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1、一、凑微分法一、凑微分法例例 计算计算分析分析:如果能把被积表达式改变一下如果能把被积表达式改变一下,使得被积函数的变量与使得被积函数的变量与积分变量变得相同积分变量变得相同,那么就可用公式那么就可用公式求出此不定积分求出此不定积分.(u是是x的函数的函数)不同！不同！5.3 5.3 基本积分法基本积分法1注注:这种方法的实质是当被积函数为复合函数时这种方法的实质是当被积函数为复合函数时,可采用可采用 恒等变形将原来的微分恒等变形将原来的微分dx凑成新的微分凑成新的微分d d(x x)(可不必换元可不必换元),使原积分变成一个可直接用积分公式来计算使原积分变成一个可直接用积分公式来计算.这种方
2、法称为凑微分法这种方法称为凑微分法.其理论依据为其理论依据为2定理定理4 4 注：注：定理定理4 4中中,若若u u为自变量时为自变量时,当然有当然有 当当u 换为换为(x)时时,就有就有成立成立.不定积分的这一性质称为不定积分的这一性质称为积分形式的不变性积分形式的不变性.2 2、步骤：凑微分法的关键是、步骤：凑微分法的关键是“凑凑”,“”,“凑凑”的目的是把不易计算的的目的是把不易计算的不定积分化为容易用不定积分化为容易用“直接计算法直接计算法”计算或查表计算的计算或查表计算的不定积分：不定积分：成立成立;证证：（第（第3 3、4 4步可以省略）步可以省略）1、公式公式：3常见的凑微分公式
3、：常见的凑微分公式：4例例8 求下列各式的不定积分结论结论1:56例例9 求下列各式的不定积分求下列各式的不定积分结论结论2:同理可得7例例10 求下列各式的不定积分8结论结论3:注：注：若被积函数的一部分若被积函数的一部分(x x)的导数是另一个因子的导数是另一个因子 （位于分子），（位于分子），则可以这样凑微分则可以这样凑微分：9或原式或原式同理可得同理可得10例例11 求下列各式的不定积分求下列各式的不定积分同理可得同理可得结论结论4:一般地一般地,对形如对形如这样的不定积分这样的不定积分当当n为偶数时应先降次后再积分；当为偶数时应先降次后再积分；当n为奇数时应先凑微分为奇数时应先凑微分
4、再积分；再积分；11一般地一般地,对形如对形如这样的不定积分这样的不定积分若若nmnm，且一奇一偶时，则应凑奇次幂的三角函数；，且一奇一偶时，则应凑奇次幂的三角函数；若同为偶，则化为若同为偶，则化为对形如这样的不定积分应先积化和差后再积分对形如这样的不定积分应先积化和差后再积分.则化为则化为 来积分来积分12注注:对于同一个不定积分对于同一个不定积分,采用的方法不同采用的方法不同,有时得到的原函数有时得到的原函数的表达式就完全不同的表达式就完全不同,但这些不同的表达式之间仅相差一个但这些不同的表达式之间仅相差一个常数常数.如如法一:法二:法三:例例12(1)设函数设函数(x)的一个原函数是的一
5、个原函数是arctanx,求不定积分求不定积分解解 由题意知由题意知则则13(2)若己若己知知,求：求：1415课堂练习课堂练习:求下列各式求下列各式1617注注:用直接积分和凑微分法是不易计算此积分的用直接积分和凑微分法是不易计算此积分的.但作变但作变换换二、第二类换元法二、第二类换元法18定理定理5 5 设函数设函数(x)连续连续,x=(t)单调且有连续的导函数单调且有连续的导函数 ,而而证明即则1、公式公式19注注1 换元积分法是先换元换元积分法是先换元,再积分再积分,最后回代最后回代.这与凑微分法这与凑微分法(先凑后换元先凑后换元)不一样不一样。重点不同，目。重点不同，目标标相同。相同
6、。注注2 求解步求解步骤为骤为：2、注意、注意203、常用换元公式：、常用换元公式：（1 1）.被积函数含有被积函数含有 的因子时的因子时,可令可令化简函数后再积分化简函数后再积分.例例14 求下列各式求下列各式2122（2 2）.被积函数含有被积函数含有 的因子时的因子时,可作可作三角变换三角变换,利用三角函数恒等式使二次根式有理化利用三角函数恒等式使二次根式有理化.tax例15 求下列各式23tax如图24tax25（3 3）.倒代换倒代换 当被积函数的分母的次数与分子的次数之差当被积函数的分母的次数与分子的次数之差大于大于1 1时时,利用倒代换可消去被积函数分母中的变量因子利用倒代换可消
7、去被积函数分母中的变量因子x.x.例例16 求26例17 求法一:三角代换令法二:根式代换令法三:凑微分法,原式=原式=tx127法四法四:倒代换令倒代换令注：通注：通过上述几种积分方法的学习过上述几种积分方法的学习,可将以下几个公式补可将以下几个公式补充在充在基本积分表里基本积分表里：2829定理定理5 5 设函数设函数u=u(x)u=u(x)及及v=v(x)v=v(x)具有连续的导数具有连续的导数,则则直接积分和换元积分法可以解决大量的不定积分的计算问直接积分和换元积分法可以解决大量的不定积分的计算问题题;但对形如但对形如等类型的不定积分等类型的不定积分,采用这两种方法却无法采用这两种方法
8、却无法.换元积分法是在复合函数求导法则换元积分法是在复合函数求导法则的基础上得到的的基础上得到的,下面利用两个函数乘积的求导法则来推得下面利用两个函数乘积的求导法则来推得分部积分法分部积分法.证证 由由 d(uv)=vdu+udv,得得 udv=d(uv)vdu,对此式两边同时求不定积分对此式两边同时求不定积分,得得1、公式、公式三、分部积分法三、分部积分法30而不定积分而不定积分 易计算易计算,则可采用分部积分公式则可采用分部积分公式,使计算大为简化使计算大为简化.注注1:1:不定积分不定积分 不易计算不易计算,例例18 求求解解 (1)设设u=lnx,dv=dx,则则v=x,由分部积分公式
9、得由分部积分公式得2、步骤：步骤：注注2 2：如何正确地选定如何正确地选定u u和和v v却显得非常重要却显得非常重要.一般说来要一般说来要考虑以下三点考虑以下三点:积分容易者选作积分容易者选作dv;求导容易者选作求导容易者选作u;不可兼得时以前者为优先。不可兼得时以前者为优先。31例例19 求求否则若否则若 比原积分更难积出比原积分更难积出.32例例20 求下列不定积分求下列不定积分3334练习：练习：35例例21 求求这是一个关于这是一个关于 的方程的方程,移项并两边同除以移项并两边同除以2,得得移项移项:3637例22 求解 令注注:有些不定积分需要将积分的几种方法综合起来使用有些不定积分需要将积分的几种方法综合起来使用.38(4)设设 f(x)有连续的二阶导函数，求有连续的二阶导函数，求 39是是f(x)的一个原函数的一个原函数,求求解解 又已知又已知(5)已知已知是是f(x)的一个原函数的一个原函数 40一般可用分部积分法求积分的类型一般可用分部积分法求积分的类型:41