第五章刚体PPT讲稿.ppt

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1、第五章刚体第1页，共55页，编辑于2022年，星期三 平动平动当刚体运动时，当刚体运动时，刚体内任意一条固定直线刚体内任意一条固定直线始终保持方向不变。始终保持方向不变。5.1.2 刚体的基本运动形式刚体的基本运动形式平动和转动平动和转动第2页，共55页，编辑于2022年，星期三 转动转动 刚体运动时，其上各点都绕同一直刚体运动时，其上各点都绕同一直线作圆周运动。线作圆周运动。第3页，共55页，编辑于2022年，星期三 在转动过程中，刚体的转轴始终在转动过程中，刚体的转轴始终不动。不动。5.2 刚体定轴转动的角位移、角速度和角加刚体定轴转动的角位移、角速度和角加速度速度 5.2.1 角位移、角

2、速度和角加速度角位移、角速度和角加速度定轴转动定轴转动 第4页，共55页，编辑于2022年，星期三 一般规定，当刚体的转向和右手螺旋转向一一般规定，当刚体的转向和右手螺旋转向一致时，旋柄前进的方向代表角位移的方向。致时，旋柄前进的方向代表角位移的方向。刚体上任意一点到转轴的垂直连线与一刚体上任意一点到转轴的垂直连线与一过转轴的参考直线之间的夹角过转轴的参考直线之间的夹角 定义为刚体定义为刚体角坐标，刚体在转动过程中，该垂直连线在角坐标，刚体在转动过程中，该垂直连线在一定时间间隔内转过的角度定义为这个时间一定时间间隔内转过的角度定义为这个时间间隔内的角位移，通常用间隔内的角位移，通常用 表示。常

3、用单位表示。常用单位为弧度。为弧度。第5页，共55页，编辑于2022年，星期三平均角速度平均角速度角速度的方向与角位移的方向一致，常用单位为角速度的方向与角位移的方向一致，常用单位为弧度弧度/秒。秒。平均角加速度平均角加速度瞬时角速度瞬时角速度瞬时角加速度瞬时角加速度第6页，共55页，编辑于2022年，星期三角加速度的方向与角速度的变化方向相同，常角加速度的方向与角速度的变化方向相同，常用单位为弧度用单位为弧度/秒秒2。例例 求求 时时 ,的匀变速转动刚体的匀变速转动刚体 的运动规律。的运动规律。第7页，共55页，编辑于2022年，星期三 5.2.2 线量与角量的关系线量与角量的关系 角量角量

4、 角位移、角速度和角加速度角位移、角速度和角加速度线量线量 位移、速度和加速度位移、速度和加速度（局部量）（局部量）（整体量）（整体量）o o第8页，共55页，编辑于2022年，星期三第9页，共55页，编辑于2022年，星期三第10页，共55页，编辑于2022年，星期三 5.3 刚体的动能刚体的动能 转动惯量转动惯量 5.3.1 刚体的动能刚体的动能 刚体对转轴的转动惯量刚体对转轴的转动惯量 第第 个质点对转轴的转动惯量个质点对转轴的转动惯量第11页，共55页，编辑于2022年，星期三 5.3.2 刚体转动惯量的计算刚体转动惯量的计算 例例1 用长为用长为1m的硬而轻的杆将两个质量各为的硬而轻

5、的杆将两个质量各为5kg的铅球连成哑铃，为计算方便，将两球视为质的铅球连成哑铃，为计算方便，将两球视为质点，试确定哑铃的点，试确定哑铃的:(1)绕通过中心绕通过中心o且垂直于杆且垂直于杆的转轴的转动惯量；的转轴的转动惯量；(2)绕通过一球且垂直于杆绕通过一球且垂直于杆的转轴的转动惯量。的转轴的转动惯量。第12页，共55页，编辑于2022年，星期三解：（解：（1）第13页，共55页，编辑于2022年，星期三(2)同理，当转轴移至同理，当转轴移至B处，有处，有第14页，共55页，编辑于2022年，星期三例例2 一飞轮质量为一飞轮质量为M=200kg，以每分钟以每分钟120转的角转的角速度绕几何中心

