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1、第六章第六章高斯投影高斯投影及其计算及其计算中国矿业大学环境与测绘学院中国矿业大学环境与测绘学院中国矿业大学环境与测绘学院中国矿业大学环境与测绘学院 应用大地测量学应用大地测量学应用大地测量学应用大地测量学 第六章第六章高斯投影及其计算概述高斯投影及其计算概述1、椭球面上计算复杂；、椭球面上计算复杂；2、椭球面上表示点位的经度、纬度大地线长、大地、椭球面上表示点位的经度、纬度大地线长、大地方位角等对大比例尺测图不适应；方位角等对大比例尺测图不适应；3、为了测绘地形图和计算的方便，需通过地图投影、为了测绘地形图和计算的方便，需通过地图投影的方法将椭球面上的元素化算到平面上；的方法将椭球面上的元素
2、化算到平面上；4、本章主要介绍正形投影的特性以及高斯投影建立、本章主要介绍正形投影的特性以及高斯投影建立平面直角坐标系的方法、观测元素的化算、高斯平面直角坐标系的方法、观测元素的化算、高斯投影坐标计算投影坐标计算。第六章第六章高斯投影及其计算高斯投影及其计算第一节第一节地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质第二节第二节高斯投影与国家平面直角坐标系（概念）高斯投影与国家平面直角坐标系（概念）第三节第三节高斯投影坐标计算（重点）高斯投影坐标计算（重点）第四节第四节椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面（重点）椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面（重点）第五节第五节高斯投影坐标换带计
3、算（重点）高斯投影坐标换带计算（重点）第六节第六节通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介应用大地测量学应用大地测量学6.1.1地图投影及其变形地图投影及其变形6.1.2正形投影特性正形投影特性6.1.3正形投影的一般条件正形投影的一般条件6.1.4正形投影的一般公式正形投影的一般公式6.1 6.1 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质应用大地测量学应用大地测量学6.1.1地图投影及其变形地图投影及其变形6.1.2正形投影特性正形投影特性6.1.3正形投影的一般条件正形投影的一般条件6.1.4正形投影的一般公式正形投影的一般公式6.1 6.1 地图投
4、影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质6.1.1 6.1.1 地图投影及其变形地图投影及其变形应用大地测量学应用大地测量学（一）几何投影及其变形（一）几何投影及其变形（一）几何投影及其变形（一）几何投影及其变形 几几何何投投影影又又叫叫透透视视投投影影，有有中中心心投投影影、平平行行投投影影、垂直投影等。特点：有几何意义，有投影函数。垂直投影等。特点：有几何意义，有投影函数。数数学学投投影影是是数数学学的的投投影影，建建立立椭椭球球面面大大地地坐坐标标（B B、L L）与与投投影影平平面面上上对对应应的的坐坐标标（x x、y y）之之间间的的函函数数关关系。无几何意义，是一种数学变换。
5、系。无几何意义，是一种数学变换。x=F1x=F1（B B、L L）y=F2y=F2（B B、L L）（6-16-1）上上式式表表示示椭椭球球面面上上一一点点与与投投影影面面上上对对应应点点之之间间坐坐标标的的解析关系解析关系，称为，称为坐标投影公式坐标投影公式，函数，函数F1F1、F2F2称为称为投影函数投影函数。给定不同的具体条件，得出不同种类的投影公式。给定不同的具体条件，得出不同种类的投影公式。应用大地测量学应用大地测量学几何投影几何投影-垂直投影垂直投影6.1.1 6.1.1 地图投影及其变形地图投影及其变形应用大地测量学应用大地测量学几何投影几何投影-中心投影中心投影6.1.1 6.
