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1、求解求解观察观察线性微分方程线性微分方程性能指标性能指标传递函数传递函数时间响应时间响应 频率响应频率响应拉氏变换拉氏变换拉氏反变换拉氏反变换估算估算估算估算计算计算傅傅氏氏变变换换S=j频率特性频率特性拉氏反变换拉氏反变换 按定义求拉氏反变换很困难，一般常用部分分式法计算：的一般形式为部分分式原函数分解查表1、例解：3、含有共轭极点。微分方程微分方程以以s为参量的象函数为参量的象函数的代数方程的代数方程象象函数函数原函数原函数(微分方程解微分方程解)拉氏拉氏 变换变换求解求解代数方程代数方程拉氏拉氏 反变换反变换用拉氏变换法求解微分方程举例举例2.2 传递函数用微分方程来描述系统比较直观用微
2、分方程来描述系统比较直观，但是一旦系，但是一旦系统中某个参数发生变化或者结构发生变化，就统中某个参数发生变化或者结构发生变化，就需要重新排列微分方程，不便于系统的分析与需要重新排列微分方程，不便于系统的分析与设计。为此提出传递函数的概念。设计。为此提出传递函数的概念。一、传递函数的定义和概念一、传递函数的定义和概念以上一节例（以上一节例（1）RLC电路的微分方程为例：电路的微分方程为例：设设初始状态为零，对上式进行拉氏变换，得到：初始状态为零，对上式进行拉氏变换，得到：G(s)R(s)C(s)定义定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值称
3、为该系统的传换与输入量拉氏变换的比值称为该系统的传递函数，用递函数，用G(s)表示。表示。一般形式一般形式：设线性定常系统（元件）的微分方程是：设线性定常系统（元件）的微分方程是：y(t)为系统的输出，为系统的输出，r(t)为系统输入，则零初为系统输入，则零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为：统传递函数为：分母中分母中s的最高阶次的最高阶次n即为系统的阶次。即为系统的阶次。因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，所以所以G(s)G(s)的分母阶次大于等于分子阶次，的分母阶次大于等于分子阶次，即即 ,是有
4、理真分式，若是有理真分式，若mn,mn,我们就我们就说这是物理不可实现的系统。说这是物理不可实现的系统。二、传递函数的性质二、传递函数的性质 (1)(1)传递函数描述了系统的外部特性。不反映系统传递函数描述了系统的外部特性。不反映系统的内部物理结构的有关信息；的内部物理结构的有关信息；传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入和初始条件等外部因素无关；输入和初始条件等外部因素无关；(2)(2)传递函数与微分方程一一对应；传递函数与微分方程一一对应；(3)(3)传递函数与系统的输入输出的位置有关；传递函数与系统的输入输出的位置有关；(5)(5)传递函数一
5、旦确定，系统在一定的输入信号下传递函数一旦确定，系统在一定的输入信号下的动态特性就确定了。的动态特性就确定了。传递函数 微分方程用方框图来表示一个具有传递函数G(s)的线性系统系统输入量与输出量的因果关系可以用传递函数连系起来 (6)(6)例 求如图所示电路的传递函数解：解法一：列出回路电压方程和输出节点方程拉氏变换用复数阻抗法求电网络的传递函数时域方程拉氏变换传递函数复数阻抗电容电感电阻解法二：将原用复阻抗表示：3 3、传递函数的几种表达形式、传递函数的几种表达形式有理分式形式：式中：为实常数，一般nm上式称为n阶传递函数，相应的系统为n阶系统。零点、极点形式（首一多项式）：传递函数的零点，
6、传递函数的极点传递系数（根轨迹增益）时间常数形式（尾一多项式）：其中 称为时间常数K称为传递系数或增益。显然：3 3、传递函数的极点和零点对输出的影响、传递函数的极点和零点对输出的影响 传递函数的零点,用“”表示 传递函数的极点,用“”表示 极点是微分方程的特征跟，因此，决定了所描述系统自由运动的模态。运动的模态运动的模态线性微分方程的解=特解+齐次微分方程的通解通解由微分方程的特征方程决定，代表自由运动。零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占比重越小如果零极点重合该极点所产生的模态为零，因为分子分母相互抵消。例 已知某系统在0初条件下
7、的阶跃响应为：试求：（1）系统的传递函数；（2）系统的特征根及相应的模态；（3）画出对应的零极点图；（4）求系统的单位脉冲响应g(t)；（5）求系统微分方程；（6）当 c(0)=-1,c(0)=0;r(t)=1(t)时，求系统的响应。解.（1）(3)(3)如图所示如图所示(2)(2)(4)(4)(5)(5)（6 6）其中初条件引起的自由响应部分4、典型元部件的传递函数典型环节环节：具有相同形式传递函数的元部件的分类。不同的元部件可以有相同的传递函数；若输入输出变量选择不同，同一部件可以有不同的传递函数；任一传递函数都可看作典型环节的组合。（一）比例环节K称为比例系数或放大系数，有时也称为环节的
8、增益。（二）惯性环节时间常数，K比例系数输出量不能立即跟随输入量变化。存在时间上的延迟。可以用来量度。对惯性环节输入单位阶跃信号并且具有零初始条件时其输出量y(t)为：（三）积分环节积分环节的动态方程为积分环节在单位阶跃输入下的响应K比例系数，T积分时间常数。（四）微分环节时间常数。纯微分 一阶微分 二阶微分 特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入 信号的变化趋势。实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。（五）振荡环节弹簧阻尼系统的传递函数为：RLC电路的传递函数为：振荡环节的微分方程为传递函数为：振荡环节的单位阶跃响应（六）纯滞后环节输出信号比输入信号迟后一段时间。c(t)=r(t-)滞后时间常数。得到传递函数