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1、第三章第三章 函数函数第1页，共20页，编辑于2022年，星期二3.1 函数的基本概念函数也叫映射，它建立了从一个集合到另一个集合的一种对应关系.设有集合X与Y，如果有一种对应关系f，使X的任意元素x能与Y中的一个唯一的元素y相对应，则这个对应关系f 叫从X到Y的函数或叫从X到Y的映射.X所对应的Y内的元素y叫x的像，而x则叫y的像源.上述函数可以表示成 f:XY 或 或 y=f(x)第2页，共20页，编辑于2022年，星期二3.1 函数的基本概念函数f建立了从X到Y的一种关系，但是这种关系有其特殊性：1)X的每个元素xi均对应Y的一个元素yi;2)X的每个元素xi均仅对应Y的一个元素yi;3
2、)Y中的元素不一定都需要有一个X中的元素与之对应，对于Y中的某些元素可以允许多个xi与之对应.第3页，共20页，编辑于2022年，星期二3.1 函数的基本概念定义3.1一个函数或映射f:XY 是一个满足下列两个条件的关系：1)存在性条件：对每个xX，必存在yY，使得(x,y)f2)唯一性条件：对每个xX，也只存在yY，使得(x,y)f定义域：Df=X 值域：CfY第4页，共20页，编辑于2022年，星期二3.1 函数的基本概念函数f使得Y中的每个元素均有X中的元素与之对应:从X到Y上的函数；否则:从X到Y内的函数X的每个元素xi唯一对应Y的一个元素yi，而且也只有一个xi对应yi：一对一的函数
3、否则：多对一的函数X与Y建立了一一对应的关系：一一对应的函数例：下面的函数一对一函数，还是一一对应函数：1)f:NR,其中f(n)=log10n+12)f:RR,其中f(r)=2r+15解：1)一对一 2)一一对应第5页，共20页，编辑于2022年，星期二3.1 函数的基本概念定义3.2一个函数f:XY，如果Cf=Y，则称为从X到Y的满射(从X到Y上的函数)；否则，就成为从X到Y的内射(从X到Y内的函数)定义3.3一个函数f:XY，如果对任一i,j若xixj则有f(xi)f(xj)则此函数称为从X到Y的单射(从X到Y的一对一函数)；否则，称为多对一函数定义3.4一个函数f:XY，如果它是从X到
4、Y的一一对应函数，则此函数称为X与Y间的双射若X=Y则上述函数称为X的变换第6页，共20页，编辑于2022年，星期二3.1 函数的基本概念例例：确定以下各题的f是否是从A到B的函数，并对其中的函数f:AB 指出它是单射、满射或双射，如果不是，请说明理由(P30)：1)A=1,2,3,4,5,B=6,7,8,9,10,f=(1,8),(3,9),(4,10),(2,6),(5,9);解：是函数，但不是单射，因为有(3,9)(5,9),是多对一函数；不是满射，因为B中7无对应元素，更不是双射.2)A,B同(1),f=(1,8),(3,10),(2,6),(4,9);解：不是函数，因为A中元素5没有
5、与B中元素对应.3)A,B是实数集,f(x)=x2-x;解：是函数，但不是单射，因为有f(0)=f(1)=0,也不是满射，因为对应值域中有无对应的数存在,如-3,更不是双射.(4),(5),(6)作业。第7页，共20页，编辑于2022年，星期二3.2 复合函数、反函数、多元函数定义3.5设函数f:XY,g:YZ，它们所组成复合函数或称复合映射gof，也是一个函数h:XZ，即 h=gof:(x,z)|xX,zZ且至少存在一个yY,有y=f(x),z=g(y).即gof=g(f(x)*函数复合的书写顺序与关系复合正好相反，采用的是从右向左复合的方式，简称左复合函数的复合运算满足结合律，即ho(go
6、f)=(hog)of=hogof第8页，共20页，编辑于2022年，星期二3.2 复合函数、反函数、多元函数定理设函数f:XY,g:YZ，gof是它们的复合映射1)若f和g是满射的，则gof是满射的;2)若f和g是单射的，则gof是单射的;3)若f和g是双射的，则gof是双射的;4)若gof是满射的，则g是满射的5)若gof是单射的，则f是单射的6)若gof是双射的，则g是满射的且f是单射的第9页，共20页，编辑于2022年，星期二3.2 复合函数、反函数、多元函数例：N是自然数集合,f和g是N到N的函数,且f(n)=2n+1,g(n)=n2,求复合函数fof(n)、gog(n)、fog(n)
