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1、第十章 非正弦周期电流电路终稿本讲稿第一页，共五十页本讲稿第二页，共五十页 54学时学时Chapter 10 非正弦周期电流非正弦周期电流电路分析电路分析 4Chapter 5 线性时不变动态电路暂态过程的时域分析线性时不变动态电路暂态过程的时域分析 10Chapter 11 拉普拉斯变换及电路的复频域分析拉普拉斯变换及电路的复频域分析 8Chapter 12 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 8Chapter 13 双口网络双口网络 8Chapter 14 状态变量分析法状态变量分析法 4Chapter 15 均匀传输线的正弦稳态分析均匀传输线的正弦稳态分析 8 Chapter 16 无
2、损线的暂态分析无损线的暂态分析 4学时安排学时安排本讲稿第三页，共五十页 在在1822年，付里叶提出：任何一个实际周期函年，付里叶提出：任何一个实际周期函数能表示成一系列正弦函数的和。如此的表示，随同数能表示成一系列正弦函数的和。如此的表示，随同叠加定理一起，允许我们使用相量法，求得非正弦周叠加定理一起，允许我们使用相量法，求得非正弦周期函数激励的电路的响应。期函数激励的电路的响应。首先，首先，我们以付里叶级数开始。我们以付里叶级数开始。然后然后，在电路，在电路分析中应用付里叶级数。分析中应用付里叶级数。最后最后，说明付里叶级数在频，说明付里叶级数在频谱分析器和滤波器的工程应用。谱分析器和滤波
3、器的工程应用。前面我们花了相当的时间分析前面我们花了相当的时间分析正弦函数激励的正弦函数激励的电路电路。本章分析。本章分析非正弦周期函数激励的电路非正弦周期函数激励的电路。本讲稿第四页，共五十页10.1 非正弦周期量非正弦周期量一、非正弦周期信号的产生一、非正弦周期信号的产生1.1.电路中含有非线性元件电路中含有非线性元件DR输入正弦波输出半波整流例如：二极管半波整流电路例如：二极管半波整流电路本讲稿第五页，共五十页2.2.实验室中示波器的水平扫描电压实验室中示波器的水平扫描电压输入周期性锯齿波示波器输入正弦波10.1 10.1 非正弦周期量非正弦周期量本讲稿第六页，共五十页3.3.一个电路中
4、同时有几个不同频率的激励共同作用一个电路中同时有几个不同频率的激励共同作用时时交流电源交流电源UCCuS直流电源直流电源输出波为非正弦波输出波为非正弦波电压放大电路电压放大电路10.1 10.1 非正弦周期量非正弦周期量本讲稿第七页，共五十页4.4.计算机内的脉冲信号计算机内的脉冲信号 Tt10.1 10.1 非正弦周期量非正弦周期量本讲稿第八页，共五十页5.发电机中产生的电压并非标准正弦波发电机中产生的电压并非标准正弦波10.1 10.1 非正弦周期量非正弦周期量本讲稿第九页，共五十页二、本章讨论内容二、本章讨论内容10.1 10.1 非正弦周期量非正弦周期量 主要是运用数学中学过的傅里叶级
5、数展开法，主要是运用数学中学过的傅里叶级数展开法，首先首先将非正弦周期电压、电流或外施信号分解为一系将非正弦周期电压、电流或外施信号分解为一系列不同频率的正弦量之和，列不同频率的正弦量之和，然后然后分别计算在各种频分别计算在各种频率正弦量单独作用下，在电路中产生的正弦电流率正弦量单独作用下，在电路中产生的正弦电流分量和电压分量，分量和电压分量，最后最后再根据线性电路的叠加定再根据线性电路的叠加定理，把所有分量的时域形式叠加，就可以得到电理，把所有分量的时域形式叠加，就可以得到电路中实际的稳态电流和电压。这种分析方法称为路中实际的稳态电流和电压。这种分析方法称为谐波分析法谐波分析法。本章讨论非正
6、弦周期电压、电流或信号作用本章讨论非正弦周期电压、电流或信号作用下（电源）下（电源），线性电路的分析和计算方法。，线性电路的分析和计算方法。本讲稿第十页，共五十页10.2 10.2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数周期函数表示为：周期函数表示为：n0，1，2，3（整数）（整数）T：函数的周期：函数的周期 如果给定的函数是周期的同时又满足所谓如果给定的函数是周期的同时又满足所谓狄里赫利条件，那么它就可以展开成一个收敛狄里赫利条件，那么它就可以展开成一个收敛级数。电工技术中所遇到的周期函数，通常都级数。电工技术中所遇到的周期函数，通常都能满足这个条件。按上述，能满足这个条件。按上述
7、，f(t)可展开成可展开成本讲稿第十一页，共五十页称称基波角频率基波角频率（rad/s）常数常数a0、an、bn称称付里叶系数付里叶系数方程称方程称f(t)的的三角形式的付里叶级数三角形式的付里叶级数10.2 10.2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数决定系数决定系数a0、an和和bn的过程称的过程称傅里叶分析傅里叶分析。本讲稿第十二页，共五十页下列三角函数积分对下列三角函数积分对付里叶分析付里叶分析有用。对任意整有用。对任意整数数m和和n，有：，有：我们使用这些我们使用这些恒等式求付里恒等式求付里叶系数。叶系数。10.2 10.2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶
8、级数本讲稿第十三页，共五十页先求先求a0在一个周期内，积分上式两边在一个周期内，积分上式两边根据恒等式，即正弦函数在一个周期内积分为零根据恒等式，即正弦函数在一个周期内积分为零a是是f(t)的平均值的平均值10.2 10.2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数本讲稿第十四页，共五十页求求an用用cosm0t乘乘上式两边，再一个周期内积分上式两边，再一个周期内积分根据恒等式，第一、三项为零，第二项（含根据恒等式，第一、三项为零，第二项（含an的积分）除的积分）除mn外，也为零。外，也为零。10.2 10.2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数本讲稿第十五页，共五十页求
9、求bn用用sinm0t乘乘上式两边，再一个周期内积分，得：上式两边，再一个周期内积分，得：注意：既然注意：既然f(t)是周期的，是周期的，用用-T/2T/2或一般地或一般地t0t0+T取代取代0T的来表达积分，也许更方便。结果一样。的来表达积分，也许更方便。结果一样。10.2 10.2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数本讲稿第十六页，共五十页10.2 10.2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数由由f(t)求傅里叶系数：求傅里叶系数：本讲稿第十七页，共五十页10.2 10.2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数用正弦函数表示的傅里叶级数：用正弦函数表
10、示的傅里叶级数：证明：证明：本讲稿第十八页，共五十页对比级数方程对比级数方程10.2 10.2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数有：有：，所以所以本讲稿第十九页，共五十页对比级数方程对比级数方程10.2 10.2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数有：有：，所以所以本讲稿第二十页，共五十页10.2 10.2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数f(t)的一次谐波的一次谐波（或基波分量）（或基波分量）二次谐波二次谐波n次谐波次谐波f(t)的恒定分量的恒定分量（或直流分量）（或直流分量）高次谐波：高次谐波：指指2次谐波及其以上次数谐波。次谐波及其以上次数谐
11、波。谐波分析：谐波分析：指把一个周期函数分解为具有一指把一个周期函数分解为具有一系列谐波的傅里叶级数。系列谐波的傅里叶级数。本讲稿第二十一页，共五十页10.2 10.2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数例：例：tu(t)02113 4f f(t t)由直流分量、基波分量、奇次谐波构成。由直流分量、基波分量、奇次谐波构成。本讲稿第二十二页，共五十页例：例：10.2 10.2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数tu(t)0T/2TA周期函数周期函数u(t)的傅里叶级数：的傅里叶级数：周期函数，是一系列正弦波的合成波。这些正弦周期函数，是一系列正弦波的合成波。这些正弦波
12、的振幅、初相都不同，频率都是基频整数倍。波的振幅、初相都不同，频率都是基频整数倍。本讲稿第二十三页，共五十页tu(t)0以一个周期的情况为例进行分析：以一个周期的情况为例进行分析：u1u1与方波同频率与方波同频率,称为方波的基波称为方波的基波u3u3的频率是方波的的频率是方波的3倍倍,称为方波的三次谐波。称为方波的三次谐波。u1和和u3的合成波的合成波,显然较接近方波显然较接近方波U1m1/3U1m10.2 10.2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数本讲稿第二十四页，共五十页10.2 10.2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数tu(t)0u5的频率是的频率是方波
