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1、第二节 牛顿迭代法本讲稿第一页，共十一页xyx*x0只要只要 f C1，每一步迭代都有，每一步迭代都有 而且而且 ，则，则 x*就是就是 f 的根。的根。是如下线性方程的根！是如下线性方程的根！本讲稿第二页，共十一页3.牛顿迭代法的几何解释：牛顿迭代法的几何解释：方程方程 的根的根 在几何上是曲线在几何上是曲线 与与 x 轴的交轴的交点的横坐标。若点的横坐标。若 是根是根 的一个近似，过曲线上横坐标为的一个近似，过曲线上横坐标为 的点的点 作曲线作曲线 的切线，则该切线与的切线，则该切线与 x 轴交点的横坐轴交点的横坐标即为标即为 。xyx*x0本讲稿第三页，共十一页例例2.52.5：写出求写
2、出求 的的牛顿牛顿迭代格式；迭代格式；写出求写出求 的的牛顿牛顿迭代格式迭代格式,要求公式中既要求公式中既无开方运算，又无除法运算。无开方运算，又无除法运算。解：解：等价于求方程等价于求方程 的正根的正根解法一：解法一：等价于求方程等价于求方程 的根的根退化为二分法退化为二分法！本讲稿第四页，共十一页解法二：解法二：等价于求方程等价于求方程 的正根的正根 设设 x*为方程为方程 f(x)=0的根，在包含的根，在包含x*的某个开区间内的某个开区间内 连续，连续，且且 ，则存在，则存在 x*的邻域的邻域 ，使得任取初值，使得任取初值 ，由，由牛顿迭代法牛顿迭代法产生的序列产生的序列 以不低于以不低
3、于二阶二阶的收敛速度收敛的收敛速度收敛于于x*，且，且4、牛顿迭代法的局部收敛性定理、牛顿迭代法的局部收敛性定理本讲稿第五页，共十一页其中其中 ，则，则收敛收敛由泰勒展开：由泰勒展开：在在单根单根附近收敛快！附近收敛快！只要只要 ，则令，则令 可得结论。可得结论。证明：证明：牛顿迭代法牛顿迭代法事实上是一种事实上是一种特殊的不动点迭代特殊的不动点迭代在在 和和 之间之间本讲稿第六页，共十一页牛顿迭代法的改进牛顿迭代法的改进 重根重根Q1:若若 ，牛顿迭代法牛顿迭代法是否仍收敛？是否仍收敛？设设 x*是是 f 的的 n 重根，则：重根，则：且且 。因为牛顿迭代法因为牛顿迭代法事实上是一种特殊的不
4、动点迭代，事实上是一种特殊的不动点迭代，其中其中 ，则，则A1:有局部收敛性，但重数有局部收敛性，但重数 n 越高越高，收敛，收敛越慢越慢。Q2:如何如何加速加速重根的收敛？重根的收敛？A2:根的重数已知，可根的重数已知，可将将 f 的的重根转化重根转化为另一函数的为另一函数的单根单根。令，则令，则 f 的重根是的重根是 的单根，且的单根，且本讲稿第七页，共十一页从而可构造出相应的迭代法格式为从而可构造出相应的迭代法格式为对对 构造出相应的牛顿迭代格式，迭代函数为构造出相应的牛顿迭代格式，迭代函数为若已知根的重数为若已知根的重数为 n，可将迭代格式改为，可将迭代格式改为，则则，所以上述格式是平
5、方收敛的。，所以上述格式是平方收敛的。本讲稿第八页，共十一页 收敛速度快，稳定性好收敛速度快，稳定性好；精度高精度高。在重根附近收敛速度会降阶在重根附近收敛速度会降阶；每次都要计算函数及其导数值，计算量大每次都要计算函数及其导数值，计算量大。优点优点缺点缺点注解：牛顿法是局部收敛的，所以要求初值注解：牛顿法是局部收敛的，所以要求初值 选在解选在解 的附的附近，实际计算时，常先用简单迭代法算几步，估计出一个质近，实际计算时，常先用简单迭代法算几步，估计出一个质量较好的初值！量较好的初值！主要缺陷！主要缺陷！本讲稿第九页，共十一页收敛比牛顿迭代法收敛比牛顿迭代法慢慢，且对初值要，且对初值要求同样高
6、。求同样高。第五节第五节 弦割法弦割法x0 x1切线切线 割线割线 切线斜率切线斜率 割线斜率割线斜率需要需要2个初值个初值 x0 和和 x1。基本思想：基本思想：牛顿迭代法牛顿迭代法每一步要计算每一步要计算 f 和和 ，为了避免计算，为了避免计算导数值，现用导数值，现用 f 的差商近似代替微商的差商近似代替微商 ，从而得到，从而得到弦割法弦割法。x2本讲稿第十页，共十一页Th2.10 局部收敛性局部收敛性 设设 表示区间表示区间 ，x*为方程为方程 f(x)=0的根，的根，函数函数f(x)在在 中有中有足够阶连续导数足够阶连续导数，且且 满足满足 则对则对 ，由割线法产生的序列，由割线法产生的序列 都收敛于都收敛于x*，且，且(i)(ii)(iii)其中其中收敛速度介于收敛速度介于牛顿法牛顿法和和 二分法二分法 之间之间 本讲稿第十一页，共十一页