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1、第四章表象理论第1页，此课件共37页哦三个公式：平均值公式三个公式：平均值公式 本征值方程本征值方程 薛定谔方程薛定谔方程 在任意表象中的表示在任意表象中的表示幺正变换应作为综合性内容，重点掌握其性质幺正变换应作为综合性内容，重点掌握其性质表象理论中采用的数学工具主要是矩阵表象理论中采用的数学工具主要是矩阵 矩阵力学矩阵力学（海森堡（海森堡 Heisenberg）前称波动力学前称波动力学 1 态在任意表象中的表示态在任意表象中的表示 1.1 Q表象的形成表象的形成 首先考虑，在坐标表象中力学量算符首先考虑，在坐标表象中力学量算符 的本征函数构的本征函数构成正交归一完备系成正交归一完备系 ，其本
2、征值譜为，其本征值譜为 ；体系状态；体系状态用归一化波函数用归一化波函数 描述，将其展开为力学量描述，将其展开为力学量 的本征函的本征函数的叠加数的叠加 （1）（2）第2页，此课件共37页哦 并且并且 （3）说明：（说明：（1）表示（给出）量子态在表示（给出）量子态在 时刻测量粒时刻测量粒 子坐标为子坐标为 的概率的概率 表示（给出）在该量子态中测量粒子的表示（给出）在该量子态中测量粒子的 力学量力学量 所得结果为所得结果为 的概率的概率 二者从二者从不同角度不同角度对对同一量子态同一量子态给予描述给予描述 物理意义是等价的物理意义是等价的 数学上也是等价的数学上也是等价的 （2）一般不再是坐
3、标一般不再是坐标 的函数的函数 而是力学量而是力学量 的本征值的本征值 的函数，即量子数的函数，即量子数 的函数，随的函数，随 的不同取不同复数值的不同取不同复数值.第3页，此课件共37页哦1.2 表象中态函数的表示（态的表象中态函数的表示（态的 表象）表象）是从力学量是从力学量 的角度描述量子态的波函数的角度描述量子态的波函数 为量子态在为量子态在 表象中的表示（波函数）表象中的表示（波函数）以以 表示这一量子态，则该态在表示这一量子态，则该态在 表象中的表示表象中的表示 可写成一列矩阵形式可写成一列矩阵形式 （4）共厄矩阵为共厄矩阵为 （5）第4页，此课件共37页哦体系的归一化条件体系的归
4、一化条件 写为矩阵形式为写为矩阵形式为 （6）1.3讨论讨论 （1）表象中状态的描述表象中状态的描述 依赖于坐标表象中力学依赖于坐标表象中力学 量量 的本征函数系的本征函数系 ，每一个，每一个 必定给出必定给出 在在 表象中的一个对应数表象中的一个对应数 ，可见，可见 几何空间坐标轴几何空间坐标轴 表象的基矢表象的基矢 几何空间中的矢量几何空间中的矢量 态矢态矢 态矢态矢 在在 表象基矢上的分量表象基矢上的分量 构成了构成了 在在 表象中的表示表象中的表示，由于由于 构成的空间维数可以是无穷的，甚至是不可数的构成的空间维数可以是无穷的，甚至是不可数的 希希尔伯特空间（态空间）尔伯特空间（态空间
5、）（2）对于连续谱）对于连续谱 是连续的，写成函数形式是连续的，写成函数形式 矩阵行列不可数矩阵行列不可数 第5页，此课件共37页哦（3）力学量算符）力学量算符 的本征函数的本征函数 在在 表象中表象中 （自身表象）（自身表象）符号符号 即即 的本征值为分离谱时，其本征矢的本征值为分离谱时，其本征矢 在自身表象中的在自身表象中的 矩阵表示为矩阵表示为 （7）态矢的矩阵形式仍为态矢的矩阵形式仍为注意注意：当：当 的本征值为连续谱时，的本征值为连续谱时，其本征矢其本征矢 在自身表象中为在自身表象中为 函数函数 第6页，此课件共37页哦（4）所谓）所谓 表象的基矢，应该是一组力学量完全集决定的本征态
