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1、 统计物理学仅指玻尔兹曼统计与吉布斯统计。二者均为平衡态理论统计物理学仅指玻尔兹曼统计与吉布斯统计。二者均为平衡态理论.统计物理学是从物质微观结构和相互作用的认识出发，采用概率统计物理学是从物质微观结构和相互作用的认识出发，采用概率统计的方法来说明或预言由大量粒子组成的宏观物体的物理性质。按统计的方法来说明或预言由大量粒子组成的宏观物体的物理性质。按这种观点，分子动理论也应归于统计物理学的范畴。这种观点，分子动理论也应归于统计物理学的范畴。2.统计物理学统计物理学广义理解：广义理解：狭义理解：狭义理解：热物理学微观理论热物理学微观理论分子动理学理论分子动理学理论统计物理学统计物理学非平衡态统计
2、非平衡态统计第1页，共25页，编辑于2022年，星期二 由于微观模型细致程度不同，理论的近似程度也就不同，对于同由于微观模型细致程度不同，理论的近似程度也就不同，对于同一问题可给出不同理论深度的解释。微观模型考虑得越细致，越接近一问题可给出不同理论深度的解释。微观模型考虑得越细致，越接近真实，数学处理也越复杂。真实，数学处理也越复杂。气体分子动理论在处理复杂的非平衡态系统时，都要加上气体分子动理论在处理复杂的非平衡态系统时，都要加上一些近似假设。一些近似假设。对于初学者，重点应掌握基本物理概念、处理问题的物理思想对于初学者，重点应掌握基本物理概念、处理问题的物理思想及基本物理方法，熟悉物理理论
3、的重要基础及基本物理方法，熟悉物理理论的重要基础 基本实验事实。基本实验事实。在某些问题（特别是一些非平衡态问题）中可暂不去追究理论在某些问题（特别是一些非平衡态问题）中可暂不去追究理论的十分严密与结果的十分精确。的十分严密与结果的十分精确。因为相当简单的例子中常常包因为相当简单的例子中常常包含基本物理方法中的精华，它常常能解决概念上的困难并能指出新的含基本物理方法中的精华，它常常能解决概念上的困难并能指出新的计算步骤及近似方法。计算步骤及近似方法。题题外外话话 第2页，共25页，编辑于2022年，星期二2.2 概率论的基本知识概率论的基本知识 宏观量宏观量宏观量宏观量 微观量的统计平均值微观
4、量的统计平均值微观量的统计平均值微观量的统计平均值 气体中速率为气体中速率为vi的分子的数目的分子的数目 平衡态时气体的平衡态时气体的P、T 完全确定不随时间改变意味着尽管任意时刻系完全确定不随时间改变意味着尽管任意时刻系统的微观运动状态具有纯粹的偶然性，但是气体分子按速率的统的微观运动状态具有纯粹的偶然性，但是气体分子按速率的平均分布平均分布却是却是稳定不变的。稳定不变的。即平衡态时气体分子虽仍然保持完全无序的状态，但在即平衡态时气体分子虽仍然保持完全无序的状态，但在整体上整体上整体上整体上却建立起一却建立起一种稳定的气体分子按速率的分布。种稳定的气体分子按速率的分布。这是由大量粒子组成的系
5、统服从统计规律性的物理起因。这是由大量粒子组成的系统服从统计规律性的物理起因。第3页，共25页，编辑于2022年，星期二 表现了这些偶然事表现了这些偶然事件整体上的必然联系。件整体上的必然联系。可见：求得这种完全由宏观条件确定下来的、稳定的按速率分可见：求得这种完全由宏观条件确定下来的、稳定的按速率分布的气体分子的数目布的气体分子的数目 非常有价值非常有价值 平衡态时气体的平衡态时气体的P、T 完全确定不随时间改变意味着尽管任意时刻系完全确定不随时间改变意味着尽管任意时刻系统的微观运动状态具有纯粹的偶然性，但是气体分子按速率的统的微观运动状态具有纯粹的偶然性，但是气体分子按速率的平均分布平均分
6、布却却是稳定不变的。是稳定不变的。即平衡态时气体分子虽仍然保持完全无序的状态，但在即平衡态时气体分子虽仍然保持完全无序的状态，但在整体上整体上整体上整体上却建立却建立起一种稳定的气体分子按速率的分布。起一种稳定的气体分子按速率的分布。这是由大量粒子组成的系统服从统计规律性的物理起因。这是由大量粒子组成的系统服从统计规律性的物理起因。统计规律是对大量偶然事件的整体起作用的规律统计规律是对大量偶然事件的整体起作用的规律统计规律是对大量偶然事件的整体起作用的规律统计规律是对大量偶然事件的整体起作用的规律，第4页，共25页，编辑于2022年，星期二2.2.1 伽尔顿板实验伽尔顿板实验 是概率统计最直观