6、轴转动，速度绕几何中心轴转动，1）飞轮的质量可以）飞轮的质量可以看作分布在半径看作分布在半径R=0.5m的轮缘上，求飞轮的动的轮缘上，求飞轮的动能；能；2）如果质量是分布在半径）如果质量是分布在半径R=0.5m的圆盘上，的圆盘上，结果如何？结果如何？解：解：刚体的转动动能公式：刚体的转动动能公式：（1）第15页，共55页，编辑于2022年，星期三则有则有（2）第16页，共55页，编辑于2022年，星期三例例3 细杆长为细杆长为 ，质量为，质量为 ，求垂直于杆并，求垂直于杆并过杆中心的轴的转动惯量和垂直于杆并过杆过杆中心的轴的转动惯量和垂直于杆并过杆的一端的轴的转动惯量。的一端的轴的转动惯量。第

7、17页，共55页，编辑于2022年，星期三解：解：中心轴中心轴一端轴一端轴第18页，共55页，编辑于2022年，星期三 5.3.3 转动惯量的平行轴定理转动惯量的平行轴定理 dC例例 已知长为已知长为 质量为质量为 的细的细杆，垂直于杆并过杆质心的杆，垂直于杆并过杆质心的轴的转动惯量为轴的转动惯量为垂直于杆并过杆的一端的轴的转垂直于杆并过杆的一端的轴的转动惯量动惯量第19页，共55页，编辑于2022年，星期三 影响刚体转动惯量的因素影响刚体转动惯量的因素 1.刚体的总质量刚体的总质量 2.刚体的质量分布刚体的质量分布 3.刚体转轴的位置刚体转轴的位置 5.4 力矩力矩 力矩的功力矩的功 5.4

8、.1 力矩力矩 刚体的转动状态不仅与所施力的大小有关，刚体的转动状态不仅与所施力的大小有关，而且与力的作用点的位置及力的作用方向有关。而且与力的作用点的位置及力的作用方向有关。单位：单位：kg/m2第20页，共55页，编辑于2022年，星期三例例 （a）（b）（c）第21页，共55页，编辑于2022年，星期三5.4.2 力矩的功力矩的功.o恒力矩做功等于力矩和角位移的乘积，变力矩做恒力矩做功等于力矩和角位移的乘积，变力矩做功应用不变代变的思想，即功应用不变代变的思想，即第22页，共55页，编辑于2022年，星期三 5.5 转动定律转动定律 刚体转动的动能定理刚体转动的动能定理 5.5.1 转动

9、定律及动能定理转动定律及动能定理牛顿第二定律在切向牛顿第二定律在切向上的投影式：上的投影式：两边同乘两边同乘 第23页，共55页，编辑于2022年，星期三刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度和它所受的刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度和它所受的合外力矩成正比，和它相对于转轴的转动惯量成合外力矩成正比，和它相对于转轴的转动惯量成反比。反比。求和求和转动定律转动定律:考虑到考虑到 ，有，有第24页，共55页，编辑于2022年，星期三定轴转动的动能定理：定轴转动的动能定理：5.5.2 转动惯量的物理意义转动惯量的物理意义刚体的转动惯量是刚体转动惯性的量度刚体的转动惯量是刚体转动惯性的量度,它与刚体它与刚体

10、的总质量、质量分布及转轴位置有关。的总质量、质量分布及转轴位置有关。第25页，共55页，编辑于2022年，星期三 5.6 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律 5.6.1 质点的角动量质点的角动量(1)质点对固定点质点对固定点O的角动量的角动量P m LOr 人们发现，一个质点相对于空间某点的力矩人们发现，一个质点相对于空间某点的力矩为零时，存在一个物理量不变，该物理量定义为零时，存在一个物理量不变，该物理量定义为质点相对于该空间点的角动量。为质点相对于该空间点的角动量。第26页，共55页，编辑于2022年，星期三 (2)质点所受的外力对质点所受的外力对O点的合外力矩点的合外力矩质点对圆