6、1.1 地图投影及其变形地图投影及其变形应用大地测量学应用大地测量学（二）投影变形（二）投影变形 投影变形不可避免。有投影变形不可避免。有角度角度变形、变形、长度长度变形和变形和面积面积变变形三种。根据实际需要选择某种变形为零或使其减小到某形三种。根据实际需要选择某种变形为零或使其减小到某一适当程度。如高斯投影，保持角度不变形，但长度和面一适当程度。如高斯投影，保持角度不变形，但长度和面积有变形。积有变形。6.1.1 6.1.1 地图投影及其变形地图投影及其变形应用大地测量学应用大地测量学（三）投影长度比与长度变形（三）投影长度比与长度变形（三）投影长度比与长度变形（三）投影长度比与长度变形
7、投影长度比投影长度比投影面上无限小线段投影面上无限小线段 dsds与椭球面上与椭球面上该线段实际长度该线段实际长度 dSdS之比，以之比，以m m表示，表示，m=ds/dSm=ds/dS。一般。一般m m与点与点位以及与方向有关。位以及与方向有关。长度变形长度变形 长度比与长度比与1 1之差。之差。v=m-1v=m-1 v 0 v 0 时，投影后长度将增大，时，投影后长度将增大，v 0v 0时，投影后长时，投影后长度缩短。度缩短。6.1.1 6.1.1 地图投影及其变形地图投影及其变形应用大地测量学应用大地测量学（四）主方向、变形椭圆与变形指标（四）主方向、变形椭圆与变形指标（四）主方向、变形
8、椭圆与变形指标（四）主方向、变形椭圆与变形指标 主方向主方向 若将地球椭球面上过一点点两个互为正交的方向投影若将地球椭球面上过一点点两个互为正交的方向投影到平面上，一般不能再保持正交，但其中总有一组椭球面上正交的方到平面上，一般不能再保持正交，但其中总有一组椭球面上正交的方向投影后保持正交，这两个方向称为主方向。向投影后保持正交，这两个方向称为主方向。主方向投影后具有主方向投影后具有最大和最小长度比最大和最小长度比，即，长度比极值所在地方，即，长度比极值所在地方向就是主方向。向就是主方向。变形指标变形指标：主方向上投影长度比：主方向上投影长度比a a和和b b叫变形指标。叫变形指标。若若a=b
9、a=b，则为等角投影，既投影后长度比不随方向而变化。，则为等角投影，既投影后长度比不随方向而变化。若若ab=1ab=1，则为等面积投影。，则为等面积投影。椭球面上的微分圆椭球面上的微分圆：投影平面上对应为微分椭圆投影平面上对应为微分椭圆：6.1.1 6.1.1 地图投影及其变形地图投影及其变形应用大地测量学应用大地测量学（五）地图投影的分类（五）地图投影的分类（五）地图投影的分类（五）地图投影的分类等角投影等角投影投影后角度不变，保持小范围内图形相似。投影后角度不变，保持小范围内图形相似。等面积投影等面积投影用于某些专题地图，投影后面积不变。用于某些专题地图，投影后面积不变。平面投影平面投影投
10、影平面与椭球面在某一点相切，按数学投影建立函数关系。投影平面与椭球面在某一点相切，按数学投影建立函数关系。圆圆锥锥面面投投影影圆圆锥锥面面与与椭椭球球体体在在某某一一纬纬圈圈相相切切或或某某两两纬纬圈圈相相割割，按按数数学学投影。投影。圆圆柱柱面面投投影影圆圆柱柱面面或或椭椭圆圆柱柱面面与与椭椭球球面面在在赤赤道道或或某某一一子子午午面面上上相相切切，按数字投影。按数字投影。正轴投影正轴投影圆柱面中心轴与椭球短轴重合，圆柱面与赤道相切。圆柱面中心轴与椭球短轴重合，圆柱面与赤道相切。横轴投影横轴投影圆柱面中心轴与椭球长轴重合，圆柱面与某一子午圈相切。圆柱面中心轴与椭球长轴重合，圆柱面与某一子午圈
11、相切。斜轴投影斜轴投影圆柱面中心轴与椭球长、短轴都不重合，位于两者之间。圆柱面中心轴与椭球长、短轴都不重合，位于两者之间。6.1.1 6.1.1 地图投影及其变形地图投影及其变形应用大地测量学应用大地测量学6.1.1地图投影及其变形地图投影及其变形6.1.2正形投影特性正形投影特性6.1.3正形投影的一般条件正形投影的一般条件6.1.4正形投影的一般公式正形投影的一般公式6.1 6.1 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质6.1.2 6.1.2 正形投影特性正形投影特性应用大地测量学应用大地测量学 1 1、任任一一点点上上，投投影影长长度度比比m m为为一一常常数数，不不随随方
12、方向向而而变变，a=ba=b。长度比。长度比仅与点位置仅与点位置有关，不同点投影有不同的长度比。有关，不同点投影有不同的长度比。2 2、投投影影后后角角度度不不变变形形。又又叫叫保保角角映映射射或或叫叫正正形形投投影影。条条件是在微小范围内成立。正形投影又叫等角投影。件是在微小范围内成立。正形投影又叫等角投影。采采用用正正形形投投影影，在在有有限限范范围围内内，使使地地形形图图上上的的图图形形与与椭椭球面上的相应图形保持相似。球面上的相应图形保持相似。应用大地测量学应用大地测量学6.1.1地图投影及其变形地图投影及其变形6.1.2正形投影特性正形投影特性6.1.3正形投影的一般条件正形投影的一