13、的方波的5倍倍,称为方波的称为方波的五次谐波。五次谐波。u13和和u5的合成波的合成波,显然更接近方波显然更接近方波1/5U1mu135u5本讲稿第二十五页，共五十页10.3 10.3 周期函数的频谱周期函数的频谱 周期函数展开成傅里叶级数，这样一种数学表周期函数展开成傅里叶级数，这样一种数学表示式虽然详尽准确表达了周期函数的分解结果，但示式虽然详尽准确表达了周期函数的分解结果，但往往不够直观。往往不够直观。为了表示一个周期函数分解为傅里叶级数后为了表示一个周期函数分解为傅里叶级数后包含哪些频率分量和各分量所占的包含哪些频率分量和各分量所占的“比重比重”，用，用长度与各次谐波振幅大小相对应的线
14、段，按频率长度与各次谐波振幅大小相对应的线段，按频率的高低把它们依次排列起来，就得到图形，这种的高低把它们依次排列起来，就得到图形，这种图形称图形称f(t)的频谱图，简称频谱。的频谱图，简称频谱。本讲稿第二十六页，共五十页tu(t)021134相位频谱相位频谱幅度频谱幅度频谱离散频谱，称线频谱。离散频谱，称线频谱。10.3 10.3 周期函数的频谱周期函数的频谱本讲稿第二十七页，共五十页10.4 10.4 对称波形周期函数的谐波分析对称波形周期函数的谐波分析谐波分析：指把一个周期函数分解为具有谐波分析：指把一个周期函数分解为具有一系列谐波的傅里叶级数一系列谐波的傅里叶级数偶函数偶函数：f(t)
15、=f(-t)特点：对称于纵轴。特点：对称于纵轴。奇函数奇函数：f(t)=-f(-t)特点：对称于原点。特点：对称于原点。bn=0a0=0,an=0含有sin项含有cos项本讲稿第二十八页，共五十页10.4 10.4 对称波形周期函数的谐波分析对称波形周期函数的谐波分析偶谐波函数偶谐波函数：f(t)=f(tT/2)特点：后半周是前半周的重复。特点：后半周是前半周的重复。a0=0 a偶=b偶=0a奇=b奇=0奇谐波函数奇谐波函数：f(t)=f(tT/2)特点：镜对称。特点：镜对称。掌握了波形掌握了波形与谐波成分之间与谐波成分之间的上述关系，无的上述关系，无疑给谐波分析的疑给谐波分析的步骤带来简化，
16、步骤带来简化，根据波形的对称根据波形的对称性会很快找出相性会很快找出相应的谐波。应的谐波。本讲稿第二十九页，共五十页根据各函数定义有：根据各函数定义有：计时起点变动，影响计时起点变动，影响 ，但不影响，但不影响Anm。1奇函数奇函数和和偶函数偶函数与与波形波形和和计时起点计时起点有关。有关。2.奇谐波函数奇谐波函数和和偶谐波函数偶谐波函数，只与，只与波形波形有关。有关。适当选择计时起点，有时会使函数的分解简化。适当选择计时起点，有时会使函数的分解简化。注意：注意：10.4 10.4 对称波形周期函数的谐波分析对称波形周期函数的谐波分析所以适当选择计时起点，会使函数的分解简化。所以适当选择计时起
17、点，会使函数的分解简化。本讲稿第三十页，共五十页10.5 10.5 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率定义式定义式:设设将该式代入电流有效值的定义式：将该式代入电流有效值的定义式：非正弦周期电流、电压的有效值非正弦周期电流、电压的有效值10.5.1本讲稿第三十一页，共五十页电工和电子技术的定义式：电工和电子技术的定义式：数学角度给出的定义式：数学角度给出的定义式：即非正弦周期函数的即非正弦周期函数的直流分量直流分量非正弦周期电流、电压的平均值非正弦周期电流、电压的平均值10.5.2例例：设正弦电流：设正弦电流 ，求其平均值。，求其平均值。即即正弦量的平均值，指取绝对值后的平均值。
18、正弦量的平均值，指取绝对值后的平均值。10.5 10.5 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率本讲稿第三十二页，共五十页10.5 10.5 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率例例：测电阻电压 矩形波电源 磁电系电压表磁电系电压表测出的是电压测出的是电压u(t)的直流分量。的直流分量。所以读数为零。所以读数为零。电磁系电压表电磁系电压表测出的是电压测出的是电压u(t)的有效值的有效值U，故读数为故读数为100 V解：解：本讲稿第三十三页，共五十页所以整流式电压表的读数为：所以整流式电压表的读数为：整流式电压表整流式电压表测出的是测出的是电压电压u(t)在表内在表内经整流
19、经整流后的电压的有效值后的电压的有效值U U。整流电压整流电压|u(t)|的平均值的平均值Uav10.5 10.5 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率本讲稿第三十四页，共五十页非正弦周期电流电路的平均功率非正弦周期电流电路的平均功率10.5.3任意一端口的瞬时功率（吸收）为任意一端口的瞬时功率（吸收）为由平均功率的定义：由平均功率的定义：本讲稿第三十五页，共五十页根据下列三角函数积分的根据下列三角函数积分的恒等式：恒等式：m和和n为任意整数为任意整数10.5 10.5 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率本讲稿第三十六页，共五十页可以得到平均功率可以得到平均功率10.
