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1、-吴扬扬-1主要内容：主要内容：p半群同态半群同态n定义定义n性质性质p群群n定义定义n判定定理判定定理-吴扬扬-28.1 8.1 半群和独异点半群和独异点 3.3.半群同态（半群同态（2 2）其中其中:fx:SS,y S,fx(y)=x yp性质性质n定理定理8.1.2 半群半群与与同态。同态。例例3:半群半群,其中，其中，S=a,b,c,定义为：定义为：a b ca a b cb b c ac c a b定义定义到到同态映射同态映射h:SSS,x S,h(x)=fx即即 h(a)=fah(b)=fbh(c)=fc其中其中,fa：SS，fa(a)=a a=a,fa(b)=a b=b,fa(c
2、)=a c=cfb：SS，fb(a)=b a=b,fb(b)=b b=c,fb(c)=b c=afc：SS，fc(a)=c a=c,fc(b)=c b=a,fc(c)=c c=b-吴扬扬-38.1 8.1 半群和独异点半群和独异点 3.3.半群同态（半群同态（3 3）n 定理定理8.1.3 任意独异点都同构于某一变换独异点。任意独异点都同构于某一变换独异点。即即必与必与的某个子独异点同构。的某个子独异点同构。pp.159证明证明其中其中:fa:SS,b S,fa(b)=a b a,b S,c S,h(a b)=h(a)oh(b)fa b(c)=(a b)c且且faofb(c)=fa(fb(c)
3、=fa(b c)=a(b c)=(a b)c fa b(c)=faofb(c)fa b=faofb故故h是从是从到到的半群同态。的半群同态。n 定理定理8.1.2：半群：半群与与同态。同态。证明证明:定义定义h:SSS,a S,h(a)=fa,48.2 8.2 群的定义及性质群的定义及性质 1.1.群的定义群的定义p群群:设设为独异点，如果为独异点，如果 a G,a都可逆，则称都可逆，则称为群。为群。*结合律结合律 有单位元有单位元 每个元素皆可逆每个元素皆可逆p平凡群、阿贝尔群平凡群、阿贝尔群(可交换群可交换群)(pp.160)例例1：下列代数系统能否成为群，为什么？：下列代数系统能否成为群
4、，为什么？R=0o,60o,120o,180o,240o,300o,*:a,b R,a*b表示将平面图表示将平面图 绕形心连续旋转角度绕形心连续旋转角度a和和b,旋转旋转360回到原来状态。回到原来状态。*0o 60o 120o 180o 240o 300o0o 60o120o180o240o300o 0o 60o 120o 180o 240o 300o 60o 120o 180o 240o 300o 0o 120o 180o 240o 300o 0o 60o 180o 240o 300o 0o 60o 120o 240o 300o 0o 60o 120o 180o 300o 0o 60o 1
5、20o 180o 240o-吴扬扬-58.2 8.2 群的定义及性质群的定义及性质 2.2.群的判定群的判定(1)(1)p定理定理8.2.1 设设为半群，若满足下列条件，则为半群，若满足下列条件，则为群为群 (1)有左单位元有左单位元el，即，即 el G,a G,el a=a；(2)每个元素都有左逆元每个元素都有左逆元,既既 a G,al G,al a=el证明证明:a G,al G 必有必有a G,使使a al=el a el=a el(al a)=a(al a)=el a=a el就是单位元就是单位元(2)每个元素都有逆元每个元素都有逆元 a al =el(a al)=(a al)(a
6、al)=a el al=el al是是a的逆元的逆元.因此，因此，是群。是群。(每个元素都有左逆元每个元素都有左逆元)(1)有单位元有单位元 el(a el)=(el a)el=(a al)a)(al a)=(a(al a)(al a)=a al-吴扬扬-68.2 8.2 群的定义及性质群的定义及性质 2.2.群的判定群的判定(2)(2)p定理定理8.2.2 设设为半群为半群,若若 a,b G,方程方程a x=b和和y a=b都有解，都有解，则则为群。为群。证明证明:(1)有左单位元有左单位元 取取a G,则则y a=a的解为的解为左单位元，记作：左单位元，记作：el b G,a x=b有解，
7、有解，设设c为其中的一个解，为其中的一个解，el b=el(a c)=(el a)c=a c=b因此，因此，el是是左单位元左单位元(2)每个元素都有左逆元每个元素都有左逆元 a G,y a=el的解即为的解即为a的的左逆元。左逆元。由定理由定理8.2.1可得可得:为群。为群。则则 a c=b-吴扬扬-78.2 8.2 群的定义及性质群的定义及性质 2.2.群的判定群的判定(3)(3)p定理定理8.2.3 设设为有限半群为有限半群,若若G满足消去律满足消去律,则则为群。为群。证明证明:设设G=a1,a2,an,a,b G,令令 G=a a1,a a2,a an,则则G G G满足消去律满足消去律,i,j 1,n,若若aiaj,则则 a aia aj|G|=|G|因此因此,G=G b G即存在即存在k 1,n,使得使得a ak=b 即即ak是方程是方程a x=b的解的解同理可证同理可证:a,b G,方程方程y a=b在在G中也有解。中也有解。由定理由定理8.2.2可得：可得：为群。为群。-吴扬扬-8作业作业:P P159159 4,6,4,6,P P163163 2 2