7、和gof(n).解：fof(n)=f(f(n)=2(2n+1)+1=4n+3gog(n)=g(g(n)=(n2)2=n4fog(n)=f(g(n)=2(n2)+1=2n2+1gof(n)=g(f(n)=(2n+1)2第10页，共20页，编辑于2022年，星期二3.2 复合函数、反函数、多元函数例：设X=0,1,2上由函数f:XX,试按条件f2(x)=f(x),求f的表达式.解：由f2(x)=f(x),得到fof(x)=f(x),取f(x)=y,得f(f(x)=f(y)=f(x)=y即f(x)=x.故f=(0,0),(1,1),(2,2)第11页，共20页，编辑于2022年，星期二3.2 复合函
8、数、反函数、多元函数函数存在反函数的条件是此函数是一一对应的.定义3.6设f:XY是一一对应的函数，则f所构成的逆关系称为f的逆映射或称为f的反函数,记为 f-1:YX定理：设双射函数f:XY,f有逆函数f-1:YX,则有1)(f-1)-1=f2)f-1of=Ix3)fof-1=IY第12页，共20页，编辑于2022年，星期二3.2 复合函数、反函数、多元函数例：求下列函数的逆函数1)f:RR,f(x)=x2)f:0,11/4,3/4,f(x)=x/2+1/43)f:RR,f(x)=x2-24)f:RR,f(x)=2x解：1)f-1(x)=x2)f-1(x)=2x-1/23)不是双射函数，无逆
9、函数4)f-1(x)=log2x第13页，共20页，编辑于2022年，星期二3.2 复合函数、反函数、多元函数定理：设函数f:AB,g:BC,f,g的反函数都存在，则复合函数gof的反函数也存在，且(gof)-1=f-1og-1定义3.7 设有集合X1,X2,Xn及Y，则f:X1X2Xn Y表示从n元有序组X1X2Xn 到Y的一个函数，称其为从X1X2Xn到Y的n元函数，它亦可以表示为f(x1,x2,xn)=y,其中xiXi(i=1,2,n),y Y.第14页，共20页，编辑于2022年，星期二3.2 复合函数、反函数、多元函数例：f和g是集合1,2,3,4到其自身的函数，f(m)=max2,
10、4-m,g(m)=5-m.1)将f和g作为关系Rf,Rg，确定其关系矩阵2)给出RfoRg和Rgof的关系矩阵并作比较3)给出Rf-1和Rg-1的关系矩阵，判断Rf-1和Rg-1是否是函数解：1)第15页，共20页，编辑于2022年，星期二3.2 复合函数、反函数、多元函数2)3)所求关系矩阵即为对应矩阵的转置，如下:可判断Rf-1不是函数，Rg-1是函数第16页，共20页，编辑于2022年，星期二3.2 复合函数、反函数、多元函数单侧逆函数:设函数f:XY,g:YZ,若gof=Ix,则称g是f的左逆元(左逆函数),f是g的右逆元(右逆函数).如果f是双射函数,那么f-1of=Ix且fof-1
11、=IY,因此f-1既是f的左逆元又是f的右逆元，称为双侧逆元.定理：设f:XY,X,那么1)f有左逆元当且仅当f是单射的;2)f有右逆元当且仅当f是满射的;3)f既有左逆元又有右逆元当且仅当f是双射的，且f的左右逆元必相等.第17页，共20页，编辑于2022年，星期二3.3 常用函数介绍定义3.8设有函数 f:AB,若存在一个bB使得对任何aA都有f(a)=b,则称f是从A到B的常值函数.定义3.9 设有函数f:AA，若对任何aA都有f(a)=a,则称函数f:AA为恒等函数.定义3.10设有函数f:RR,其中R为实数集，若对任意a,bR均有ab,必有f(a)f(b)则称函数f为单调递增，若对任意ab,必有f(a)f(b)则称函数f为严格单调递增。类似的可以定义单调递减与严格单调递减函数。第18页，共20页，编辑于2022年，星期二3.3 常用函数介绍定义3.11设有函数f:AB,其中B=0,1,对A的子集A若存在下面的函数关系:则称f是集合A的特征函数.特征函数建立了集合与某特性间的联系，在数学与实际应用中有很大作用.第19页，共20页，编辑于2022年，星期二本章小结函数的基本概念函数的性质单射、满射、双射函数的运算复合运算、逆运算几种特殊的函数常值函数、恒等函数单调递增(减)函数严格单调递增(减)函数特征函数第20页，共20页，编辑于2022年，星期二