7、的演示实验是概率统计最直观的演示实验 投入一个小球，投入一个小球，结果是偶然的。结果是偶然的。同时投入大量小球，同时投入大量小球，.各槽小球数目不同：各槽小球数目不同：.近入口处多，近入口处多，远入口处少。远入口处少。作曲线作曲线 Nir 表示实验结果。表示实验结果。重复以上实验，发现：重复以上实验，发现：小球数目较少时，所得曲线差异明显小球数目较少时，所得曲线差异明显 小球数目足够多时，所得曲线近似重合小球数目足够多时，所得曲线近似重合 大量小球整体按狭槽的分布遵从一定的统大量小球整体按狭槽的分布遵从一定的统计规律，由统计相关性决定计规律，由统计相关性决定 第5页，共25页，编辑于2022年
8、，星期二 对于这样的体系，统计规律所制约的稳定的联系是现象的本质对于这样的体系，统计规律所制约的稳定的联系是现象的本质和必然的联系。和必然的联系。说明：说明：统计规律是对大量偶然事件整体起作用的规律，表现了这些事统计规律是对大量偶然事件整体起作用的规律，表现了这些事统计规律是对大量偶然事件整体起作用的规律，表现了这些事统计规律是对大量偶然事件整体起作用的规律，表现了这些事物整体本质和必然的联系物整体本质和必然的联系物整体本质和必然的联系物整体本质和必然的联系。“个别事物的偶然性个别事物的偶然性”是相对于大量事物整体的统计规律而言的。是相对于大量事物整体的统计规律而言的。它不可能脱离由动力学规律
9、所它不可能脱离由动力学规律所决定的个别事件而存在。决定的个别事件而存在。统计规律是以动力学规律为基础的，统计规律是以动力学规律为基础的，每一个粒子的运动固然是由动力学规律所制约，但当体系中包每一个粒子的运动固然是由动力学规律所制约，但当体系中包 含的粒子数目极多时，就导致了在质上全新的运动形式的出含的粒子数目极多时，就导致了在质上全新的运动形式的出 现，运动形式发生了从量到质的飞跃。现，运动形式发生了从量到质的飞跃。这是这是“大数大数”中出现的新现象，其重要特点就是中出现的新现象，其重要特点就是在一定宏观条件下在一定宏观条件下在一定宏观条件下在一定宏观条件下的稳定性的稳定性的稳定性的稳定性，这
10、是由统计规律所制约的。，这是由统计规律所制约的。包含大数粒子的体系，作为整体看来，是与个别粒子本质上不同的包含大数粒子的体系，作为整体看来，是与个别粒子本质上不同的体系。体系。第6页，共25页，编辑于2022年，星期二 统计规律中永远伴随着涨落现象。统计规律中永远伴随着涨落现象。统计规律与涨落现象不可分，正反映了必然性与偶然性之统计规律与涨落现象不可分，正反映了必然性与偶然性之间的相互依存的辩证关系。间的相互依存的辩证关系。2.2.2 等概率性与概率的基本性质等概率性与概率的基本性质 一、概率的定义一、概率的定义 1.随机事件：随机事件：在一定条件下，如果某一现象或某一事件可能发生也可能不在一
11、定条件下，如果某一现象或某一事件可能发生也可能不发生，则称该事件为随机事件发生，则称该事件为随机事件随机变量：随机变量：某一偶然事件的发生与否，可以用一个描述该系统状态的力某一偶然事件的发生与否，可以用一个描述该系统状态的力学量学量u取确定的数值取确定的数值ui表示，则称变量表示，则称变量u为随机变量为随机变量离散的随机变量：离散的随机变量：u只能取分立的数值只能取分立的数值 连续的随机变量：连续的随机变量：u可取的数值连续可变可取的数值连续可变 第7页，共25页，编辑于2022年，星期二2.概率：概率：在一定的相同的条件下，在一系列可能发生的足够多的事件集合中，发在一定的相同的条件下，在一系