6、，例表象的基矢，应该是一组力学量完全集决定的本征态，例如在如在 三者的共同表象中，基矢为三者的共同表象中，基矢为 即共同本征函数系为即共同本征函数系为1.4 特例特例（1）动量表象）动量表象.以力学量完全集以力学量完全集 的共同本征函数的共同本征函数 作为基矢，则任意态作为基矢，则任意态 第7页，此课件共37页哦动量本征值为连续谱，若具体给出状态为动量本征值为连续谱，若具体给出状态为平面单色波平面单色波 这是动量算符的本征值为这是动量算符的本征值为 的本征态（在坐标表象中的表的本征态（在坐标表象中的表示，示，自由粒子波函数自由粒子波函数），它在动量表象的表示为），它在动量表象的表示为 （8）即
7、自身表象中是以动量即自身表象中是以动量 为变量的为变量的 函数（函数（表象中同样表象中同样存在以坐标存在以坐标 为变量的为变量的 函数，它是坐标算符函数，它是坐标算符 的属于本的属于本征值征值 的本征函数）的本征函数）第8页，此课件共37页哦（2）能量表象（中心）能量表象（中心力场能量表象为例）力场能量表象为例）力学量完全集力学量完全集 的共同本征函数的共同本征函数 作为能作为能量表象的基矢，对任意态量表象的基矢，对任意态 若具体给出若具体给出 第9页，此课件共37页哦则则 从而在从而在 表象中态函数表象中态函数（9）第10页，此课件共37页哦2 力学量（算符）在任意表象中的表示力学量（算符）
8、在任意表象中的表示 力学量算符的具体形式应该与波函数的具体形式相对应，力学量算符的具体形式应该与波函数的具体形式相对应，以保证对波函数的作用有意义以保证对波函数的作用有意义 2.1 任意力学量算符任意力学量算符 在在 表象中的表示表象中的表示 表象中，表象中，的算符方程为（以一维为例）的算符方程为（以一维为例）选择选择 表象时，首先注意到以力学量算符表象时，首先注意到以力学量算符 的本征函数完全的本征函数完全集集 作为基矢，并假设作为基矢，并假设 具有分谱具有分谱 ，然后将，然后将 ，按按 展开展开 （10）（11）第11页，此课件共37页哦代入（代入（10）中后两边以）中后两边以 作用，并利
9、用作用，并利用 的正交归一性得的正交归一性得 式中式中（13）式即为力学量算符）式即为力学量算符 在在 表象中的矩阵元，表象中的矩阵元，是是 在在 表象中的表示表象中的表示 它所构成的算符矩阵为它所构成的算符矩阵为（12）（13）（14）第12页，此课件共37页哦2.2讨论讨论（1）力学量算符）力学量算符 在在 表象中的矩阵元表象中的矩阵元 依赖于依赖于 表象基矢表象基矢（2）厄米算符）厄米算符 在在 表象中的矩阵表象中的矩阵 ，其对角矩阵元互为，其对角矩阵元互为 共轭复数共轭复数 当当 时时 对角元对角元 即对角元为实数即对角元为实数（3）由共轭矩阵（转置取复共轭）的定义知）由共轭矩阵（转置
10、取复共轭）的定义知（15）（16）（17）这样的矩阵称为厄米矩阵这样的矩阵称为厄米矩阵 第13页，此课件共37页哦（4）算符算符 在自身表象中的矩阵为对角矩阵，即当在自身表象中的矩阵为对角矩阵，即当 时，有时，有 这些实数的这些实数的对角矩阵元即为算符对角矩阵元即为算符 的本征值的本征值（5）对于连续谱，矩阵元写成为连续变量下标，行和列是）对于连续谱，矩阵元写成为连续变量下标，行和列是 不可数的不可数的3 表象特例表象特例（补充一（补充一）3.1 动量表象动量表象 以动量算符的本征函数以动量算符的本征函数 作为基矢，作为基矢，则算符则算符 在动量表象的矩阵元为在动量表象的矩阵元为（18）（19
11、）第14页，此课件共37页哦（1）动量算符）动量算符 动量算符在自身表象中即为动量动量算符在自身表象中即为动量 （或（或 ）（2）坐标算符）坐标算符坐标算符在动量表象中为坐标算符在动量表象中为 （20）第15页，此课件共37页哦动量表象中算符动量表象中算符x的本征函数为的本征函数为 又坐标表象中又坐标表象中x 的本征函数为的本征函数为 ，所以，所以（3）角动量算符）角动量算符 第16页，此课件共37页哦 若将若将 代入代入 ，得动量表象中，得动量表象中 角动量算符角动量算符（4）哈密顿算符在动量表象中的表示）哈密顿算符在动量表象中的表示 3.2 能量表象能量表象 以以 的本征函数为基矢，可能是
