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1、 第第 四四 章章 随机抽样 与 抽样分布 数理统计学是一门应用性很强的学科数理统计学是一门应用性很强的学科.它是研究它是研究怎样以怎样以有效的方式有效的方式收集、收集、整理和分析整理和分析带有随机性的带有随机性的数据数据，以便对所考察的问题作出推断和预测，以便对所考察的问题作出推断和预测.由于大量随机现象必然呈现它规由于大量随机现象必然呈现它规律性，只要对随机现象进行足够多次律性，只要对随机现象进行足够多次观察，被研究的规律性一定能清楚地观察，被研究的规律性一定能清楚地呈现出来呈现出来.客观上，客观上，只允许我们对随机现象只允许我们对随机现象进行次数不多的观察试验进行次数不多的观察试验 ，我
2、们只，我们只能获得局部观察资料能获得局部观察资料.数理统计的任务就是研究有效地收集、整理、数理统计的任务就是研究有效地收集、整理、分析所获得的分析所获得的有限有限的资料，对所研究的问题的资料，对所研究的问题,尽可尽可能地作出精确而可靠的结论能地作出精确而可靠的结论.在数理统计中，不是对所研究的对象全体在数理统计中，不是对所研究的对象全体(称称为为总体总体)进行观察，而是抽取其中的部分进行观察，而是抽取其中的部分(称为称为样本样本)进行观察获得数据（进行观察获得数据（抽样抽样），并通过这些数据对总），并通过这些数据对总体进行推断体进行推断.数理统计方法具有数理统计方法具有“部分推断整体部分推断整
3、体”的的特征特征.第第4.1.4.1.节节 基本概念基本概念一、总体与个体一、总体与个体二、随机样本的定义二、随机样本的定义三、统计量三、统计量四、小结四、小结一、总体与个体一、总体与个体 一一个统计问题总有它明确的研究对象个统计问题总有它明确的研究对象.研究对象的全体称为研究对象的全体称为总体总体(母体母体)，总体中每个成员称为总体中每个成员称为个体个体.研究某批灯泡的质量研究某批灯泡的质量考察国产考察国产 轿车的质量轿车的质量总体总体总体总体 然而在统计研究中，人们往往关心每个然而在统计研究中，人们往往关心每个个体的一项个体的一项(或几项或几项)数量指标和该数量指标数量指标和该数量指标在总
4、体中的分布情况在总体中的分布情况.这时，每个个体具有这时，每个个体具有的数量指标的全体就是的数量指标的全体就是总体总体.该批灯泡寿命的该批灯泡寿命的全体就是总体全体就是总体灯泡的寿命灯泡的寿命国产轿车每公里国产轿车每公里的耗油量的耗油量所有国产轿车每公里耗所有国产轿车每公里耗油量的全体就是总体油量的全体就是总体 由由于于每每个个个个体体的的出出现现带带有有随随机机性性，即即相相应应的的数数量量指指标标值值的的出出现现带带有有随随机机性性。从从而而可可把把此此种种数数量量指指标标看看作作随随机机变变量量，我我们们用用一一个个随随机机变变量量或或其其分分布布来来描描述述总总体体。为为此此常常用用随
5、随机机变量的符号或分布的符号来表示总体。变量的符号或分布的符号来表示总体。通常，我们用随机变量通常，我们用随机变量X,Y,Z,等表等表示总体。当我们说到总体，就是指一个具有示总体。当我们说到总体，就是指一个具有确定概率分布的随机变量。确定概率分布的随机变量。如如:研究某批灯泡的寿命时，我们关心的数研究某批灯泡的寿命时，我们关心的数量指标就是量指标就是寿命寿命，那么，此总体就可以用随，那么，此总体就可以用随机变量机变量X表示，或用其分布函数表示，或用其分布函数F(x)表示表示.总体总体某批某批灯泡的寿命灯泡的寿命寿命寿命X可用一概可用一概率分布来刻划率分布来刻划F(x)因此,在统计学中,总体这个
6、概念的要旨是:总体就是一个概率分布.某工厂某工厂10月份生产的灯泡寿命所组成的月份生产的灯泡寿命所组成的总体中总体中,个体的总数就是个体的总数就是10月份生产的灯泡数月份生产的灯泡数,这是一个有限总体这是一个有限总体;而该工厂生产的所有灯泡寿而该工厂生产的所有灯泡寿命所组成的总体可命所组成的总体可近似地近似地看成一个无限总体看成一个无限总体,它它包括以往生产和今后生产的灯泡寿命包括以往生产和今后生产的灯泡寿命.有限总体和无限总体有限总体和无限总体实例实例 当有限总体包含的个体的当有限总体包含的个体的总数很大时总数很大时,可近似地将它看可近似地将它看成是无限总体成是无限总体.二、简单随机样本二、
7、简单随机样本1.样本的定义样本的定义 为推断总体的分布及各种特征,按一定的规则从总体中抽取若干个体进行观察试验,以获得有关总体的信息.这一抽取过程称为“抽样”.所抽取的部分个体称为样本.通常记为样本中所包含的个体数目n称为样本容量.容量为n的样本可以看作n维随机变量.但是,一旦取定一组样本,得到的是n个具体的数 ,称此为样本的一次观察值,简称样本值.2.简单随机样本简单随机样本 抽取样本的目的是为了利用样本对总体进行统计推断,这就要求样本能很好的反映总体的特性且便于处理.为此,需对抽样提出一些要求,通常有两条:满足上述两条性质的样本称为简单随机样本.获得简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽样.