13、般条件6.1.4正形投影的一般公式正形投影的一般公式6.1 6.1 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质6.1.3 6.1.3 正形投影的一般条件正形投影的一般条件应用大地测量学应用大地测量学正形投影必要和充分的条件是满足正形投影必要和充分的条件是满足柯西柯西黎曼方程黎曼方程：推导过程：由推导过程：由长度比的定义长度比的定义顾及顾及正形投影的特性正形投影的特性导出。导出。应用大地测量学应用大地测量学正形投影的一般条件的推导过程正形投影的一般条件的推导过程6.1.3 6.1.3 正形投影的一般条件正形投影的一般条件应用大地测量学应用大地测量学其推证步骤为：其推证步骤为：1 1、从
14、长度比表达式出发、从长度比表达式出发 ，求出，求出m m2 2与与dxdx2 2，dydy2 2和和dBdB2 2，dldl2 2关系式：关系式：2 2、引入、引入等量纬度等量纬度q q，将，将x x、y y表为表为q q、l l的函数；的函数；3 3、对、对 x=f1x=f1（q q，l l），），y=f2y=f2（q q，l l）取全微分，引入符号）取全微分，引入符号E E、F F、G G；4 4、根据长度比、根据长度比m m与方向与方向A A无关，无关，F=0F=0，E=GE=G；5 5、由、由E=GE=G、F=0F=0，得一般条件：，得一般条件：6.1.3 6.1.3 正形投影的一般条
15、件正形投影的一般条件应用大地测量学应用大地测量学6.1.1地图投影及其变形地图投影及其变形6.1.2正形投影特性正形投影特性6.1.3正形投影的一般条件正形投影的一般条件6.1.4正形投影的一般公式正形投影的一般公式6.1 6.1 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质6.1.4 6.1.4 正形投影的一般公式正形投影的一般公式应用大地测量学应用大地测量学 根据复变函数理论，下列复变函数满足柯西根据复变函数理论，下列复变函数满足柯西(Cauchy)(Cauchy)黎黎曼曼(Riemann)(Riemann)条件，式中，条件，式中，f f代表任意代表任意解析函数解析函数。通过证明，
16、上述复变函数能满足正形投影的必要和充分条通过证明，上述复变函数能满足正形投影的必要和充分条件。也就是说件。也就是说能满足上述复变函数的函数能满足上述复变函数的函数f f，都能满足正形投，都能满足正形投影条件影条件。根据该式可以导出高斯投影坐标计算公式。根据该式可以导出高斯投影坐标计算公式。第六章第六章高斯投影及其计算高斯投影及其计算第一节第一节地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质第二节第二节高斯投影与国家平面直角坐标系（概念）高斯投影与国家平面直角坐标系（概念）第三节第三节高斯投影坐标计算（重点）高斯投影坐标计算（重点）第四节第四节椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面（重点）
17、椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面（重点）第五节第五节高斯投影坐标换带计算（重点）高斯投影坐标换带计算（重点）第六节第六节通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介应用大地测量学应用大地测量学6.2.1高斯投影的基本概念高斯投影的基本概念6.2.2高斯投影的长度比和长度变形高斯投影的长度比和长度变形6.2.3高斯投影的分带高斯投影的分带6.2.4高斯投影的计算内容高斯投影的计算内容6.2 6.2 高斯投影与国家平面直角坐标系高斯投影与国家平面直角坐标系应用大地测量学应用大地测量学6.2.1高斯投影的基本概念高斯投影的基本概念6.2.2高斯投影的长度比和长度变形高斯
18、投影的长度比和长度变形6.2.3高斯投影的分带高斯投影的分带6.2.4高斯投影的计算内容高斯投影的计算内容6.2 6.2 高斯投影与国家平面直角坐标系高斯投影与国家平面直角坐标系6.2.1 6.2.1 高斯投影的基本概念高斯投影的基本概念应用大地测量学应用大地测量学高斯投影又称高斯投影又称横轴横轴椭圆柱椭圆柱等角等角投影。在高斯投影投影。在高斯投影平面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，分别为平面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，分别为高斯平面直角坐标系的高斯平面直角坐标系的X轴和轴和Y轴。轴。应用大地测量学应用大地测量学高斯投影的条件：高斯投影的条件：高斯投影的条件：高斯投影的条件：（1