12、的本征函数为基矢，可能是 一一 维无限深势阱维无限深势阱 一维谐振子一维谐振子 中心力场中心力场 第17页，此课件共37页哦算符在能量表象中的矩阵元算符在能量表象中的矩阵元（1）哈密顿算符）哈密顿算符 哈密顿算符哈密顿算符 在自身表象中为对角矩阵，能量本征值在自身表象中为对角矩阵，能量本征值 一目了然一目了然（2）不显含时间算符微分矩阵元）不显含时间算符微分矩阵元 因为因为 一般一般 第18页，此课件共37页哦所以所以 称为算符的运动方程称为算符的运动方程 微分算符矩阵元微分算符矩阵元 即微分算符矩阵元转化为这个算符的矩阵元即微分算符矩阵元转化为这个算符的矩阵元 与相应的能级差之与相应的能级差
13、之积，如积，如 第19页，此课件共37页哦例题一例题一 求能量表象中一维无限深势阱中粒子的坐标与动求能量表象中一维无限深势阱中粒子的坐标与动 量的矩阵元量的矩阵元 解：解：基矢基矢 能级能级 当当 时时，对角元为，对角元为 当当 时，非对角元为时，非对角元为 第20页，此课件共37页哦第21页，此课件共37页哦4 量子力学公式的矩阵表述（以分立谱为例）量子力学公式的矩阵表述（以分立谱为例）实质是把实质是把 表象中的表达式变换到表象中的表达式变换到 表象中，故以表象中，故以 表象基矢表象基矢 为基础，以态矢及算符为基础，以态矢及算符（矩阵）（矩阵）（矩阵元）进行变换可得（矩阵元）进行变换可得 第
14、22页，此课件共37页哦 表象表象 表象（矩阵）表象（矩阵）力学量力学量平均值平均值 本征本征方程方程 薛定谔薛定谔方程方程 内积内积 即 第23页，此课件共37页哦注意注意“内积内积”的简易表示式，的简易表示式，非常方便！非常方便！本征函数的正交归一性本征函数的正交归一性 平均值平均值矩阵元矩阵元态在态在Q表象的表示表象的表示厄米算符定义厄米算符定义 第24页，此课件共37页哦问题问题重点重点在于应用，而应用时在于应用，而应用时关键关键在于在于（1）分清）分清 表象基矢表象基矢 及及 表象中各力学量的本征态表象中各力学量的本征态注注意力学量意力学量 在在 表象中本征态为表象中本征态为 以及任
15、意态以及任意态（2）分清）分清 表象中各力学量的形式（包括对角矩阵）表象中各力学量的形式（包括对角矩阵）5 幺正变换幺正变换 5.1任务任务 前面讨论前面讨论 表象的变换，现把任意算符表象的变换，现把任意算符 及态矢从及态矢从 表象表象 变换到另一表象变换到另一表象 中，目的是简化对问题的讨论中，目的是简化对问题的讨论 5.2基础基础 （1）表象的基矢表象的基矢 与与 ；（2）表象中的算符表象中的算符 第25页，此课件共37页哦 （3）表象中的态矢表象中的态矢 5.3 变换矩阵变换矩阵 （1）变换矩阵的矩阵元）变换矩阵的矩阵元两表象基矢的内积，注意脚标所代表的表象（两表象基矢的内积，注意脚标所
16、代表的表象（表象，表象，表象）、先后顺序及星号表象）、先后顺序及星号（21）第26页，此课件共37页哦（2）变换矩阵为幺正矩阵）变换矩阵为幺正矩阵 即 （23）式为幺正变换条件，可见变换矩阵一般情况下不是厄）式为幺正变换条件，可见变换矩阵一般情况下不是厄米矩阵米矩阵5.4 算符及态矢的变换算符及态矢的变换（22）（23）或（24）或（25）第27页，此课件共37页哦说明：（说明：（1）变换的关键在于利用两个表象的基矢得到）变换的关键在于利用两个表象的基矢得到 变换矩阵变换矩阵；（2）是同一力学量算符，是同一力学量算符，表示同一态，只不过所处表象不同（采用不同表示同一态，只不过所处表象不同（采用