11、心的角动量质点对圆心的角动量行星在公转轨道上的角动量行星在公转轨道上的角动量MOrp第27页，共55页，编辑于2022年，星期三角动量随时间的变化率角动量随时间的变化率5.6.2 质点的角动量定理质点的角动量定理根据根据,有有 质点所受的合力矩，等于质点所受的合力矩，等于它的角动量对时间的变化率。它的角动量对时间的变化率。质点的角动量定理质点的角动量定理 第28页，共55页，编辑于2022年，星期三或或质点所受的合力矩对时间的累积效应，等于质点所受的合力矩对时间的累积效应，等于它的角动量的增量。它的角动量的增量。5.6.2 质点系的角动量定理质点系的角动量定理 质点系对惯性系中某一固定点质点系

12、对惯性系中某一固定点O的角动量为的角动量为第29页，共55页，编辑于2022年，星期三 质点系所受的合外质点系所受的合外力矩，等于它的角动量对时间的变化率。力矩，等于它的角动量对时间的变化率。质点系的角动量定理质点系的角动量定理进而推广到刚体，角动量定理的形式不变。进而推广到刚体，角动量定理的形式不变。第30页，共55页，编辑于2022年，星期三 在刚体转动中在刚体转动中 代表刚体的转动运动强度，代表刚体的转动运动强度，称为刚体对某一转轴的角动量（动量矩），称为刚体对某一转轴的角动量（动量矩），用用 表示，即表示，即 5.6.4 刚体的角动量刚体的角动量5.6.5 角动量守恒定律角动量守恒定律

13、由角动量定理由角动量定理当当第31页，共55页，编辑于2022年，星期三 如果系统所受的合外力矩如果系统所受的合外力矩为零，则该系统为零，则该系统的总角动量守恒。的总角动量守恒。角动量守恒条件是合外力矩为零。角动量守恒条件是合外力矩为零。M外外和和 L 必须是对惯性系中的同一转轴。必须是对惯性系中的同一转轴。若系统所受的外力是中心力，且转轴过若系统所受的外力是中心力，且转轴过力心，有力心，有 系统的角动量守恒。系统的角动量守恒。第32页，共55页，编辑于2022年，星期三 例例1 一人坐在一个可绕无摩擦铅直轴转动一人坐在一个可绕无摩擦铅直轴转动的转台上，他将双臂水平伸直，并且每只手中的转台上，

14、他将双臂水平伸直，并且每只手中各拿各拿5kg重的哑铃，起初他以重的哑铃，起初他以弧弧/秒的角速度转秒的角速度转动，之后将两手靠近身躯，人的身体与转台的转动，之后将两手靠近身躯，人的身体与转台的转动惯量恒为动惯量恒为1.6kgm2,设最初两哑铃离转轴的距设最初两哑铃离转轴的距离各为离各为0.8m，最后的距离为，最后的距离为0.2m，试求最后的角，试求最后的角速度（胳膊质量忽略不计）。速度（胳膊质量忽略不计）。第33页，共55页，编辑于2022年，星期三解：解：角动量守恒角动量守恒 始：始：末：末：第34页，共55页，编辑于2022年，星期三 例例2 一根长为一根长为L，质量为，质量为M的均匀直棒

15、，一端挂在水平光的均匀直棒，一端挂在水平光滑轴上并静止在竖直位置。今滑轴上并静止在竖直位置。今有一子弹有一子弹,质量为质量为 m,以水平速以水平速度度vo射入棒的下端。求棒和子射入棒的下端。求棒和子弹开始一起运动时的角速度弹开始一起运动时的角速度及棒的最大偏转角。及棒的最大偏转角。o第35页，共55页，编辑于2022年，星期三解解:系统的动量不守恒系统的动量不守恒!角动量守恒角动量守恒!mLvo=mLv+J v=L=3m3m+Mvo L射入后的过程，对于原射入后的过程，对于原系统系统+地球满足机械能守地球满足机械能守恒，取子弹射入位置为零势点，有恒，取子弹射入位置为零势点，有E1=E2第36页