12、列可能发生的足够多的事件集合中，发生某一事件的生某一事件的机会机会机会机会或或可能性可能性可能性可能性。若一定条件下，做了若一定条件下，做了N次实验次实验(N)，其中得到的结果为，其中得到的结果为AL的次数的次数为为NL次，则此实验结果为次，则此实验结果为AL的概率为：的概率为：3.说明：说明：概率是表征统计规律的量概率是表征统计规律的量概率是表征统计规律的量概率是表征统计规律的量，只在研究一定条件下发生的，只在研究一定条件下发生的大量大量大量大量 偶然事件时才有意义。偶然事件时才有意义。定义式中以定义式中以N取极限表示取极限表示“大数大数”、“大量偶然事件大量偶然事件”第8页，共25页，编辑
13、于2022年，星期二 表明在一定条件下，事件表明在一定条件下，事件AL一定不会发生一定不会发生 称称AL为不可能事件为不可能事件 称称AL为必然事件为必然事件 表明在一定条件下，事件表明在一定条件下，事件AL一定发生一定发生 称称AL为偶然事件为偶然事件 表明在一定条件下，事件表明在一定条件下，事件AL或者发生或者不发生或者发生或者不发生 对于任意随机变量对于任意随机变量u，有有 概率不会是负的概率不会是负的 不相容事件（互斥事件）：不相容事件（互斥事件）：指在一定条件下，事件指在一定条件下，事件Ai 发生的同时，另一个事件发生的同时，另一个事件Aj 就不可就不可能再发生。能再发生。第9页，共
14、25页，编辑于2022年，星期二 归一化条件：归一化条件：在一定条件下，事件终究是要发生的。在一定条件下，事件终究是要发生的。归一化条件：归一化条件：在一定条件下，事件在一定条件下，事件A1、A2、AN 之一一定发生且之一一定发生且A1、A2、AN 互斥，互斥，则有：则有：注意：注意：归一化条件仅对互不相容事件成立。归一化条件仅对互不相容事件成立。第10页，共25页，编辑于2022年，星期二二、等概率性：二、等概率性：在没有理由说明哪一事件出现的概率更大些（或更小些）情况下，在没有理由说明哪一事件出现的概率更大些（或更小些）情况下，就假定每一事件出现的概率都应相等，这称为等概率性（原理）。就假
15、定每一事件出现的概率都应相等，这称为等概率性（原理）。如果对于系统各种可能的微观状态没有更多的认识，就可暂时如果对于系统各种可能的微观状态没有更多的认识，就可暂时假定一切微观状态出现的概率相等。假定一切微观状态出现的概率相等。统计物理实质上只包含等概率性原理一个基本假设统计物理实质上只包含等概率性原理一个基本假设统计物理实质上只包含等概率性原理一个基本假设统计物理实质上只包含等概率性原理一个基本假设：三、概率的基本性质：三、概率的基本性质：（一）概率相加法则：（一）概率相加法则：n 个互相排斥事件发生的总概率是每个事件发生的概率之和。个互相排斥事件发生的总概率是每个事件发生的概率之和。若若A1
16、发生的概率为发生的概率为PA1，A2发生的概率为发生的概率为PA2，A1、A2互斥互斥 则：发生则：发生A1、A2中任一事件的概率为中任一事件的概率为 第11页，共25页，编辑于2022年，星期二(二二)概率相乘法则：概率相乘法则：同时或依次发生的，互不相关（或相互统计独立）的事件发生的同时或依次发生的，互不相关（或相互统计独立）的事件发生的概率等于各个事件概率之乘积概率等于各个事件概率之乘积若若A1发生的概率为发生的概率为PA1，A2发生的概率为发生的概率为PA2，A1、A2相互独立相互独立 则：同时发生则：同时发生A1、A2事件的概率为事件的概率为 如果事件如果事件A1的发生与否与事件的发
17、生与否与事件A2是否发生无关，是否发生无关，即事件即事件A1是否已经发生对事件是否已经发生对事件A2的发生概率没有影响的发生概率没有影响 称事件称事件A1、A2相互独立。相互独立。推论：推论：n个独立事件个独立事件A1、A2、An同时发生的概率为：同时发生的概率为：举例举例 第12页，共25页，编辑于2022年，星期二 若骰子是刚性的，且每一面向上的概率都相等，都是（若骰子是刚性的，且每一面向上的概率都相等，都是（1/6），），把一个骰子连续掷两次，若骰子是刚性的，掷第二次出现的概把一个骰子连续掷两次，若骰子是刚性的，掷第二次出现的概率与第一次掷过与否，第一次哪一面向上都无关，我们就说连续率与
