀导电媒质，上式变为对于均匀导电媒质，上式变为 根据斯托克斯定理，求得上两式的微分形式如下：根据斯托克斯定理，求得上两式的微分形式如下：可见，均匀导电媒质中，恒定电流场是可见，均匀导电媒质中，恒定电流场是无旋无旋的。的。本讲稿第

15、十六页，共二十九页3.电流连续性原理电流连续性原理 设闭合面设闭合面 S 包围的体积包围的体积 V 中驻立电荷的体密度为中驻立电荷的体密度为 ，则，则那么，那么，已知恒定电流场中的电荷分布与时间无关，即已知恒定电流场中的电荷分布与时间无关，即 ，由此得，由此得 此此式式表表明明，在在恒恒定定电电流流场场中中，电电流流密密度度通通过过任任一一闭闭合合面面的的通通量量为为零零。如如果果以以一一系系列列的的曲曲线线描描述述电电流流场场，令令曲曲线线上上各各点点的的切切线线方方向向表表示示该该点点电电流流密密度度的的方方向向，这这些些曲曲线线称称为为电电流流线线。那那么么，电电流流线线是是连连续续闭闭

16、合合的的。它它和和电电场场线线不不同同，电电流流线没有起点和终点，这一结论称为线没有起点和终点，这一结论称为电流连续性原理电流连续性原理。本讲稿第十七页，共二十九页根据高斯定理，求得根据高斯定理，求得 上式为电荷守恒原理的微分形式。因此，对于恒定电流场，得上式为电荷守恒原理的微分形式。因此，对于恒定电流场，得此式表明，此式表明，恒定电流场是无散的恒定电流场是无散的。4.恒定电流场的边界条件恒定电流场的边界条件已知恒定电流场方程的积分形式为已知恒定电流场方程的积分形式为 对应的微分形式为对应的微分形式为本讲稿第十八页，共二十九页 由积分形式的恒定电流场方程导出边界两侧电流密度的切向分量关系为由积

17、分形式的恒定电流场方程导出边界两侧电流密度的切向分量关系为而边界两侧电流密度的法向分量关系为而边界两侧电流密度的法向分量关系为 由由此此可可见见，在在两两种种导导电电媒媒质质的的边边界界上上，电电流流密密度度矢矢量量的的切切向向分分量量是是不不连连续续的的，但但其其法向分量连续法向分量连续。已知已知 ，那么根据上述恒定电流场的边界条件可以导出导，那么根据上述恒定电流场的边界条件可以导出导电媒质中恒定电场的边界条件为电媒质中恒定电场的边界条件为 本讲稿第十九页，共二十九页 已已知知理理想想导导电电体体内内部部不不可可能能存存在在电电场场，那那么么，理理想想导导电电体体表表面面不不可可能能存存在在

18、切切向向电电场场，因因而而也也不不可可能能存存在在切切向向恒恒定定电电流流。当当电电流流由由理理想想导导电电体体流流出出进进入一般导电媒质时，电流线总是垂直于理想导电体表面。入一般导电媒质时，电流线总是垂直于理想导电体表面。5.恒定电流场的能量损耗恒定电流场的能量损耗 在导电媒质中，自由电子移动时要与原子晶格发生碰撞，结果产生热能，这是在导电媒质中，自由电子移动时要与原子晶格发生碰撞，结果产生热能，这是一种一种不可逆不可逆的能量转换。这种能量损失将由外源不断补给，以维持恒定的能量转换。这种能量损失将由外源不断补给，以维持恒定的电流。的电流。设在恒定电流场中，沿电流方向取一设在恒定电流场中，沿电

19、流方向取一个长度为个长度为 dl，端面为，端面为 dS 的小圆柱体，如图的小圆柱体，如图所示。所示。dlUJdS本讲稿第二十页，共二十九页 圆柱体的端面分别为两个等位面。若在电场力作用下，圆柱体的端面分别为两个等位面。若在电场力作用下，d t 时间内有时间内有 d q电荷自圆柱的左端面移至右端面，那么电场力作的功为电荷自圆柱的左端面移至右端面，那么电场力作的功为 电场损失的功率电场损失的功率 P 为为 那么，单位体积中的功率损失为那么，单位体积中的功率损失为当当 J 和和 E 的方向不同时，上式可以表示为下面一般形式的方向不同时，上式可以表示为下面一般形式 此式称为此式称为焦耳定律的微分形式焦

20、耳定律的微分形式，它表示某点的功率损耗等于该点的电场强度，它表示某点的功率损耗等于该点的电场强度与电流密度的标积。与电流密度的标积。本讲稿第二十一页，共二十九页 设设圆圆柱柱体体两两端端的的电电位位差差为为U，则则 ，又又知知 ，那那么么单单位位体积中的功率损失可表示为体积中的功率损失可表示为可见，圆柱体中的总功率损失为可见，圆柱体中的总功率损失为这就是电路中的这就是电路中的焦耳定律焦耳定律。本讲稿第二十二页，共二十九页例例1 已知一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如图示。其介电常数分别已知一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如图示。其介电常数分别为为 1 和和 2，电导率分别为，电导率