19、1）投影后角度不产生变形，满足正形投影要求；）投影后角度不产生变形，满足正形投影要求；（2 2）中央子午线投影后是一条直线；）中央子午线投影后是一条直线；（3 3）中央子午线投影后长度不变，其投影长度比恒等）中央子午线投影后长度不变，其投影长度比恒等于于1 1。（4 4）高斯投影除了在中央子午线上没有长度变形外，）高斯投影除了在中央子午线上没有长度变形外，不在中央子午线上的各点，其长度比都大于不在中央子午线上的各点，其长度比都大于1 1，且离开，且离开中央子午线愈远，长度变形愈大。中央子午线愈远，长度变形愈大。6.2.1 6.2.1 高斯投影的基本概念高斯投影的基本概念应用大地测量学应用大地测
20、量学6.2.1高斯投影的基本概念高斯投影的基本概念6.2.2高斯投影的长度比和长度变形高斯投影的长度比和长度变形6.2.3高斯投影的分带高斯投影的分带6.2.4高斯投影的计算内容高斯投影的计算内容6.2 6.2 高斯投影与国家平面直角坐标系高斯投影与国家平面直角坐标系6.2.2 6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形高斯投影的长度比和长度变形应用大地测量学应用大地测量学1 1、用大地坐标表示的高斯投影长度比、用大地坐标表示的高斯投影长度比m m 式中：式中：2 2、用平面坐标表示的高斯投影长度比、用平面坐标表示的高斯投影长度比m m式中式中y y为投影点的为投影点的横坐标横坐标，R R为该点处
21、椭球为该点处椭球平均曲率半径平均曲率半径。应用大地测量学应用大地测量学3 3、长度变形、长度变形m-1m-1与横坐标与横坐标y y的关系的关系y/（km）1020304050100150200250300长度变长度变形形m-1m-11/8100001/2020001/900001/500001/320001/80001/35001/20001/13001/9006.2.2 6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形高斯投影的长度比和长度变形应用大地测量学应用大地测量学6.2.1高斯投影的基本概念高斯投影的基本概念6.2.2高斯投影的长度比和长度变形高斯投影的长度比和长度变形6.2.3高斯投影的分带
22、高斯投影的分带6.2.4高斯投影的计算内容高斯投影的计算内容6.2 6.2 高斯投影与国家平面直角坐标系高斯投影与国家平面直角坐标系6.2.3 6.2.3 高斯投影的分带高斯投影的分带应用大地测量学应用大地测量学 为限制长度投影变形，采取分带投影。分带有为限制长度投影变形，采取分带投影。分带有6 6度分带和度分带和3 3度分带两种方度分带两种方法。法。应用大地测量学应用大地测量学6 6带带号带带号N N和中央子午线经度和中央子午线经度 L LN N的关系式：的关系式：LN=6N-3LN=6N-3LN=6N-3LN=6N-33 3带带号带带号n n和中央子午线经度和中央子午线经度 LnLn的关系
23、式：的关系式：Ln=3nLn=3nLn=3nLn=3n6 6带与带与3 3带带号之间的关系为带带号之间的关系为:n=2N-1n=2N-1n=2N-1n=2N-1 国家统一坐标国家统一坐标的表示方法：的表示方法：X X坐标为正，坐标为正，Y Y坐标加坐标加500km500km后前面冠以带号。如在后前面冠以带号。如在3939带中带中Y Y坐标自然值分别为坐标自然值分别为12345.67812345.678和和-12345.678m-12345.678m，国家统一坐标分别为，国家统一坐标分别为39512345.67839512345.678和和39487654.322m39487654.322m。但
24、在坐标计算中应。但在坐标计算中应去掉带去掉带号号，减去减去500km500km，恢复坐标自然值。，恢复坐标自然值。6.2.3 6.2.3 高斯投影的分带高斯投影的分带应用大地测量学应用大地测量学6.2.1高斯投影的基本概念高斯投影的基本概念6.2.2高斯投影的长度比和长度变形高斯投影的长度比和长度变形6.2.3高斯投影的分带高斯投影的分带6.2.4高斯投影的计算内容高斯投影的计算内容6.2 6.2 高斯投影与国家平面直角坐标系高斯投影与国家平面直角坐标系6.2.4 6.2.4 高斯投影的计算内容高斯投影的计算内容应用大地测量学应用大地测量学 1 1、由椭球面上各点大地坐标（、由椭球面上各点大地
25、坐标（B B，L L）求解各点高）求解各点高斯平面坐标（斯平面坐标（x x，y y）：先在椭球面上解算球面三角形，：先在椭球面上解算球面三角形，推算各边大地方位角，解算各点大地坐标，然后求解推算各边大地方位角，解算各点大地坐标，然后求解各点的高斯平面坐标。（计算工作量大）各点的高斯平面坐标。（计算工作量大）2 2、将将椭椭球球面面上上起起算算元元素素和和观观测测元元素素归归算算至至高高斯斯投投影影平平面面，然然后后解解算算平平面面三三角角形形，推推算算各各边边坐坐标标方方位位角角，在平面上进行平差计算，求解各点的平面直角坐标。在平面上进行平差计算，求解各点的平面直角坐标。应用大地测量学应用大地
