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1、第七章模型选择和模型评估 MLE3-1第1页，共39页，编辑于2022年，星期一 MLE3-2上节课内容总结q后验的仿真模拟q贝叶斯推理与MLEm例m令 为 的极大似然估计，在合适的正则条件下，后验均值为q贝叶斯推理的优点m可以方便的结合先验信息m数据和先验同等对待m由后验可以同时推出点估计和区间估计 第2页，共39页，编辑于2022年，星期一 MLE3-3第七章：模型选择和模型评估内容：q估计选择（Ch13）q模型选择 （Ch14，Ch9，统计学习基础第7章）第3页，共39页，编辑于2022年，星期一 MLE3-4估计选择q有几个不同的估计，哪个估计更好一些？m统计决策理论第4页，共39页，
2、编辑于2022年，星期一 MLE3-5损失函数q损失函数：度量真值 与估计 之间的差异q损失函数举例平方误差损失绝对误差损失损失0-1损失Kullback Leibler损失第5页，共39页，编辑于2022年，星期一 MLE3-6风险函数q风险函数：损失的均值q一个估计 的风险是m对平方误差损失，风险为MSEm风险是 的函数q比较不同的估计，转化为比较不同估计的风险m但并不能清楚地回答哪个估计更好第6页，共39页，编辑于2022年，星期一 MLE3-7风险比较没有一个估计的风险在所有的值都超过另外一个第7页，共39页，编辑于2022年，星期一 MLE3-8风险比较q风险函数的两个单值概述q最大
3、风险q贝叶斯风险m其中 为的先验。第8页，共39页，编辑于2022年，星期一 MLE3-9决策规则(Decision Rules)q决策规则是估计的别名q最小化贝叶斯风险的决策规则成为贝叶斯规则或贝叶斯估计，即 为对应先验 f 的贝叶斯估计m其中下界是对所有的估计 计算q最小化最大风险的估计称为最小最大规则m其中下界是对所有的估计 计算第9页，共39页，编辑于2022年，星期一 MLE3-10贝叶斯估计q给定一个模型（先验和后验）和损失函数，就可以找到贝叶斯规则q若 ，则贝叶斯规则为后验均值q若 ，则贝叶斯规则为后验中值q若 为0-1损失，则贝叶斯规则为后验众数第10页，共39页，编辑于202
4、2年，星期一 MLE3-11最小最大规则q找最小最大规则，或者证明一个估计是最小最大估计是一件很困难的事情。但还是有一个简单的方法：有些贝叶斯估计（如风险为常数）是最小最大估计q令 对应先验 f 的贝叶斯估计：q假设q则 为最小最大估计，且f 称为最小受欢迎先验(least favorable prior)。q上述结论一个简单的结果有：如果一个贝叶斯规则的风险为常数 ，则它是最小最大估计。第11页，共39页，编辑于2022年，星期一 MLE3-12MLE为近似最小最大估计q对满足弱正则条件的参数模型，极大似然估计近似为最小最大估计。对均方误差损失，通常q根据Cramer-Rao 不等式，这是所
5、有无偏估计的方差的下界。第12页，共39页，编辑于2022年，星期一 MLE3-13MLE为近似最小最大估计q因此对所有估计 ，有q对大数N，MLE为近似最小最大估计。q因此，对大多数参数模型，当有大量样本时，MLE近似为最小最大估计和贝叶斯估计。mMany Normal Means 情况不成立（不是大样本）第13页，共39页，编辑于2022年，星期一 MLE3-14可接受性(Admissibility)q一个估计如果在所有值上都比其它估计的风险大，则该估计不是我们所希望的。如果存在一个其它的规则 ，使得q则该估计 是不可接受的。q否则，是可接受的。至少存在一个第14页，共39页，编辑于202
6、2年，星期一 MLE3-15可接受性q可接受性是与其他表示估计好坏的方法有何关系？q在一些正则条件下，如果 为贝叶斯规则且有有限风险，则它是可接受的。q如果 的风险为常数且是可接受的，则它是最小最大估计。第15页，共39页，编辑于2022年，星期一 MLE3-16许多正态均值(Many Normal Means)qMany Normal Means是一个原型问题，与一般的非参数回归或密度估计等价。对这个问题，以前许多关于极大似然估计的正面的结论都不再满足。q令 ，表示数据，表示未知参数，qc0，这里参数的数目与观测数据一样多第16页，共39页，编辑于2022年，星期一 MLE3-17Many
7、Normal MeansqMLE为 ，损失函数为 MLE的风险为q最小最大估计的风险近似为 ，且存在这样一个估计 能达到该风险。也就是说，存在风险比MLE更小的估计，因此MLE是不可接受的。在实际应用中，风险的差值可能很重要。q因此对高维问题或非参数问题，MLE并不是最优估计。另外在非参数场合，MLE的鲁棒性也不是很好。第17页，共39页，编辑于2022年，星期一 MLE3-18底线根据这些工具，怎样选择估计呢？q如果一个估计是不可接受的，则该估计一定是不好的。q如果你信仰贝叶斯观点，则你可以用贝叶斯规则q如果最小最大性满足应用要求，可以使用最小最大估计。第18页，共39页，编辑于2022年，
