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1、05.0605.06圆周运动圆周运动向心力和向心加速度Lex Li最伟大的科学是关于方法的科学爱因斯坦一、向心力1定义：做匀速圆周运动的物体受到的方向沿半指向 _的力2作用效果：不改变质点速度的 _，只改变速度的 _.3方向：沿半径指向_，和质点运动的方向_，其方向时刻在改变圆心大小方向圆心垂直4实验与探究.实验目的实验目的探究影响向心力大小的因素探究影响向心力大小的因素实验方法实验方法控制变量法控制变量法探究过程探究过程m、r相同相同改变角速度改变角速度，则，则越大，向心力越大，向心力F就就_m、相同相同改变半径改变半径r，则，则r越大，向心力越大，向心力F就就_、r相同相同改变质量改变质量
2、m，则，则m越大，向心力越大，向心力F就就_结论结论物体做圆周运动需要的向心力与物体的质量成物体做圆周运动需要的向心力与物体的质量成_，与半径成，与半径成_与角速度的二次方与角速度的二次方成成_5.大小：F_，F_.越大越大越大正比 正比正比m2r二、向心加速度1定义：由向心力产生的指向_方向的加速度2大小：a_，a_.3方向：与向心力方向_，始终指向_，时刻在改变圆心2r v2/r一致圆心三、生活中的向心力1汽车在水平公路上转弯车轮与路面间的_提供向心力，即Fm .2汽车在倾斜的路面上的转弯汽车恰好以速度v行驶时，重力和_的合力充当向心力，即mgtan m (R为弯道半径，为倾斜的角度)地面
3、支持力静摩擦力一、对向心力的理解1向心力的来源：向心力是根据力的作用效果命名的可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，可以是某几个力的合力，也可以是某个力的分力2向心力的大小3对公式的理解(1)向心力公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动(2)向心力公式具有瞬时性，即式中各量对应同一时刻(3)当m、一定时，由Fmr2知Fr；当m、v一定时，由 特别提醒：(1)在匀速圆周运动中，物体所受的合外力一定指向圆心，充当向心力，非匀速圆周运动的合外力不指向圆心，合外力沿半径方向的分力为向心力(2)任何情况的圆周运动，向心力的方向一定指向圆心，向心力是做圆周运动的物体需要的一个指向圆心的力，而不
4、是物体又受到一个新的力二、向心加速度1向心加速的物理意义向心加速是描述速度方向改变快慢的物理量向心加速度由于速度的方向改变而产生，线速度的方向变化的快慢决定了向心加速度的大小2向心加速度的公式3向心加速度与半径的关系(1)由ar2，若角速度相同，则向心加速度与半径成正比，如图(a)所示；(2)由a ，若线速度v相同，则向心加速度与半径成反比如图(b)所示4非匀速圆周运动中的向心加速度匀速圆周运动中的向心加速度就是物体的实际加速度而非匀速圆周运动中，向心加速度是物体的加速度在指向圆心方向上的分量特别提醒：(1)向心加速度的方向时刻改变，匀速圆周运动是一种变加速运动(2)在非匀速圆周运动中，向心加
5、速的公式仍适用，但要注意公式中各量对应同一时刻三、生活中的圆周运动1汽车在倾斜路面上转弯汽车在倾斜路面上转弯(1)向心力来源：重力mg和支持力N的合力F提供向心力，即 mgtan m .其中R为弯道半径，为倾斜的角度(2)分析讨论：当弯道半径R，倾角一定时2圆锥摆运动圆锥摆运动(1)运动特点：如图所示在水平面内做匀速圆周运动特点：如图所示在水平面内做匀速圆周运动运动(2)向心力分析：如图所示绳的拉力和重力的合向心力分析：如图所示绳的拉力和重力的合力力(或者说绳的拉力在水平方向的分力或者说绳的拉力在水平方向的分力)提供向心力提供向心力Fmgtan.向心加速度：向心加速度：agtan.四、竖直面内
6、的圆周运动四、竖直面内的圆周运动1绳或圆轨道内侧约束物体的圆周运动如图所示细绳系着的小球或在圆轨道内侧运动的小球，当它们通过最高点时，2在轻杆或管的约束下的圆周运动如图杆和管对物体能产生拉力，也能产生支持力当物体通过最高点时有Nmg ，因为N可为正(拉力)，也可以为负(支持力)，还可以为零，故物体通过最高点的速度可为任意值(1)v0时，时，Nmg，为支持力，为支持力(2)v 时，时，N0，杆对物体无作用力，杆对物体无作用力(3)0v 时，时，N0，杆对物体产生支持力，杆对物体产生支持力，大小随速度的增大而减小大小随速度的增大而减小(4)v 时，时，N0，杆对物体产生拉力，大，杆对物体产生拉力，