26、测量学第二种方法的具体推算内容如下第二种方法的具体推算内容如下:1 1、将、将起算点起算点的的大地坐标大地坐标（B1B1，L1L1）换算为）换算为高斯平面坐标高斯平面坐标（x1x1，y1y1）高斯高斯投影坐标计算。投影坐标计算。2 2、将、将起算边起算边的的大地方位角大地方位角A12A12改换为改换为平面坐标方位角平面坐标方位角T12T12；T12=A12-+12 T12=A12-+12 式中，式中，为子午线收敛角，为子午线收敛角，1212为方向改正。为方向改正。3 3、将、将起算边起算边的的大地线长度大地线长度S12S12归算为归算为高斯平面上的直线长度高斯平面上的直线长度D12D12：D1
27、2=S12+S D12=S12+S 式中式中S S为为距离改正距离改正。4 4、对于椭球面上三角网的、对于椭球面上三角网的各观测方向和观测边长各观测方向和观测边长分别进行方向改正和距离分别进行方向改正和距离改正，归算为高斯平面上的直线方向和直线距离。组成平面三角网，平差计改正，归算为高斯平面上的直线方向和直线距离。组成平面三角网，平差计算，推求各控制点的平面直角坐标。算，推求各控制点的平面直角坐标。6.2.4 6.2.4 高斯投影的计算内容高斯投影的计算内容应用大地测量学应用大地测量学高斯投影坐标计算、平面子午线收敛角计算、方向改正计高斯投影坐标计算、平面子午线收敛角计算、方向改正计算、距离改
28、正计算，统称为高斯投影计算。算、距离改正计算，统称为高斯投影计算。556.2.4 6.2.4 高斯投影的计算内容高斯投影的计算内容第六章第六章高斯投影及其计算高斯投影及其计算第一节第一节地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质第二节第二节高斯投影与国家平面直角坐标系（概念）高斯投影与国家平面直角坐标系（概念）第三节第三节高斯投影坐标计算（重点）高斯投影坐标计算（重点）第四节第四节椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面（重点）椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面（重点）第五节第五节高斯投影坐标换带计算（重点）高斯投影坐标换带计算（重点）第六节第六节通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介
29、通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介6.3 6.3 高斯投影坐标计算高斯投影坐标计算应用大地测量学应用大地测量学高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算由（由（B B，L L）求（）求（x x，y y）高斯投影坐标反算高斯投影坐标反算由（由（x x，y y）求（）求（B B，L L）6.3 6.3 高斯投影坐标计算高斯投影坐标计算应用大地测量学应用大地测量学6.3.1高斯投影坐标正算公式高斯投影坐标正算公式6.3.2高斯投影坐标反算公式高斯投影坐标反算公式6.3.3高斯投影坐标正算的数值公式高斯投影坐标正算的数值公式6.3.4高斯投影坐标反算的迭代计算公式高斯投影坐标反算的迭代计算公式6.3 6.3 高
30、斯投影坐标计算高斯投影坐标计算应用大地测量学应用大地测量学6.3.1高斯投影坐标正算公式高斯投影坐标正算公式6.3.2高斯投影坐标反算公式高斯投影坐标反算公式6.3.3高斯投影坐标正算的数值公式高斯投影坐标正算的数值公式6.3.4高斯投影坐标反算的迭代计算公式高斯投影坐标反算的迭代计算公式6.3.1 6.3.1 高斯投影坐标正算公式高斯投影坐标正算公式应用大地测量学应用大地测量学 (6-26)(6-26)式中，式中，X X为由赤道至纬度为由赤道至纬度B B的子午线弧长，的子午线弧长，为计算点为计算点P P点与中央子午线点与中央子午线的经差。的经差。N N N N为卯酉圈曲率半径，为卯酉圈曲率半
31、径，t=tanBt=tanB，=ecosB=ecosB。L-L0L-L0若以度为单位，则若以度为单位，则=57.295779513=57.295779513；L-L0L-L0若以分为单位，则若以分为单位，则=3437.7467708;=3437.7467708;L-L0L-L0若以秒为单位，则若以秒为单位，则=206264.80625=206264.80625。应用大地测量学应用大地测量学推证过程：推证过程：推证过程：推证过程：1 1、高斯投影坐标正算函数式、高斯投影坐标正算函数式2 2、根据正形投影的一般公式、根据正形投影的一般公式 x+iy=fx+iy=f（q+ilq+il）以及高斯投影的