18、第一次掷过与否，第一次哪一面向上都无关，我们就说连续两次掷骰子是统计独立的。两次掷骰子是统计独立的。连续掷两次出现的花样为连续掷两次出现的花样为11，12，65，66共共36种。种。显然这显然这36种花样也是等概率的，故连续掷两次均出现种花样也是等概率的，故连续掷两次均出现“1”的概率是的概率是 第13页，共25页，编辑于2022年，星期二2.2.3 平均值及其运算法则平均值及其运算法则 一、平均值：一、平均值：是统计分布最直接的应用是统计分布最直接的应用 如：年龄以如：年龄以ui 表示，计算表示，计算N人的平均年龄人的平均年龄 ，则：，则：可采用如下方法操作：可采用如下方法操作：u1年龄有年
19、龄有N1人，人，u2年龄有年龄有N2人，人，则：，则：N1/N 是总的是总的N次测量中出现次测量中出现u1的百分比，的百分比，N2/N 是出现是出现u2的百的百 分比，即：分比，即：Ni/N 是总的是总的N次测量中出现次测量中出现ui的百分比的百分比即为即为ui出现的概率，则：出现的概率，则：第14页，共25页，编辑于2022年，星期二二、平均值运算法则：二、平均值运算法则：设设 f(u)是随机变量是随机变量 u 的函数，则：的函数，则：设设 f(u)、g(u)均为均为随机变量随机变量 u 的函数，则：的函数，则：若若c为常数，为常数，f(u)是随机变量是随机变量 u 的函数，则：的函数，则：
20、第15页，共25页，编辑于2022年，星期二 u、v统计独立，统计独立，若若f(u)是是u的函数，的函数，g(v)是是v的函数的函数;同时取同时取ur、vs的概率为的概率为Prs ,2.2.4 均方偏差均方偏差 1.偏差：偏差：一般地一般地 随机变量对平均值的偏离，即：随机变量对平均值的偏离，即：但均方偏差不为零。但均方偏差不为零。第16页，共25页，编辑于2022年，星期二2.均方偏差：均方偏差：3.相对方均根偏差相对方均根偏差 （涨落、散度、散差）（涨落、散度、散差）表示随机变量在其平均值附近的分散程度。表示随机变量在其平均值附近的分散程度。第17页，共25页，编辑于2022年，星期二例：
21、估算大气中空气分子数目的涨落例：估算大气中空气分子数目的涨落 标准状况下，大气数密度即洛施密特常数为：标准状况下，大气数密度即洛施密特常数为：则则1mm3中约有中约有 个分子个分子 在粒子可自由出入的某空间范围内的粒子数的相对涨落反比于系统在粒子可自由出入的某空间范围内的粒子数的相对涨落反比于系统中粒子数中粒子数N 的平方根，即：的平方根，即：故有相对涨落：故有相对涨落：则大气中空气分子数目的涨落为：则大气中空气分子数目的涨落为：所以：标准状况下所以：标准状况下1mm3体积的空气中，空气分子数目在体积的空气中，空气分子数目在 间涨落间涨落 第18页，共25页，编辑于2022年，星期二2.2.5
22、 概率分布函数概率分布函数 一、概率密度：一、概率密度：当随机变量当随机变量A取连续值取连续值Ar 时，对应各值的概率时，对应各值的概率Pr也是连续的。也是连续的。则在任意小的数值范围内，则在任意小的数值范围内，A可能取可能取多的值，对应着多的值，对应着多的多的Pr，无意义。无意义。此时有意义的是随机变量取此时有意义的是随机变量取 范围内的概率范围内的概率PA。当范围当范围A足够小时，足够小时，PAA。则：。则：称为随机变量在称为随机变量在A处的处的概率密度概率密度概率密度概率密度 又称概率密度分布函数，又称概率密度分布函数，归一化条件为：归一化条件为：积分遍及所有可能的积分遍及所有可能的A值
23、值 随机变量取随机变量取 范围值的范围值的概率概率概率概率为：为：表示在表示在表示在表示在d dA A区域内随机变量区域内随机变量区域内随机变量区域内随机变量A A的相对密集程度的相对密集程度的相对密集程度的相对密集程度 第19页，共25页，编辑于2022年，星期二二、举例二、举例打靶实验：打靶实验：（一）一维情况（一）一维情况 ，靶点在，靶点在 的数目的数目 ，靶点在，靶点在 的概率的概率 x方向的概率密度：方向的概率密度：表示了沿表示了沿x方向在方向在dx区域内靶点的相对密集区域内靶点的相对密集程度程度 第20页，共25页，编辑于2022年，星期二靶点沿靶点沿x方向的方向的概率密度概率密度