7、大小随速度的增大而增大小随速度的增大而增大特别提醒：竖直面内做圆周运动的物体在最高点(1)最小速度：绳模型vmin ；杆模型vmin0.(2)绳只能提供拉力，杆既能提供拉力也能提供支持力向心力如图所示，在匀速转动的洗衣服机的圆桶内壁上有一衣物一起随桶转动且与桶壁保持相对静止则衣物所受的向心力是由下列哪个力提供A重力B静摩擦力C桶壁的支持力 D滑动摩擦力解析：衣物做匀速圆周运动的圆面在过衣物所在位置的垂直于轴的平面内，圆心为与轴的交点衣物受到重力、支持力和静摩擦力，重力和静摩擦力在竖直方向上不可能充当向心力，而支持力指向圆心，故支持力充当向心力，C正确答案：C向心加速度向心加速度 关于质点做匀速
8、圆周运动的说法正关于质点做匀速圆周运动的说法正确的是确的是()A由由v/r可知可知与与r成反比成反比B由由2n可知可知与转速与转速n成正比成正比C由由av2/r可知可知a与与r成反比成反比D由由a2r可知可知a与与r成正比成正比解析：解析：由由v/r可知，只有在可知，只有在v大小一定大小一定时，时，与与r才成反比，如才成反比，如v大小变化，大小变化，与与r不成不成反比同理，只有在反比同理，只有在v大小一定时，大小一定时，a与与r才成才成反比，如反比，如v大小变化，大小变化，a与与r不成反比由于不成反比由于2是常数，所以是常数，所以与转速与转速n成正比成正比答案：答案：B思维总结：思维总结：当一
9、个物理量与众多因素有关当一个物理量与众多因素有关时，要表物理量和某一个因素的比例关系，时，要表物理量和某一个因素的比例关系，必须是其他因素不发生变化必须是其他因素不发生变化生活中的圆周运动如图所示，质量为如图所示，质量为m的汽车在圆拱桥上的汽车在圆拱桥上以速度以速度v前进，桥面的圆弧半径为前进，桥面的圆弧半径为R，为了汽车安，为了汽车安全过拱桥顶时的最大速度不得大于多少？如果桥全过拱桥顶时的最大速度不得大于多少？如果桥能够承受的最大压力为车重的能够承受的最大压力为车重的 ，求汽车安全，求汽车安全过桥时，在桥的最高点时的速度范围过桥时，在桥的最高点时的速度范围解析：选汽车为研究对象，汽车受到重力
10、和桥对车的支持力，如右图所示两个力的合力提供向心力、且向心力方向竖直向下，由牛顿第二定律可得由此式可知：车的速度越大，汽车对桥的压力越小当速度增大到一定值v临时，汽车对桥面的压力N减小为零，汽车会脱离地面飞出桥面，做平抛运动 令N0可得汽车桥顶时的最大速度不得超过思维总结：本题关键是弄清楚汽车在最高点时重力和支持力的合力提供向心力，并且合力即向心力必须竖直向下mg变式训练3半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一个小物体m，如右图所示，今给小物体一个水平初速度v0 则物体将()A沿球面滑至M点B先沿球面滑至某点N再离开球面做斜下抛运动C离开半球做平抛运动D按半径大于R的新圆弧轨道运动，C竖
11、直面内的圆周运动 长为L的轻绳，其一端固定于O点，另一端连有质量为m的小球，它绕O点在竖直平面内做圆周运动求：(1)小球刚好到达最高点时的速度；(2)小球到达最高点速度为2 时绳受到的拉力思维总结：竖直平面内圆周运动的分析方法：(1)明确运动的类型，是轻绳模型还是轻杆模型(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律和向心力公式列式求解基础达标1关于向心力的说法正确的是()A物体由于做圆周运动而产生向心力B向心力不改变物体做圆周运动的速度大小C做匀速圆周运动的物体向心力是不变的D只要物体做圆周运动，它的合力一定指向圆
12、心B2匀速圆周运动中的向心加速度是描述()A线速度大小变化的物理量B线速度大小变化快慢的物理量C线速度方向变化的物理量D线速度方向变化快慢的物理量解析：匀速圆周运动的线速度大小不变，方向变化，向心加速度描述的就是线速度方向变化的快慢，故A、B、C错误，D正确答案：D 3(双选)一小球被一细绳拴着，在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，向心力速度为a，则()4一质量为m的小物块，由碗边滑向碗底，该碗的内表面是半径为R的圆弧且粗糙程度不同，由于摩擦力的作用，物块的运动速率恰好保持不变，则()A物块的加速度为零B物块所受合力为零C物块所受合力大小一定，方向改变D物块所受合力的大小、方向均一定解析：由题