17、不同 变量）。变量）。5.5幺正变换的两个重要性质幺正变换的两个重要性质（1）幺正变换不改变算符的本征值。这给我们提供了一个）幺正变换不改变算符的本征值。这给我们提供了一个 求算符本征值的方法：求算符本征值的方法：（）一般情况下算符）一般情况下算符 在在 表象中可能不是对角矩表象中可能不是对角矩 阵，其本征值通过解久期方程求得；但能通过适阵，其本征值通过解久期方程求得；但能通过适 当的幺正变换使算符进入另一个表象而对角化。当的幺正变换使算符进入另一个表象而对角化。第28页，此课件共37页哦 （）非对角矩阵到对角矩阵的变换，即原表象）非对角矩阵到对角矩阵的变换，即原表象 到自到自 身身 表象的变
18、换。表象的变换。关键在于找到原表象关键在于找到原表象 与与 自身表象自身表象 的基矢，以构成幺正矩阵的基矢，以构成幺正矩阵。（）幺正变换不改变算符的本征值，所以变换后的对）幺正变换不改变算符的本征值，所以变换后的对 角矩阵元即为其本征值。角矩阵元即为其本征值。（2）幺正变换不改变矩阵的迹）幺正变换不改变矩阵的迹例题例题2 在正交归一化基矢在正交归一化基矢 所张的三维矢量所张的三维矢量 空间中，空间中，时的态矢时的态矢 。而物理。而物理 体系的能量算符体系的能量算符 和另外两个物理量算符和另外两个物理量算符 与与 的的 矩阵形式为矩阵形式为 第29页，此课件共37页哦 均为实数，求均为实数，求（
19、1）所采用的是什么表象？基矢是什么？）所采用的是什么表象？基矢是什么？（2）表象中波函数（态矢）的表示；表象中波函数（态矢）的表示；（3）态的能量可能值及相应概率、态的能量可能值及相应概率、=？（4）态中算符态中算符 、的可能值及相应概率。的可能值及相应概率。解：（解：（1）因为矩阵）因为矩阵 为对角矩阵为对角矩阵 能量表象；此表象能量表象；此表象 为为 的本征态，基矢在能量表象中为的本征态，基矢在能量表象中为 （2）表象中波函数的表示为表象中波函数的表示为 表象表象 第30页，此课件共37页哦或利用或利用 可得可得 故能量表象中态矢为故能量表象中态矢为（3）由对角矩阵可知，能量取值只能是）由
20、对角矩阵可知，能量取值只能是 、，且且 是两度简并的，取是两度简并的，取 和和 的概率分别是的概率分别是 故故 第31页，此课件共37页哦 或（4）是是 的本征函数集，却不是的本征函数集，却不是 的本征函数集。的本征函数集。令令 在能量表象中的本征态为在能量表象中的本征态为 本征值为本征值为 ，则本征方程为，则本征方程为第32页，此课件共37页哦解久期方程解久期方程 得得 当当 时时当当 时时当当 时时 故 故 故第33页，此课件共37页哦可见，由于能量表象不是可见，由于能量表象不是 的自身表象，故的自身表象，故 的矩阵形式不的矩阵形式不同于同于 要求要求 的可能值的可能值 在在 态中（即态中
21、（即 态中）的概率分态中）的概率分布，就要把布，就要把 或或 按按 的本征态展开的本征态展开 由由 表象中表象中 及及 可得可得 所以所以第34页，此课件共37页哦最后得最后得 表象中态矢表达式表象中态矢表达式 所以所以 取值为取值为 的概率分别为的概率分别为也可以利用幺正变换将能量表象中的也可以利用幺正变换将能量表象中的 和和 变换为变换为 表象（自表象（自身表象）中的对角矩阵和身表象）中的对角矩阵和 ，因为，因为 用矩阵表示即用矩阵表示即 ，本问题即为，本问题即为 可以证明：把算符可以证明：把算符 在表象在表象 中的中的 按列排成矩阵即为幺正按列排成矩阵即为幺正变换矩阵变换矩阵 第35页，此课件共37页哦结果同上结果同上 第36页，此课件共37页哦作业:p1164.2;4.3;4.5第37页，此课件共37页哦