21、分别为 1 和和 2，厚度分别为，厚度分别为 d1 和和 d2。当外加恒定电压为。当外加恒定电压为 V 时，试求两层介质中的电场强度，单位体积中的电场储能及功率损耗。时，试求两层介质中的电场强度，单位体积中的电场储能及功率损耗。1 1 2 2d1d2U解解 由于电容器外不存在电流，可以认由于电容器外不存在电流，可以认为电容器中的电流线与边界垂直，求得为电容器中的电流线与边界垂直，求得 又又由此求出两种介质中的电场强度分别为由此求出两种介质中的电场强度分别为 本讲稿第二十三页，共二十九页两种介质中电场储能密度分别为两种介质中电场储能密度分别为 两种介质中单位体积的功率损耗分别为两种介质中单位体积

22、的功率损耗分别为 两种特殊情况值得注意：两种特殊情况值得注意：当当 时，时，。当当 时，时，。d1d2 1=0E 2=0UE 1=0 2=0U本讲稿第二十四页，共二十九页例例2 2 设一段环形导电媒质，其形状及尺寸如图示。计算两个端面之间的设一段环形导电媒质，其形状及尺寸如图示。计算两个端面之间的电阻。电阻。Uyxtabr0(r,)0解解 显然，必须选用圆柱坐标系。设两个端面之显然，必须选用圆柱坐标系。设两个端面之间的电位差为间的电位差为U，且令，且令 当角度当角度 时，电位时，电位 。当角度当角度 时，电位时，电位 。那那么么，由由于于导导电电媒媒质质中中的的电电位位 仅仅与与角角度度 有有

23、关关，因因此此电电位位满满足足的的方方程程式式为为此式的通解为此式的通解为 本讲稿第二十五页，共二十九页 利用给定的边界条件，求得利用给定的边界条件，求得 导电媒质中的电流密度导电媒质中的电流密度 J 为为 那么由那么由 的端面流进该导电媒质的电流的端面流进该导电媒质的电流 I 为为 因此该导电块的两个端面之间的电阻因此该导电块的两个端面之间的电阻 R 为为 本讲稿第二十六页，共二十九页6.恒定电流场与静电场的比拟恒定电流场与静电场的比拟 已知无外源区中均匀导电媒质内的恒定电流场方程和无源区中均匀已知无外源区中均匀导电媒质内的恒定电流场方程和无源区中均匀介质内的静电场方程如下：介质内的静电场方

24、程如下：恒定电流场恒定电流场静电场静电场可见，两者非常相似，恒定电流场的电流密度可见，两者非常相似，恒定电流场的电流密度 J 相当于静电场的电场强度相当于静电场的电场强度 E，电流线相当于电场线。，电流线相当于电场线。本讲稿第二十七页，共二十九页 因此，当恒定电流场与静电场的边界条件相同时，电流密度的分布因此，当恒定电流场与静电场的边界条件相同时，电流密度的分布与电场强度的分布特性完全相同。根据这种类似性，可以利用已经获得与电场强度的分布特性完全相同。根据这种类似性，可以利用已经获得的静电场的结果直接求解恒定电流场。或者由于在某些情况下，恒定电的静电场的结果直接求解恒定电流场。或者由于在某些情

25、况下，恒定电流场容易实现且便于测量时，可用边界条件与静电场相同的电流场来研流场容易实现且便于测量时，可用边界条件与静电场相同的电流场来研究静电场的特性，这种方法称为究静电场的特性，这种方法称为静电比拟静电比拟。例如，两电极间的电流场与静电场对应分布如下图示：例如，两电极间的电流场与静电场对应分布如下图示：PN电流场PN静电场那么，利用已经获得的静电场结果可以求解恒定电流场。那么，利用已经获得的静电场结果可以求解恒定电流场。本讲稿第二十八页，共二十九页 利用两种场方程，可以求出两个电极之间的电阻及电导与电容的关系为利用两种场方程，可以求出两个电极之间的电阻及电导与电容的关系为若已知两电极之间的电容，根据上述两式，即可求得两电极间的若已知两电极之间的电容，根据上述两式，即可求得两电极间的电阻电阻及及电导电导。例如，已知面积为例如，已知面积为 S，间距为，间距为 d 的平板电容器的电容的平板电容器的电容 ，若，若填充的非理想介质的电导率为填充的非理想介质的电导率为 ，则平板电容器极板间的漏电导为，则平板电容器极板间的漏电导为 又又知知单单位位长长度度内内同同轴轴线线的的电电容容 。那那么么，若若同同轴轴线线的的填填充介质具有的电导率为充介质具有的电导率为 ，则单位长度内同轴线的漏电导，则单位长度内同轴线的漏电导本讲稿第二十九页，共二十九页