13、意可知，物块沿碗内表面(半径为R的圆弧)做匀速圆周运动，由匀速圆周运动的特点知，物块所受合力及加速度均不为零，合外力即向心力，大小不变，方向时刻变化，始终指向圆心，所以C正确A、B、C错误答案：C5关于质点做匀速圆周运动，下列说法中正确的是()A线速度大，加速度一定大B角速度大，加速度一定大C周期大，加速度一定大D加速度大，速度一定变化快6用长短不同、材料相同的细绳各拴着一个质量相同的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，则()A两个小球以相同的速率运动时，长绳易断B两个小球以相同的角速度运动时，短绳易断C两个小球以相同的角速度运动时，长绳易断D与绳子长短无关解析：由向心力公式Fm m2r知，速率
14、相同时，绳越长，r越大，小球所需向心力越小，拴球的绳越不易断，A错；角速度相同时，绳越长，r越大，小球的圆周运动所需向心力越大，拴球的绳越容易断，B、D错，C对答案：C能力提升7一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶，速度逐渐减小图中分别画出汽车转弯时所受合力F的四种方向，正确的是()解析：汽车沿曲线运动，转弯时所受合力应指向运动轨迹的凹侧，A、D错误；由于汽车速度减小，所受合外力与速度方向的夹角应为钝角，汽车由M向N行驶，速度方向沿轨迹切线方向，故B错误，C正确答案：C8(双选)如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度使它在竖直平面内做圆周运动，图
15、中a，b分别表示小球运动轨迹的最低点和最高点，则细杆对小球的作用力可能是()Aa处为拉力，b处为拉力Ba处为拉力，b处为支持力Ca处为支持力，b处为拉力Da处为支持力，b处为支持力9.一个物体从内壁粗糙的半球形碗边下滑，在下滑的过程中由于受摩擦力的作用，物体的速率恰好保持不变，如图所示，下列说法正确的是()A物体所受的合外力为零B物体所受的合外力越来越大C物体所受的合外力大小不变，方向时刻在改变D物体所受的向心力等于零C10如图所示，有一绳长为l，上端固定在滚轮A的轴上，下端挂一质量为m的物体，现滚轮和物体一起以速度v匀速向右运动，当滚轮碰到固定的挡板B突然停止的瞬间，绳子拉力大小为多少？解析
16、：当滚轮碰到固定挡板突然停止时，物体m的速度仍为v，绳子对物体的拉力产生突变，与重力的合力的提供向心力，由牛顿第二定律得：11有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动，当转盘以角速度匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为.不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度与夹角的关系解析：对座椅受力分析，由向心力公式Fm2r得mg tan m2(rLsin)为_，将 代入得_.Fm2r一、向心力1做匀速圆周运动的物体受到的合外力不为零，总是沿半径指向_，这个力叫做向心力圆心垂直2向心力的方向：沿
17、半径指向圆心，和质点运动方向_向心力不改变速度的_，只改变速度的_方向3向心力的大小：物体做匀速圆周运动时所受向心力大小vr大小v2rFm在下列圆周运动中，感受(1)小球在杯中做圆周运动时，你握杯的手有什么感觉？(2)如果突然将杯子提开，将会发生什么现象？图 221答案：(1)球做圆周运动，对杯有力的作用，手有晃动的感觉(2)球沿直线飞出去二、向心加速度1根据牛顿第二定律 Fma，结合向心力大小公式得，向心加速度大小为_或_.a2rav2r2向心加速度的方向：沿半径指向圆心，和质点运动方向_垂直三、生活中的向心力1如图 222 甲所示，汽车在水平的公路上转弯时靠车轮与路面间的_来提供向心力，如
