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1、第四章 抽样与抽样分布本讲稿第一页，共四十一页第 4 章 抽样与抽样分布4.1 常用的抽样方法常用的抽样方法 4.2 抽样分布（一）抽样分布（一）（一个总体参数推断时样本统计量的抽样分布）4.3 抽样分布（二）抽样分布（二）（两个总体参数推断时样本统计量的抽样分布）4.4 中心极限定理的应用中心极限定理的应用本讲稿第二页，共四十一页学习目标1.了解抽样的概率抽样方法了解抽样的概率抽样方法2.理解抽样分布的意义理解抽样分布的意义3.了解抽样分布的形成过程了解抽样分布的形成过程4.理解中心极限定理理解中心极限定理5.理解抽样分布的性质理解抽样分布的性质本讲稿第三页，共四十一页4.1 常用的抽样方法
2、一、简单随机抽样一、简单随机抽样二、分层抽样二、分层抽样三、系统抽样三、系统抽样四、整群抽样四、整群抽样本讲稿第四页，共四十一页抽样方法本讲稿第五页，共四十一页一、简单随机抽样(simple random sampling)1.从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，使得总总体体中中每每一个元素一个元素都有相同的机会(概率)被抽中 2.抽取元素的具体方法有重复抽样重复抽样和不重复抽样不重复抽样3.特点n简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本n用样本统计量对目标量进行估计比较方便4.局限性n当N很大时，不易构造抽样框n抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难n没有利用其他辅助信息以提高
3、估计的效率本讲稿第六页，共四十一页二、分层抽样(stratified sampling)1.将总体单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本2.优点n保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度n组织实施调查方便n既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估计本讲稿第七页，共四十一页三、系统抽样(systematic sampling)1.将总体中的各单位按一定顺序排列，在规定的范围内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按事先规定好的规则确定其他样本单位n先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位，以后依次取r+k，r+2k等单位2.优
4、点：操作简便，可提高估计的精度本讲稿第八页，共四十一页四、整群抽样(cluster sampling)1.先将总体划分为若干个群，然后再以群作为调查单位从中抽取部分群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查。2.特点n抽样时只需群的抽样框，可简化工作量n调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实施n当群为总体的一个缩影时，抽样估计误差小，否则误差较大。本讲稿第九页，共四十一页4.2 抽样分布（一）（一个总体参数推断时样本统计量的抽样分布）一、抽样分布的概念一、抽样分布的概念二、样本均值的抽样分布二、样本均值的抽样分布三、样本比率的抽样分布三、样本比率的抽样分布四、样本方差的抽样分布四、样本方
5、差的抽样分布本讲稿第十页，共四十一页1.样本统计量的概率分布，是一种理论分布n在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布。2.随机变量是 样本统计量样本统计量n样本均值,样本比例，样本方差等3.结果来自容量相同容量相同的所有所有可能样本4.提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据 一、抽样分布的概念(sampling distribution)本讲稿第十一页，共四十一页抽样分布的形成过程(sampling distribution)总体总体计算样本统计量计算样本统计量计算样本统计量计算样本统计量计算样本统计量计算样本统计量
6、如：样本均值、如：样本均值、如：样本均值、比例、方差比例、方差比例、方差样样本本本讲稿第十二页，共四十一页1.在重复选取容量为n的样本时，由样本均值的所有可能取值形成的相对频数分布2.一种理论概率分布3.推断总体均值的理论基础二、样本均值的抽样分布本讲稿第十三页，共四十一页1、样本均值的抽样分布(例题分析)【例例例例】设设一一个个总总体体，含含有有4 4个个元元素素(个个体体)，即即总总体体单单位位数数N N=4 4。4 4 个个个个体体分分别别为为x x1 1=1=1，x x2 2=2=2，x x3 3=3=3，x x4 4=4=4 。总总体体的的均均值值、方差及分布如下方差及分布如下总体分
7、布总体分布总体分布总体分布1 14 42 23 30 0.1.1.2.2.3.3均值和方差均值和方差均值和方差均值和方差本讲稿第十四页，共四十一页样本均值的抽样分布(例题分析)现现从从总总体体中中抽抽取取n n2 2的的简简单单随随机机样样本本，在在重重复复抽抽样样条条件下，共有件下，共有4 42 2=16=16个样本。所有样本的结果为个样本。所有样本的结果为3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第二个观察值第一个第一个观察值观察值所有可能的所有可能的n=2 的样本（共的样本（共16个）个）本讲稿第十五页，共
8、四十一页样本均值的抽样分布(例题分析)计计算算出出各各样样本本的的均均值值，如如下下表表。并并给给出出样样本本均均值值的的抽样分布抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第二个观察值第一个第一个观察值观察值16个样本的均值（个样本的均值（x）x x样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布1.01.00 00.10.10.20.20.30.3P P (x x)1.51.53.03.04.04.03.53.52.02.02.52.5本讲稿第十六页，共四十一页样本均值的分布与总