32、条件推）以及高斯投影的条件推导正算公式，可以将一般公式在导正算公式，可以将一般公式在q q处展为处展为il il 的台劳级数。的台劳级数。3 3、根据中央子午线长度比、根据中央子午线长度比 m=1m=1，有，有 4 4、由、由 求各阶导数求各阶导数5 5、将各阶导数代入上式得最后正算公式。、将各阶导数代入上式得最后正算公式。26.3.1 6.3.1 高斯投影坐标正算公式高斯投影坐标正算公式 （B B，L L）计算（）计算（x x，y y）正算公式中子午弧长）正算公式中子午弧长X X的计算的计算（见本书（见本书151151页公式页公式5-415-41）6.3 6.3 高斯投影坐标计算高斯投影坐标
33、计算应用大地测量学应用大地测量学6.3.1高斯投影坐标正算公式高斯投影坐标正算公式6.3.2高斯投影坐标反算公式高斯投影坐标反算公式6.3.3高斯投影坐标正算的数值公式高斯投影坐标正算的数值公式6.3.4高斯投影坐标反算的迭代计算公式高斯投影坐标反算的迭代计算公式6.3.2 6.3.2 高斯投影坐标反算公式高斯投影坐标反算公式应用大地测量学应用大地测量学 (6-34)(6-34)(6-34)(6-34)式中，带下标式中，带下标f的各变量为的各变量为f点点（又叫（又叫底点底点）的有关变量，如）的有关变量，如分别为底点纬度，子午圈半径，分别为底点纬度，子午圈半径，卯酉圈半径等。卯酉圈半径等。Bf可
34、根据子午弧长公式，由可根据子午弧长公式，由x=X反算得到。反算得到。应用大地测量学应用大地测量学反算推证过程：反算推证过程：1 1、将正形投影公式写成反函数形式、将正形投影公式写成反函数形式 2 2、在、在f f点（点（B Bf f，0 0）将上式展为）将上式展为iyiy的台劳级数的台劳级数 f f点的坐标为（点的坐标为（x+i0 x+i0）对应大地坐标为（）对应大地坐标为（B Bf f，0 0）3 3、对于、对于f f点，点，F F（x x）=q=q，即，即(F(x)(F(x)f f=q=qf f ，q qf f为为f f点等量纬度。点等量纬度。4 4、求各阶导数并代回上式得：、求各阶导数并
35、代回上式得：5 5、将、将q q、q qf f变为变为B-BB-Bf f由由B=B=（q q）在）在q qf f处展为台劳级数，由等量纬度处展为台劳级数，由等量纬度q q与与B B的微分公式求得各的微分公式求得各系数，得系数，得B B的计算公式和的计算公式和l l的计算公式。的计算公式。6.3.2 6.3.2 高斯投影坐标反算公式高斯投影坐标反算公式6.3 6.3 高斯投影坐标计算高斯投影坐标计算应用大地测量学应用大地测量学6.3.1高斯投影坐标正算公式高斯投影坐标正算公式6.3.2高斯投影坐标反算公式高斯投影坐标反算公式6.3.3高斯投影坐标正算的数值公式高斯投影坐标正算的数值公式6.3.4
36、高斯投影坐标反算的迭代计算公式高斯投影坐标反算的迭代计算公式6.3.3 6.3.3 高斯投影坐标正算的数值公式高斯投影坐标正算的数值公式应用大地测量学应用大地测量学代代克拉索夫斯基克拉索夫斯基椭球参数得椭球参数得 公式（公式（6-366-36）（）（6-376-37）代代19751975年国际椭球年国际椭球参数得：参数得：公式（公式（6-386-38）（）（6-396-39）6.3 6.3 高斯投影坐标计算高斯投影坐标计算应用大地测量学应用大地测量学6.3.1高斯投影坐标正算公式高斯投影坐标正算公式6.3.2高斯投影坐标反算公式高斯投影坐标反算公式6.3.3高斯投影坐标正算的数值公式高斯投影坐
37、标正算的数值公式6.3.4高斯投影坐标反算的迭代计算公式高斯投影坐标反算的迭代计算公式6.3.4 6.3.4 高斯投影坐标反算的迭代高斯投影坐标反算的迭代计算公式计算公式应用大地测量学应用大地测量学迭代计算公式：迭代计算公式：（6-446-44）其中迭代初始值：其中迭代初始值：（6-456-45）迭代停止限差：迭代停止限差：（6-466-46）第六章第六章高斯投影及其计算高斯投影及其计算第一节第一节地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质第二节第二节高斯投影与国家平面直角坐标系（概念）高斯投影与国家平面直角坐标系（概念）第三节第三节高斯投影坐标计算（重点）高斯投影坐标计算（重点）第