20、5 10.5 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率式中式中Uk电压电压u的第的第k次谐波的有效值次谐波的有效值电压电压u的第的第k次谐波的初相与电流次谐波的初相与电流 i 的第的第k次谐波的初相之间的差。次谐波的初相之间的差。Ik电流电流i的第的第k次谐波的有效值次谐波的有效值定义非正弦周期电流电路的视在功率定义非正弦周期电流电路的视在功率本讲稿第三十七页，共五十页10.6 10.6 非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的分析计算一般步骤：非正弦周期电流电路的分析计算一般步骤：（1 1）将电路中的周期激励（）将电路中的周期激励（激励指电源的表激励指电源
21、的表示式示式）展开成傅里叶级数。）展开成傅里叶级数。即将激励分解为即将激励分解为直流和直流和各次谐波各次谐波即即一系列不同频率正弦量一系列不同频率正弦量；依准确度高低决定谐波的最高次数。依准确度高低决定谐波的最高次数。本讲稿第三十八页，共五十页（3 3）应用）应用叠加定理，把步骤叠加定理，把步骤(2)所计算出的结果化所计算出的结果化为瞬时表达式后进行相加（把表示不同频率正为瞬时表达式后进行相加（把表示不同频率正弦电流的相量直接相加是没有意义的），弦电流的相量直接相加是没有意义的），最终最终求得的响应是用时间函数表示的求得的响应是用时间函数表示的。(2)(2)分别求出电源电压或电流的恒定分量以及
22、分别求出电源电压或电流的恒定分量以及各次谐波分量单独作用时的响应。对恒定分各次谐波分量单独作用时的响应。对恒定分量，求解时把电容看作开路，量，求解时把电容看作开路，把电感看作短把电感看作短路。对各次谐波分量可以用相量法进行，但路。对各次谐波分量可以用相量法进行，但要要注意，感抗、容抗与频率有关注意，感抗、容抗与频率有关。10.6 10.6 非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算本讲稿第三十九页，共五十页10.6 10.6 非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算已知电路中：已知电路中：例例:f=50Hz，求，求i(t)和电流有效值和电流有效值I。解解:直流分量单独作用时的电路
23、：直流分量单独作用时的电路：us(t)LCi=?R 100.05H22.5F40VLCi(0)=0R直流电源时，直流电源时，短路，短路，C开路，因此开路，因此i(0)=0；本讲稿第四十页，共五十页10.6 10.6 非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算电压电压u(t)的基波（一次谐波）分量单独作用时：的基波（一次谐波）分量单独作用时：R相量模型相量模型LCR时域开路时域开路0.05H22.5F10本讲稿第四十一页，共五十页10.6 10.6 非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算R相量模型相量模型电压电压u(t)的三次谐波分量单独作用时：的三次谐波分量单独作用时：LCR时
24、域开路时域开路0.05H22.5F10本讲稿第四十二页，共五十页10.6 10.6 非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算R相量模型相量模型电压电压u(t)的五次谐波分量单独作用时：的五次谐波分量单独作用时：LCR时域开路时域开路0.05H22.5F10本讲稿第四十三页，共五十页10.6 10.6 非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算瞬时值式根据叠加定理可求得：瞬时值式根据叠加定理可求得：电流的有效值：电流的有效值：其中三次谐波电压、电流同相，说明电路在三其中三次谐波电压、电流同相，说明电路在三次谐波作用下发生了串联谐振。次谐波作用下发生了串联谐振。注意：注意：错误原因：