8、为了使大家对总体和样本有一个明确的概念,我们给出如下定义:定义定义4.14.1一个随机变量X或其相应的分布函数F(x)称为一个总体.1.代表性代表性：X1,X2,Xn中每一个与所考察的中每一个与所考察的总体总体X有相同的分布有相同的分布.2.独立性独立性：X1,X2,Xn是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量.定义定义4.24.2样本样本 所有可能取值的全体称所有可能取值的全体称为样本空间，为样本空间，记为记为 。的样本点的样本点中中称为称为Wnxxx,21L定理定理5.13.样本样本的分布的分布解解例例1解解例例2三、统计量三、统计量1.统计量的定义统计量的定义4.3 由样本推断总体特征,
9、需要对样本值进行“加工”,“提炼”.这就需要构造一些样本的函数,它把样本中所含的信息集中起来.是是不是不是例例12.几个常用统计量几个常用统计量(样本矩样本矩)的定义的定义(1)样本平均值样本平均值(2)样本方差样本方差其观察值其观察值它反映了总体均值它反映了总体均值的信息的信息它反映了总体方差它反映了总体方差的信息的信息其观察值其观察值(3)样本标准差样本标准差其观察值其观察值(4)修正修正样本方差样本方差(5)样本样本 k 阶阶(原点原点)矩矩其观察值其观察值(6)样本样本 k 阶中心矩阶中心矩其观察值其观察值其观察值其观察值样本矩具有下列性质样本矩具有下列性质:性质性质4.1 证明证明证
10、明证明再根据第四章再根据第四章辛钦定理辛钦定理知知性质性质4.2由第四章关于依概率收敛的序列的性质知由第四章关于依概率收敛的序列的性质知 以上结论是下一章所要介绍的矩估计法的以上结论是下一章所要介绍的矩估计法的理论根据理论根据.四、小结四、小结个体个体 总体总体有限总体有限总体无限总体无限总体基本概念基本概念:说明说明1一个总体对应一个随机变量一个总体对应一个随机变量X,我们将不我们将不区分总体和相应的随机变量区分总体和相应的随机变量,统称为总体统称为总体X.说明说明2在实际中遇到的总体往往是有限总体在实际中遇到的总体往往是有限总体,它对应一个离散型随机变量它对应一个离散型随机变量;当总体中包
11、含的个当总体中包含的个体的个数很大时体的个数很大时,在理论上可认为它是一个无限在理论上可认为它是一个无限总体总体.随机样本随机样本 总体,样本,样本值的关系总体(理论分布)样本样本值?统计是从手中已有的资料-样本值,去推断总体的情况-总体的分布F(x)的性质.样本是联系二者的桥梁.总体分布决定了样本取值的概率规律,也就是样本取到样本值的规律,因而可以由样本值去推断总体.两个最重要的统计量两个最重要的统计量:样本均值样本均值样本方差样本方差四。常用抽样方法四。常用抽样方法一、单纯随机抽样二、系统抽样三、分层抽样四、整体抽样五、多阶段抽样第第4.24.2节节 样本分布图样本分布图一、样本直方图 p
12、83样本累积频率函数图第第4.34.3节节 常用统计分布常用统计分布一、常见分布一、常见分布二、概率分布的分位数二、概率分布的分位数三、小结三、小结一、常见分布一、常见分布一、定理定理4.1定理定理4.2二二.随机数随机数演示演示分布函数与密度函数演示分布函数与密度函数演示定理定理4.34.3证明证明定理定理4.44.4(此性质可以推广到多个随机变量的情形此性质可以推广到多个随机变量的情形)定理定理4.5证明证明由于由于再由定理再由定理4.4可的可的(1)的证明的证明.(2)证略证略同理同理与与相互独立相互独立t 分布又称分布又称学生氏学生氏(Student)分布分布.三三当当n充分大时充分大时,其图其图形类似于标准正态形类似于标准正态变量概率密度的图变量概率密度的图形形.证明证明且两者独立且两者独立,由由 t 分布的定义知分布的定义知定理定理4.6定理定理4.7证明证明四四.定理定理4.8证明证明 由于由于二、概率分布的分位数二、概率分布的分位数根据正态分布的对称性知根据正态分布的对称性知由分布的对称性知由分布的对称性知在在Matlab中求解中求解在在Matlab中求解中求解在在Matlab中求解中求解证明证明三、小结三、小结1.三个来自正态分布的抽样分布三个来自正态分布的抽样分布:的定义的定义,性质性质.2.分位数的概念分位数的概念.二、例题二、例题