24、概率密度概率密度：f f(x x)d dx x 表示：表示：表示：表示：当当 x 0，以，以 N/（N x）为纵坐标，以为纵坐标，以 x 为横坐为横坐标，得到一条连续曲线标，得到一条连续曲线 f(x)x 。f(x)x曲线下方曲线下方xx+dx间的面积就表示靶点处间的面积就表示靶点处于于xx+dx 范围的概率范围的概率即：即：为靶点处于为靶点处于为靶点处于为靶点处于 x x1 1 到到到到 x x2 2 范围内的概率范围内的概率范围内的概率范围内的概率 归一化条件：归一化条件：靶点处于靶点处于靶点处于靶点处于x x 到到到到 x x+d dx x 范围内的概率范围内的概率范围内的概率范围内的概率
25、 第21页，共25页，编辑于2022年，星期二靶点沿靶点沿靶点沿靶点沿x x方向的概率密度方向的概率密度方向的概率密度方向的概率密度：靶点处于靶点处于靶点处于靶点处于x x x x+d dx x 范围内的概率为范围内的概率为范围内的概率为范围内的概率为f f(x x)d dx x同理可得：同理可得：沿沿沿沿y y方向的概率密度方向的概率密度方向的概率密度方向的概率密度：靶点处于靶点处于靶点处于靶点处于y y y y+d dy y 范围内的概率为范围内的概率为范围内的概率为范围内的概率为f f(y y)d dy y 沿沿沿沿z z方向的概率密度方向的概率密度方向的概率密度方向的概率密度：靶点处于
26、靶点处于靶点处于靶点处于z z z z+d dz z 范围内的概率为范围内的概率为范围内的概率为范围内的概率为f f(z z)d dz z问题问题 靶点同时处于靶点同时处于靶点同时处于靶点同时处于x x x x+d dx x，y y y y+d dy y 范围内的概率密度范围内的概率密度范围内的概率密度范围内的概率密度 f f(x x，y y)=？第22页，共25页，编辑于2022年，星期二（二）二维情况（二）二维情况靶点要处于靶点要处于 x x+dx 还要处于还要处于 y y+dy同时事件，同时事件，彼此独立彼此独立 由概率相乘法则：由概率相乘法则：靶点要处于靶点要处于 x x+dx,且且
27、y y+dy 的的面积内的概率为：面积内的概率为：称靶点在平面位置称靶点在平面位置x x+dx,y y+dy 范围的范围的概率概率概率概率 称称 为靶点沿平面位置的为靶点沿平面位置的概率密度分布函数概率密度分布函数概率密度分布函数概率密度分布函数 dxdy 表示这一区域的面积大小表示这一区域的面积大小 表示所选区域内靶点的相对密集程度表示所选区域内靶点的相对密集程度 靶点处于靶点处于x1 x2及及y1 y2 范围内的概率为范围内的概率为 三维情况类推三维情况类推 第23页，共25页，编辑于2022年，星期二三、连续随机变量的统计平均值：三、连续随机变量的统计平均值：离散随机变量的统计平均值：离
28、散随机变量的统计平均值：某力学量某力学量u(x)是是x的函数，的函数，u 的概率密度函数为的概率密度函数为 f(x)，则：，则：是是x取值在取值在 x x+dx 范围的概率范围的概率 有：有：u(x)的统计平均值为：的统计平均值为：表示表示x 出现在区间出现在区间x x+dx 的次数的次数 三维情况类推三维情况类推 如：如：若变量若变量x的概率密度函数为的概率密度函数为 f(x)，则则x的平均值为的平均值为:x 的某一函数的某一函数F（x）的）的平均值为平均值为:同理，二维时：同理，二维时：第24页，共25页，编辑于2022年，星期二 被断定为必然的东西，是由纯粹的偶然性构成的；而所被断定为必然的东西，是由纯粹的偶然性构成的；而所被断定为必然的东西，是由纯粹的偶然性构成的；而所被断定为必然的东西，是由纯粹的偶然性构成的；而所谓偶然的东西，是一种有必然性隐藏在里面的形式。谓偶然的东西，是一种有必然性隐藏在里面的形式。谓偶然的东西，是一种有必然性隐藏在里面的形式。谓偶然的东西，是一种有必然性隐藏在里面的形式。恩格斯恩格斯恩格斯恩格斯第25页，共25页，编辑于2022年，星期二