38、四节第四节椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面（重点）椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面（重点）第五节第五节高斯投影坐标换带计算（重点）高斯投影坐标换带计算（重点）第六节第六节通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介6.4 6.4 椭球面上的方向和长度归算椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面至高斯投影平面应用大地测量学应用大地测量学6.4.1平面子午线收敛角的计算平面子午线收敛角的计算6.4.2方向改正计算方向改正计算6.4.3距离改正计算距离改正计算6.4 6.4 椭球面上的方向和长度归算椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面至高斯投影平面应用大地测量学应
39、用大地测量学6.4.1平面子午线收敛角的计算平面子午线收敛角的计算6.4.2方向改正计算方向改正计算6.4.3距离改正计算距离改正计算6.4.1 6.4.1 平面子午线收敛角的计算平面子午线收敛角的计算应用大地测量学应用大地测量学1 1 1 1、由大地坐标计算平面子午线收敛角、由大地坐标计算平面子午线收敛角、由大地坐标计算平面子午线收敛角、由大地坐标计算平面子午线收敛角6.4.1 6.4.1 平面子午线收敛角的计算平面子午线收敛角的计算应用大地测量学应用大地测量学1 1 1 1、由大地坐标计算平面子午线收敛角、由大地坐标计算平面子午线收敛角、由大地坐标计算平面子午线收敛角、由大地坐标计算平面子
40、午线收敛角由公式（由公式（由公式（由公式（6-496-496-496-49）总结规律：）总结规律：）总结规律：）总结规律：（1 1 1 1）为为为为l l l l的奇函数，在北半球的奇函数，在北半球的奇函数，在北半球的奇函数，在北半球与与与与l l l l同号，即当点缀同号，即当点缀同号，即当点缀同号，即当点缀中央子午线以东时中央子午线以东时中央子午线以东时中央子午线以东时为正，以西时为负；为正，以西时为负；为正，以西时为负；为正，以西时为负；（2 2 2 2）经差）经差）经差）经差l l l l愈大，愈大，愈大，愈大，值也愈大；值也愈大；值也愈大；值也愈大；（3 3 3 3）当经差）当经差）
41、当经差）当经差l l l l不变时（即点在同一经线上），纬度愈不变时（即点在同一经线上），纬度愈不变时（即点在同一经线上），纬度愈不变时（即点在同一经线上），纬度愈大，大，大，大，值也愈大，在极点处值也愈大，在极点处值也愈大，在极点处值也愈大，在极点处达到最大。达到最大。达到最大。达到最大。应用大地测量学应用大地测量学2 2 2 2、由平面直角坐标计算平面子午线收敛角、由平面直角坐标计算平面子午线收敛角、由平面直角坐标计算平面子午线收敛角、由平面直角坐标计算平面子午线收敛角6.4.1 6.4.1 平面子午线收敛角的计算平面子午线收敛角的计算应用大地测量学应用大地测量学3 3 3 3、计算平面子
42、午线收敛角、计算平面子午线收敛角、计算平面子午线收敛角、计算平面子午线收敛角的数值公式的数值公式的数值公式的数值公式 代入克拉索夫斯基椭球参数：代入克拉索夫斯基椭球参数：代入克拉索夫斯基椭球参数：代入克拉索夫斯基椭球参数：公式（公式（公式（公式（6-536-536-536-53）代入代入代入代入1975197519751975年国际椭球参数：年国际椭球参数：年国际椭球参数：年国际椭球参数：公式（公式（公式（公式（6-556-556-556-55）6.4.1 6.4.1 平面子午线收敛角的计算平面子午线收敛角的计算6.4 6.4 椭球面上的方向和长度归算椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面至高
43、斯投影平面应用大地测量学应用大地测量学6.4.1平面子午线收敛角的计算平面子午线收敛角的计算6.4.2方向改正计算方向改正计算6.4.3距离改正计算距离改正计算应用大地测量学应用大地测量学正形投影后，椭球面上大地线投影到平面上仍为曲线，化为直线正形投影后，椭球面上大地线投影到平面上仍为曲线，化为直线方向所加的改正方向所加的改正。方向改正方向改正：大地线的投影曲线与连接大地线两端点的弦线之间的：大地线的投影曲线与连接大地线两端点的弦线之间的夹角。夹角。（662）（663）6.4.2 6.4.2 方向改正计算方向改正计算6.4.2 6.4.2 方向改正计算方向改正计算应用大地测量学应用大地测量学
44、应用大地测量学应用大地测量学公式（公式（6-62）、（）、（6-63）。当）。当ym250km时，计算精度为时，计算精度为0.01.对于三、四等三角测量的方向改正计算公式：对于三、四等三角测量的方向改正计算公式：上式的计算精度为上式的计算精度为0.10.1。6.4.2 6.4.2 方向改正计算方向改正计算6.4 6.4 椭球面上的方向和长度归算椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面至高斯投影平面应用大地测量学应用大地测量学6.4.1平面子午线收敛角的计算平面子午线收敛角的计算6.4.2方向改正计算方向改正计算6.4.3距离改正计算距离改正计算6.4.3 6.4.3 距离改正计算距离改正计算应用