25、错误原因：不同频率的相不同频率的相量不能相加。量不能相加。本讲稿第四十四页，共五十页10.7 L10.7 L、C C元件构成的无源滤波器元件构成的无源滤波器代入代入例例:已知已知u(t),求求uR。本讲稿第四十五页，共五十页10.7 L10.7 L、C C元件构成的无源滤波器元件构成的无源滤波器 以上例题分析计算的结果可知，四次谐波以上例题分析计算的结果可知，四次谐波分量的幅值仅为直流分量的分量的幅值仅为直流分量的0.387，六次谐波，六次谐波分量电压幅值与直流分量的比值就更小，故可以分量电压幅值与直流分量的比值就更小，故可以忽略不计。全波整流输出电压忽略不计。全波整流输出电压u(t)经过经过
26、L、C组组成的滤波电路之后，负载电阻成的滤波电路之后，负载电阻R两端电压有效值为两端电压有效值为200.35 V，基本上接近于直流分量，也就是说，该，基本上接近于直流分量，也就是说，该滤波电路具有允许直流分量（零次谐波）通过而滤波电路具有允许直流分量（零次谐波）通过而阻止高次谐波通过的功能，习惯上称它为阻止高次谐波通过的功能，习惯上称它为低通滤低通滤波器波器。本讲稿第四十六页，共五十页 利用电感随着谐波频率的升高感抗值增大，电容随着谐利用电感随着谐波频率的升高感抗值增大，电容随着谐波频率的升高容抗值减小这一特点，可以将电感和电容组成波频率的升高容抗值减小这一特点，可以将电感和电容组成各种不同的
27、滤波电路，把电路接在输入和输出之间，让某些各种不同的滤波电路，把电路接在输入和输出之间，让某些需要的谐波通过而抑制某些不需要的谐波。滤波电路广泛地需要的谐波通过而抑制某些不需要的谐波。滤波电路广泛地运用在电子电路中，按其功能分为运用在电子电路中，按其功能分为低通滤波器低通滤波器、高通滤波器高通滤波器、带通滤波器带通滤波器和和带阻滤波器带阻滤波器。按其接线方式又分为。按其接线方式又分为T型型滤波器滤波器、型滤波器和型滤波器和型滤波器。型滤波器。10.7 L10.7 L、C C元件构成的无源滤波器元件构成的无源滤波器本讲稿第四十七页，共五十页 已知无源网络已知无源网络N的入端电压为的入端电压为 u
28、(t)=100 sin 314 t+50 sin(942 t-30)V，入端电流为入端电流为 i(t)=10 sin 314 t+1.755 sin(942 t+3)A，如果，如果N可以看作可以看作R、L、C串联电路，串联电路，试求：试求：（1）R、L、C的值；的值；（2）3的值；的值；（3）无源网络）无源网络N消耗的有功功率。消耗的有功功率。例例:解：解：（1）基波电压作用于网络时，电流与电基波电压作用于网络时，电流与电压同相位，故此时为压同相位，故此时为串联谐振串联谐振，即，即三次谐波电压作用于网络时，复阻抗的模：三次谐波电压作用于网络时，复阻抗的模：即：即：(1)(2)结合结合(2)式式结合结合(1)式式无无源源网网络络10.7 L10.7 L、C C元件构成的无源滤波器元件构成的无源滤波器本讲稿第四十八页，共五十页（2）三次谐波作用时的复阻抗三次谐波作用时的复阻抗（3）无源网络无源网络N消耗的有功功率消耗的有功功率也可以用另外的公式计算无源网络也可以用另外的公式计算无源网络N N消耗的有功功率。流入无源网络消耗的有功功率。流入无源网络N N的电流有效值为：的电流有效值为：本讲稿第四十九页，共五十页作业第一次:10-15,10-16(有效值、有功功率计算)第二次:10-20,10-21(含耦合电感或谐振的复杂非正弦周期电流电路计算)本讲稿第五十页，共五十页