18、果转弯时汽车速度过快，则这个_不足以提供汽车所需的向心力，汽车就容易滑出路面静摩擦力静摩擦力2如图 222 乙所示，汽车在外高内低的倾斜的路面转弯，假设转弯时所需的向心力完全由 _ 和地面的_的合力 F 来提供，设弯道半径为 R，汽车行驶的速度从式中可以知道，车速越快，弯道半径越小，需要的向心力就越_，倾斜的角度也越_摩托车赛车手拐弯时向里倾斜的道理也是如此重力(mg)支持力(N)mgtan图 222为v，质量为m，倾斜的角度为，则有F_.大大要点1 向心力的理解1.向心力公式：2向心力的性质(1)向心力是效果力向心力因其方向时刻指向圆心而得名，故它为效果力向心力的作用效果是只改变速度的方向而
19、不改变速度的大小它不是具有特定性质的某种力，任何性质的力都可以作为向心力，受力分析时不分析向心力(2)向心力是变力向心力的方向指向圆心，与线速度方向垂直，方向时刻在改变，故向心力是变力3.向心力的来源(1)在匀速圆周运动中，合外力一定是向心力；非匀速圆周运动中，合外力沿半径方向的分力提供向心力(2)向心力是按力的作用效果来命名的，充当向心力的力可以是重力、弹力和摩擦力等各种力，也可以是各力的合力或某力的分力4向心力与质量、角速度、线速度和半径的关系(1)当质量和角速度一定时，向心力与半径成正比(2)当质量和线速度一定时，向心力与半径成反比(3)当质量和半径一定时，向心力与角速度(或线速度)的二
20、次方成正比(4)当角速度(或线速度)和半径一定时，向心力与质量成正比【例1】两个质量分别是 m1 和 m2 的光滑小球套在光滑水平杆上，用长为 L 的细线连接，水平杆随框架以角速度做匀速转动，两球在杆上相对静止，如图 223 所示求两球离转动中心的距离 R1 和 R2 及细线的拉力图 223解得R1，R2m2Lm1m2m1Lm1m2Fm1m22Lm1m2.解：绳对m1和m2的拉力是它们做圆周运动的向心力，根据题意得R1R2L，R2LR1对m1有Fm12R1对m2有Fm22R2m22(LR1)所以m12R1m22(LR1)1图 224 甲为游乐场的悬空旋转椅，我们把这种情况抽象为图 224 乙的
21、模型：一质量 m40 kg 的球通过长 L12.5 m 的轻绳悬于竖直面内的直角杆上，水平杆长 L7.5 m整个装置绕竖直杆转动,绳子与竖直方向成角.当37时，(g9.8 m/s2，sin 370.6，cos 370.8)求：(1)绳子的拉力大小；(2)该装置转动的角速度图 224解：(1)对球受力分析如图8 所示，则F拉mgcos 37代入数据得 F拉490 N(2)小球做圆周运动的向心力由绳拉力和重力的合力提供，有 mgtan 37m2(Lsin 37L)解得代入数据得0.7 rad/s.图8要点2 向心加速度的理解1定义：做匀速圆周运动的物体具有沿半径指向圆心的加速度，叫做向心加速度2方
22、向：时刻与物体的速度方向垂直且指向圆心4向心加速度与角速度、线速度和半径的关系(1)当线速度大小一定时，向心加速度与轨道半径成反比(2)当角速度一定时，向心加速度与轨道半径成正比(3)当半径一定时，向心加速度与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比5实质：向心加速度是描述线速度方向改变快慢的物理量，其方向时刻发生变化，且总是沿着轨迹半径指向圆心的方向，所以匀速圆周运动是变加速运动【例2】如图 225 所示为一皮带传动装置，传动时不打滑，O1 轮的半径为 O2 轮半径的两倍，O1 轮缘和 O2 轮缘上分传动过程中 A、B、C 三点的向心加速度分别为 aA、aB、aC，则()图 225A aA
23、aBaC121 B aAaBaC124C aAaBaC212 D aAaBaC122答案：B2如图 226 所示的皮带传动装置中，轮 A 和轮 B 同轴，A、B、C 分别是三个轮边缘的质点，且 RARC2RB，则)A三质点的向心加速度之比 aAaBaC 等于(图 226A421B212C124 D414要点3 竖直平面内的圆周运动1图 227 甲、乙所示的是没有物体支撑的小球在竖直平面做圆周运动过最高点的情况(1)能过最高点的临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用由 mgmv2R得 v临界 .(2)能过最高点的条件：v .当 v 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力(3)不能过最高点的条件：v