45、大地测量学应用大地测量学 距离改正距离改正椭球面上大地线长椭球面上大地线长S S改换为平面上投影曲线两端点改换为平面上投影曲线两端点间的弦长间的弦长D D，要加距离改正，要加距离改正S S。注意。注意:应将距离改正与长度变形相区应将距离改正与长度变形相区别。别。应用大地测量学应用大地测量学投影长度比公式：投影长度比公式：投影长度比公式：投影长度比公式：上上式式即即为为大大地地线线长长度度S S归归算算到到高高斯斯平平面面上上直直线线距距离离D D的的计计算算公公式式，对对于于一一等等边边长长的的归归算算完完全全可可满满足足要要求求，对对于于二二等等边边长长的的归归算算可可略略去去 项，对于三四
46、等边长的归算又可再略去项，对于三四等边长的归算又可再略去 项。项。46.4.3 6.4.3 距离改正计算距离改正计算第六章第六章高斯投影及其计算高斯投影及其计算第一节第一节地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质第二节第二节高斯投影与国家平面直角坐标系（概念）高斯投影与国家平面直角坐标系（概念）第三节第三节高斯投影坐标计算（重点）高斯投影坐标计算（重点）第四节第四节椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面（重点）椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面（重点）第五节第五节高斯投影坐标换带计算（重点）高斯投影坐标换带计算（重点）第六节第六节通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介通用横轴墨卡托
47、投影和兰勃特投影简介第五节第五节 高斯投影坐标换带计算高斯投影坐标换带计算应用大地测量学应用大地测量学 高高斯斯投投影影坐坐标标的的换换带带计计算算：将将一一个个投投影影带带的的平平面面直直角角坐坐标标，转转换换成成另另外外一个投影带的平面直角坐标。一个投影带的平面直角坐标。以下情况需要进行坐标换带计算：以下情况需要进行坐标换带计算：以下情况需要进行坐标换带计算：以下情况需要进行坐标换带计算：（1 1）当当控控制制网网位位于于两两个个相相邻邻投投影影带带的的边边缘缘地地区区并并横横跨跨两两个个投投影影带带，为为了了能能在在同同一一带带内内进进行行平平差差计计算算，必必须须把把控控制制网网起起算
48、算点点的的坐坐标标换换算算到到同同一一个个投投影影带带内。内。（2 2）在在分分带带子子午午线线附附近近地地区区测测图图或或进进行行测测量量工工程程时时，往往往往需需要要用用到到另另一一带带内的控制成果，因此，也需要将这些点的坐标换算到同一带内。内的控制成果，因此，也需要将这些点的坐标换算到同一带内。（3 3）当当大大比比例例尺尺测测图图时时，特特别别是是在在工工程程测测量量中中，为为了了限限制制投投影影变变形形，常常要要求求采采用用3 3带带、1.51.5带带或或任任意意带带投投影影，而而国国家家控控制制点点成成果果通通常常只只有有6 6带带坐坐标标，这这时时就就产产生生了了6 6带带与与3
49、 3带带（或或1.51.5带带、任任意意带带）之之间间的的相相互互坐坐标标换换算问题。算问题。第五节第五节 高斯投影坐标换带计算高斯投影坐标换带计算应用大地测量学应用大地测量学当测区跨不同的投影带时，测图时测当测区跨不同的投影带时，测图时测当测区跨不同的投影带时，测图时测当测区跨不同的投影带时，测图时测区中所有控制点应采用同一投影带的区中所有控制点应采用同一投影带的区中所有控制点应采用同一投影带的区中所有控制点应采用同一投影带的坐标，位于不同投影带的点应进行同坐标，位于不同投影带的点应进行同坐标，位于不同投影带的点应进行同坐标，位于不同投影带的点应进行同一坐标系统（同一个椭球）不同投影一坐标系
50、统（同一个椭球）不同投影一坐标系统（同一个椭球）不同投影一坐标系统（同一个椭球）不同投影带之间的坐标换算：具体情况有以下带之间的坐标换算：具体情况有以下带之间的坐标换算：具体情况有以下带之间的坐标换算：具体情况有以下几种：几种：几种：几种：6 6带坐标带坐标相邻相邻6 6带坐标；带坐标；6 6带坐标带坐标3 3带坐标；带坐标；3 3带坐标带坐标相邻相邻3 3带坐标；带坐标；6 6带或带或3 3带坐标带坐标任意带坐标；任意带坐标；第五节第五节 高斯投影坐标换带计算高斯投影坐标换带计算应用大地测量学应用大地测量学计算程序如下：计算程序如下：计算程序如下：计算程序如下：首首先先将将某某投投影影带带内