16、，共55页，编辑于2022年，星期三第37页，共55页，编辑于2022年，星期三CO例例3 一一匀匀质质细细棒棒长长为为 l，质质量量为为m，可可绕绕通通过过其其端端点点O 的的水水平平轴轴转转动动，如如图图所所示示。当当棒棒从从水水平平位位置置自自由由释释放放后后，它它在在竖竖直直位位置置上上与与放放在在地地面面上上的的物物体体相相撞撞。该该物物体体的的质质量量也也为为m，它它与与地地面面的的摩摩擦擦系数为系数为。相撞后，物体沿地面滑行一距离。相撞后，物体沿地面滑行一距离 s 而停而停止。求相撞后棒的质心止。求相撞后棒的质心C离地离地面的最大高度面的最大高度h，并说明棒在，并说明棒在碰撞后将

17、向左摆或向右摆的条碰撞后将向左摆或向右摆的条件。件。第38页，共55页，编辑于2022年，星期三 第一阶段是棒自由摆落的过程。这时除重力第一阶段是棒自由摆落的过程。这时除重力外，其余内力与外，其余内力与外力都不作功，所以机械能守外力都不作功，所以机械能守恒。取棒在竖直位置时质心所在处为重力势能恒。取棒在竖直位置时质心所在处为重力势能零点，用零点，用 表示棒这时的角速度，则表示棒这时的角速度，则解：解：（1）这个问题可分为三个阶段进行分析。这个问题可分为三个阶段进行分析。第39页，共55页，编辑于2022年，星期三 第第二二阶阶段段是是碰碰撞撞过过程程。因因碰碰撞撞时时间间极极短短，产产生生的的

18、冲冲力力极极大大，物物体体所所受受地地面面的的摩摩擦擦力力可可以以忽忽略略。这这样样，棒棒与与物物体体相相撞撞时时，它它们们组组成成的的系系统统所所受受到到的的对对转转轴轴O的的合合外外力力矩矩为为零零，所所以以，此此系系统统对对轴轴O的的角角动动量量守守恒恒。用用 v表表示示物物体体碰碰撞撞后后的速度，则的速度，则（2）第40页，共55页，编辑于2022年，星期三式式中中 可可正正可可负负，是是棒棒在在碰碰撞撞后后的的角角速速度度。取取正正值值，表表示示碰碰后后棒棒继继续续向向左左摆摆；反反之之，表表示示棒向右摆。棒向右摆。第第三三阶阶段段是是碰碰撞撞后后物物体体的的滑滑行行过过程程。物物体

19、体作作匀减速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为匀减速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为由匀减速直线运动的公式得由匀减速直线运动的公式得（3）（4）第41页，共55页，编辑于2022年，星期三由上述四式联合求解，即得由上述四式联合求解，即得（5）当当 取负值时棒取负值时棒向右摆向右摆，其条件为，其条件为当当 取正值时棒取正值时棒向左摆向左摆，其条件为，其条件为，亦即，亦即l 6 s；第42页，共55页，编辑于2022年，星期三棒棒的的质质心心C上上升升的的最最大大高高度度与与第第一一阶阶段段情情况况相相似似，也可由机械能守恒定律求得：也可由机械能守恒定律求得：（6）把式把式 代入上式，所求结

20、果为代入上式，所求结果为(5)(5)当棒静止则当棒静止则=0，其条件为，其条件为，亦即，亦即l=6 s第43页，共55页，编辑于2022年，星期三例例4 一一轻轻绳绳跨跨过过一一定定滑滑轮轮，滑滑轮轮视视为为圆圆盘盘，绳绳的的两两端端分分别别悬悬有有质质量量为为m1和和m2的的物物体体，m1m1，物，物体体1向向上运动，物体上运动，物体2向下向下运动，滑轮以顺时针方向运动，滑轮以顺时针方向旋转，旋转，Mr的指向垂直于屏的指向垂直于屏幕向外。幕向外。T2 T1 T1T2m2gm1gaa第45页，共55页，编辑于2022年，星期三取转轴向内为正方向，可列出下列方程：取转轴向内为正方向，可列出下列方

