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1、第二章第二节矩阵运算第1页，共19页，编辑于2022年，星期二1.2 矩阵的计算定义定义1.4 数乘矩阵数乘矩阵对于对于,k为常数为常数,规定规定kA(或记为或记为Ak)数乘矩阵的运算满足数乘矩阵的运算满足:第2页，共19页，编辑于2022年，星期二1.2 矩阵的计算定义定义1.5 矩阵乘法矩阵乘法规定规定,其中其中说明说明(1)AB有意义有意义,必须是必须是A的列数等于的列数等于B的行数的行数(2)当当AB有意义时有意义时,AB的行数等于的行数等于A的行数的行数,AB的列数等于的列数等于B的列数的列数如如,例例1.1中的旋转变换可写成中的旋转变换可写成或第3页，共19页，编辑于2022年，星
2、期二1.2 矩阵的计算例例:设设但是但是 BA无意义无意义第4页，共19页，编辑于2022年，星期二1.2 矩阵的计算小结小结:(1)矩阵乘法无交换律矩阵乘法无交换律,有有“左乘左乘”和和“右乘右乘”之分之分 (2)AB=0,未必有未必有A=0或或B=0 (3)AB=AC,且且A0时未必有时未必有B=C第5页，共19页，编辑于2022年，星期二1.2 矩阵的计算矩阵乘法满足下列运算规律矩阵乘法满足下列运算规律第6页，共19页，编辑于2022年，星期二1.2矩阵的计算上式右端第上式右端第1项为项为AC的的(i,j)元元,上式右端第上式右端第2项为项为BC的的(i,j)元元,故上式右端为故上式右端
3、为AC+BC的的(i,j)元元(6)式两端的式两端的(i,j)元相元相等等证毕第7页，共19页，编辑于2022年，星期二1.2 矩阵的计算方阵的幂方阵的幂m个个但对于同阶方阵但对于同阶方阵A、B来说来说,下列等式不一定成立：下列等式不一定成立：这些等式在这些等式在ABBA时才成立时才成立(k,l为非负整数为非负整数)方阵的幂满足：方阵的幂满足：第8页，共19页，编辑于2022年，星期二1.2 矩阵的计算例例解：解：证之证之第9页，共19页，编辑于2022年，星期二1.2 矩阵的计算定义定义1.6 矩阵的转置矩阵的转置第10页，共19页，编辑于2022年，星期二1.2 矩阵的计算可将可将(4)推
4、广为：推广为：解解：第11页，共19页，编辑于2022年，星期二1.2 矩阵的计算对称矩阵对称矩阵:同阶对称矩阵之和、差及数乘对称矩阵，所得矩阵仍同阶对称矩阵之和、差及数乘对称矩阵，所得矩阵仍为对称矩阵，但对称矩阵之积却不一定是对称矩阵。为对称矩阵，但对称矩阵之积却不一定是对称矩阵。第12页，共19页，编辑于2022年，星期二1.2 矩阵的计算反对称矩阵：反对称矩阵：例：例：试证：任一试证：任一n阶方阵阶方阵A可表示为一个对称矩阵可表示为一个对称矩阵 与一反对称矩阵之和与一反对称矩阵之和证：证：即即B为对称矩阵为对称矩阵第13页，共19页，编辑于2022年，星期二即即C为反对称矩阵为反对称矩阵1.2 矩阵的计算第14页，共19页，编辑于2022年，星期二1.2 矩阵的计算为由n维向量到m维向量的一个线性变换线性变换.利用矩阵乘法可将(1-8)式写成第15页，共19页，编辑于2022年，星期二1.2 矩阵的计算第16页，共19页，编辑于2022年，星期二1.2 矩阵的计算则复合线性变换则复合线性变换ST为为故故ST的矩阵为的矩阵为BA第17页，共19页，编辑于2022年，星期二1.2 矩阵的计算例例1.11 线性方程组与矩阵线性方程组与矩阵或第18页，共19页，编辑于2022年，星期二1.2 矩阵的计算为方程组(1-12)的增广矩阵第19页，共19页，编辑于2022年，星期二