8、星期一 MLE3-19模型选择q给定一个估计和风险函数，应该选择哪个模型/参数？第19页，共39页，编辑于2022年，星期一 MLE3-20“模型”q我们说的“模型”有时指的是模型类别 ，例如所有2个高斯的混合模型和所有3个高斯的混合模型。q有时也指在一个类别的模型中的一员，如参数的值为特定值。也就是说，模型的类别是固定的，而考虑的是不同的参数值。q在实际应用中，我们通常同时考虑上述两种情况，也就是说：第20页，共39页，编辑于2022年，星期一 MLE3-21训练与测试训练数据目标/类别学习模型测试数据应用模型第21页，共39页，编辑于2022年，星期一 MLE3-22训练误差与测试误差q测
9、试误差，亦称泛化误差(generalization error)，是在与训练数据同分布的独立的测试样本上的期望预测误差：q训练误差是在训练样本上的平均损失：第22页，共39页，编辑于2022年，星期一 MLE3-23训练误差与测试误差我们的目标：选择使测试误差最小 的模型M，称为模型选择。第23页，共39页，编辑于2022年，星期一 MLE3-24训练误差与测试误差选择次优模型：过拟合/欠拟合第24页，共39页，编辑于2022年，星期一 MLE3-25训练误差与测试误差训练误差为预测风险的过小估计：第25页，共39页，编辑于2022年，星期一 MLE3-26模型选择和模型评估q为了进行模型选择
10、，我们只需知道不同模型的测试误差的相对值。渐近近似有时对比较不同模型的测试误差很有用。q通常对误差的真值没有很好的估计。当样本有限时，渐近近似通常还不能得到足够好的估计。这种情况下我们可以采用重采样(resampling)方法。q当然如过我们对测试误差有一种很好的方法来直接估计，我们可以用它来进行模型选择。第26页，共39页，编辑于2022年，星期一 MLE3-27训练误差的乐观性q训练误差的乐观性定义为q也就是说，欠估计R(M)的量取决于 yi 影响其预测的强度。我们越难拟合数据，乐观性越大。第27页，共39页，编辑于2022年，星期一 MLE3-28训练误差的乐观性q通常我们有q因此，为了
11、选择模型，我们可以m对 进行估计，或m以某种方式估计R(M)欠拟合程度+复杂性惩罚第28页，共39页，编辑于2022年，星期一 MLE3-29估计乐观性q通过各种技巧（通常是渐近性）估计乐观性第29页，共39页，编辑于2022年，星期一 MLE3-30Mallows Cp统计量q当取平方误差损失，误差模型为 ，其中误差 的均值为0，方差为q其中 为模型中参数的数目。第30页，共39页，编辑于2022年，星期一 MLE3-31Mallows Cp统计量q这样，可以用Mallows Cp统计来估计R(M)q其中 为从一个低偏差（的复杂）估计的MSE获得。第31页，共39页，编辑于2022年，星期一
12、 MLE3-32AIC（Akaike Information Criterion）q假设采用log似然作为损失函数m实际上我们采用的是2l(M)q如果模型为 ，则当 时，q其中 为 的MLE，为训练数据上的似然值第32页，共39页，编辑于2022年，星期一 MLE3-33AIC（Akaike Information Criterion）q这导出R(M)的一个估计：AIC（Akaike Information Criterion）q其中 为从一个低偏差（的复杂）估计的MSE获得。q这同Mallows Cp统计量相同，只是适用假设范围更宽（推广）q但是注意：这并不是普遍满足，如0-1损失。第33页
13、，共39页，编辑于2022年，星期一 MLE3-34贝叶斯模型选择q假设我们有一个候选模型M，其参数空间为 ，后验为q为了比较两个模型M1和M2，可以计算两个模型的相对后验概率，称为后验几率（posterior odds）：q 称为贝叶斯因子(Bayes factor)，是数据对后验的贡献第34页，共39页，编辑于2022年，星期一 MLE3-35BIC(Bayesian Information Criterion)q假设模型的先验是常量且参数的先验平滑，我们用Laplace近似来近似计算 的积分，再加上某些简化，得到q其中 ，为 的MLE。q这导出了另外一个模型选择计分的准则：贝叶斯信息准则
14、(Bayesian Information Criterion，BIC)第35页，共39页，编辑于2022年，星期一 MLE3-36BIC(Bayesian Information Criterion)q当取平方误差损失，误差模型为 ，其中误差 的均值为0，方差为 ，有q得到qBIC(M)，其中因子2被logN代替mAIC倾向于过拟合，而BIC倾向于欠拟合第36页，共39页，编辑于2022年，星期一 MLE3-37BICqAIC不是一致的，而BIC是一致的，也就是说，选择最小BIC的模型等价于选择最大后验概率的模型（在渐近意义下）。事实上模型的后验概率为q不仅可以估计最好的模型，而且可以评估所考虑模型的相关指标。第37页，共39页，编辑于2022年，星期一 MLE3-38最小描述长度MDLq最小描述长度MDL(minimum description length)采用与BIC完全相同的选择准则，但它源自数据压缩/最优编码qBIC与MDL都只适用于似然损失。第38页，共39页，编辑于2022年，星期一 MLE3-39下节课内容qVC维与结构风险最小(Chp23)q重采样技术(Chp9)mBoostrapq模型组合(Chp23)mBaggingmBoosting第39页，共39页，编辑于2022年，星期一