24、v临界(实际上球还没到最高点时就脱离了轨道)图 2272如图 227 丙所示情形，小球与轻质杆相连杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力(1)能过最高点的临界条件：v临界0，此时支持力 Nmg.(2)当 0v时，N 为支持力，有 0Nmg，且 N 随 v的增大而减小(3)当 v时，N0.(4)当 v，N 为拉力，有 N0，N 随 v 的增大而增大【例3】一细杆与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细杆一起在竖直平面内做圆周运动，如图 228 所示水的质量m0.5 kg，水的重心到转轴的距离 l50 cm.(取 g10 m/s2，不计空气阻力)图 228(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(
25、2)若在最高点水桶的速率 v3 m/s，求水对桶底的压力解：(1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小此时有mgmv2l则所求的最小速率为(2)在最高点，水具有向下的向心加速度，处于失重状态，其向心加速度的大小由桶底对水的压力和水的重力决定3.质量相等的小球 A、B 分别固定在轻杆的中点及端点，当棒在光滑的水平面上绕 O 点匀速转动，如图 229 所示，求 A、B 两球所受的拉力之比图 229解：隔离A、B受力分析，如图9所示由于A、B放在水平面上，故GFN，又由A、B固定在同一根轻杆上，所以A、B的角速度相同，设角速度为
26、，则由向心力公式可得对A：FOAFBAm2r对B：FABm22r而FBAFAB联立以上式子得FOAFAB32.图 9要点4生活中的圆周运动1汽车通过桥的最高点时，汽车所受的重力和桥对汽车的支持力在一条直线上，它们的合力提供汽车做圆周运动所需的向心力(1)凸形桥：如图 2210 甲所示，当汽车通过桥的最高点时，汽车对桥的压力小于汽车所受的重力重力 G 和支持力N 的合力为汽车做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律有 F向压力图 2210(2)凹形桥：如图 2210 乙所示，当汽车通过桥的最低点时，汽车对桥的压力大于汽车所受的重力重力 G 和支持力N 的合力为汽车做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律
27、有 F向汽车过拱桥的分析方法对荡秋千过程中通过最低点和游乐园里的过山车通过最低点、最高点的分析同样适用2在航天器中所有和重力有关的仪器都无法使用(1)弹簧测力计无法测量物体的重力，但仍能测量拉力或压力的大小(2)无法用天平测量物体的质量【例4】有一辆质量为 1.2 t 的小汽车驶上半径为 50 m 的圆弧形拱桥，如图 2211 所示求：(1)汽车到达桥顶的速度为 10 m/s 时对桥的压力有多大？(2)汽车以多大的速度经过桥顶时恰好对桥没有压力作用而腾空？(3)设想拱桥的半径增大到与地球半径一样，那么汽车要在这样的桥面上腾空，速度要多大？(重力加速度 g 取 10 m/s2，地球半径 R 取
28、6.4106 m)图 22114在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108 km/h.汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的 0.6 倍如果汽车在这种高速路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？如果高速路上设计了圆弧拱桥做立交桥，要使汽车能够安全通过圆弧拱桥，这个圆弧拱桥的半径至少是多少？(取 g10 m/s2)【例 5】(双选)如图 2212 所示，长为 L 的悬线固定在L2拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球运动到悬点正)图 2212下方时悬线碰到钉子，则小球的(A线速度突然增大B角速度突然减小C向心加速度突然增大D悬线拉力突然增大O点，在O点正下方处有一 钉子C，把悬线另一端的小球m 错因：认为线速度能够突然发生变化，错误地选择A.其实，线速度变化需要时间，加速度变化不需要时间正解：球运动到悬点正下方时，悬线碰到钉子这一瞬间，线速度不能发生突变，由于半径变小，角速度突然增大，悬线拉力发生突变，突然增大向心力发生突变，向心加速度也突然增大答案：CD