21、程：式式中中是是滑滑轮轮的的角角加加速速度度，a是是物物体体的的加加速速度度。滑滑轮轮边边缘缘上上的的切切向向加加速速度度和和物物体体的的加加速速度度相相等等，即即第46页，共55页，编辑于2022年，星期三由以上各式可解得由以上各式可解得第47页，共55页，编辑于2022年，星期三第48页，共55页，编辑于2022年，星期三 本本题题中中的的装装置置叫叫阿阿特特伍伍德德机机，是是一一种种可可用用来来测测量量重重力力加加速速度度g的的简简单单装装置置。因因为为在在已已知知m1、m2、r和和J的的情情况况下下，能能通通过过实实验验测测出出物物体体1和和2的的加加速速度度a，再再通通过过加加速速度

22、度把把g算算出出来来。在在实实验验中中可可使使两两物物体体的的m1和和m2相相近近，从从而而使使它它们们的的加加速速度度a和和速速度度v都都较较小小，这这样样就就能能较较精精确确地地测测出出a来。来。第49页，共55页，编辑于2022年，星期三例例5 工工程程上上常常用用摩摩擦擦啮啮合合器器使使两两飞飞轮轮以以相相同同的的转转速速一一起起转转动动。如如图图所所示示，A和和B两两飞飞轮轮的的轴轴杆杆在在同同一一中中心心线线上上，A轮轮的的转转动动惯惯量量为为JA=10kg m2，B轮轮的的转转动动惯惯量量为为JB=20kg m2。开开始始时时A轮轮的的转转速速为为600r/min，B轮轮静静止止

23、。C为为摩摩擦擦啮啮合合器器。求求两两轮轮啮啮合合后后的的转转速速；在在啮啮合过程中，两轮的机械能有何变化？合过程中，两轮的机械能有何变化？A ACBACB第50页，共55页，编辑于2022年，星期三式中式中 为两轮啮合后共同转动的角速度，于是为两轮啮合后共同转动的角速度，于是 解：解：以飞轮以飞轮A、B和啮合器和啮合器C作为一系统来考虑，在作为一系统来考虑，在啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的切啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴有力向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩，矩，但

24、为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩，所以系统的角动量守恒。由角动量守恒定律可得所以系统的角动量守恒。由角动量守恒定律可得第51页，共55页，编辑于2022年，星期三或共同转速为或共同转速为在在啮啮合合过过程程中中，摩摩擦擦力力矩矩作作功功，所所以以机机械械能能不不守守恒恒，部部分机械能将转化为热量，损失的机械能为分机械能将转化为热量，损失的机械能为以各量的数值代入得以各量的数值代入得第52页，共55页，编辑于2022年，星期三 例例6 一一半半径径为为R，质质量量为为m的的匀匀质质圆圆盘盘，平平放放在在粗粗糙糙的的水水平平桌桌面面上上。设设盘盘与与桌桌面面间间的的摩摩擦擦系系数数为为，令令

25、圆圆盘盘最最初初以以角角速速度度 绕绕通通过过中中心心且且垂垂直直盘盘面面的的轴轴旋旋转转，问它经过多少时间才停止转动？问它经过多少时间才停止转动？rRdr e第53页，共55页，编辑于2022年，星期三因因m=e R2，代入得，代入得解解：由由于于摩摩擦擦力力不不是是集集中中作作用用于于一一点点，而而是是分分布布在在整整个个圆圆盘盘与与桌桌子子的的接接触触面面上上，力力矩矩的的计计算算要要用用积积分分法法。在在图图中中，设设e为为盘盘的的厚厚度度，把把圆圆盘盘看看成成许许多多半半径径不不同同的的同同心心环环带带的的集集合合，每每个个环环带带的的质质量量为为dm=e2 rdr，所受到的阻力矩是，所受到的阻力矩是r gdm，则有，则有 第54页，共55页，编辑于2022年，星期三设圆盘经过时间设圆盘经过时间 t 停止转动，则有停止转动，则有由此求得由此求得根根据据定定轴轴转转动动定定律律，阻阻力力矩矩使使圆圆盘盘减减速速，即即获获得得负负的的角角加速度，有加速度，有第55页，共55页，编辑于2022年，星期三