9、体分布的比较(例题分析)=2.5=2.5 2=1.25=1.25总体分布总体分布总体分布总体分布1 14 42 23 30 0.1.1.2.2.3.3抽样分布抽样分布P P(x x)1.01.00 0.1.1.2.2.3.31.51.53.03.04.04.03.53.52.02.02.52.5x x本讲稿第十七页，共四十一页2、样本均值的抽样分布 与中心极限定理 =50=50=50 =10=10=10X X X总体分布总体分布总体分布总体分布n n=4=4抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布xn n=16=16当当总总体体服服从从正正态态分分布布N N(,2 2)时时，来来自自该该总总体体的的所
10、所有有容容量量为为n n的的样样本本的的均均值值 x x也也服服从从正正态态分分布布，x x 的的数数学学期期望望为为，方差为，方差为 2 2/n n。即。即 x xN N(,2 2/n n)本讲稿第十八页，共四十一页中心极限定理(central limit theorem)当样本容量足够当样本容量足够大时大时(n n 30)30)，样本均值的抽样样本均值的抽样分布逐渐趋于正分布逐渐趋于正态分布态分布中中中中心心心心极极极极限限限限定定定定理理理理：设设从从均均值值为为，方方差差为为 2 2的的一一个个任任意意总总体体中中抽抽取取容容量量为为n n的的样样本本，当当n n充充分分大大时时，样样
11、本本均均值值的的抽抽样样分分布布近近似服从均值为似服从均值为、方差为、方差为 2 2/n n的正态分布的正态分布一个任意分一个任意分布的总体布的总体x x本讲稿第十九页，共四十一页中心极限定理(central limit theorem)x x 的的的的分分分分布布布布趋趋趋趋于于于于正正正正态态态态分分分分布布布布的的的的过程过程过程过程本讲稿第二十页，共四十一页1.样本均值的数学期望2.样本均值的方差n重复抽样n不重复抽样3、样本均值抽样分布的数学特征(数学期望与方差)本讲稿第二十一页，共四十一页样本均值的抽样分布(数学期望与方差)比较及结论：比较及结论：比较及结论：比较及结论：1.1.样
12、本均值的均值样本均值的均值(数学期望数学期望)等于总体均值等于总体均值 2.2.样本均值的方差等于总体方差的样本均值的方差等于总体方差的1/1/n n本讲稿第二十二页，共四十一页抽样分布与总体分布的关系总体分布总体分布总体分布总体分布总体分布总体分布正态分布正态分布正态分布正态分布正态分布正态分布非正态分布非正态分布非正态分布非正态分布非正态分布非正态分布大样本大样本小样本小样本正态分布正态分布正态分布正态分布正态分布正态分布正态分布正态分布正态分布正态分布正态分布正态分布非正态分布非正态分布非正态分布非正态分布非正态分布非正态分布本讲稿第二十三页，共四十一页4、标准误 (standard e
13、rror)1.样本统计量的抽样分布的标准差，称为统计量的标准误，也称为标准误差，也称抽样标准差。2.标准误衡量的是统计量的离散程度，它测度了用样本统计量估计总体参数的精确程度3.以样本均值的抽样分布为例，在重复抽样条件下，样本均值的标准误为 4、标准差的英文为：standard deviation本讲稿第二十四页，共四十一页估计的标准误(standard error of estimation)1.当计算标准误时涉及的总体参数未知时，用样本统计量代替计算的标准误，称为估计的标准误2.以样本均值的抽样分布为例，当总体标准差未知时，可用样本标准差s代替，则在重复抽样条件下，样本均值的估计标准误为本
14、讲稿第二十五页，共四十一页三、样本比率的抽样分布o比率是指总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比n不同性别的人与全部人数之比n合格品(或不合格品)与全部产品总数之比o总体比例可表示为o样本比例可表示为 本讲稿第二十六页，共四十一页1.在重复选取容量为n的样本时，由样本比例的所有可能取值形成的相对频数分布2.一种理论概率分布3.当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似 4.推断总体比例的理论基础样本比例的抽样分布本讲稿第二十七页，共四十一页1.样本比例的数学期望2.样本比例的方差n重复抽样n不重复抽样样本比例的抽样分布(数学期望与方差)本讲稿第二十八页，共四十一页四、样
15、本方差的抽样分布1.1.在在重重复复选选取取容容量量为为n的样本时，由样本方差的所有可能取值形成的相对频数分布2.2.对于来自正态总体的简单随机样本，则比值对于来自正态总体的简单随机样本，则比值 的抽样分布服从自由度为的抽样分布服从自由度为 (n-1)的 2分布，即分布，即本讲稿第二十九页，共四十一页1.由阿贝(Abbe)于1863年首先给出，后来由海尔墨特(Hermert)和卡皮尔逊(KPearson)分别于1875年和1900年推导出来2.设 ，则3.令 ，则 Y 服从自由度为1的2分布，即 1.当总体 ，从中抽取容量为n的样本，则2分布(2 distribution)本讲稿第三十页，共四
16、十一页1.分布的变量值始终为正 2.分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称 3.期望为E(2)=n，方差为D(2)=2n(n为自由度)4.可加性：若U和V为两个独立的服从2分布的随机变量，U2(n1)，V2(n2),则U+V这一随机变量服从自由度为n1+n2的2分布 2分布(性质和特点)本讲稿第三十一页，共四十一页c2分布(图示)选择容量为选择容量为选择容量为选择容量为n n 的的的的简单随机样本简单随机样本简单随机样本简单随机样本计算样本方差计算样本方差计算样本方差计算样本方差ss22计算卡方值计算卡方值计算卡方值计算卡方值 2=(n-1)s
17、2/22=(n-1)s2/2计算出所有的计算出所有的计算出所有的计算出所有的 22值值值值不同容量样本的抽样分布不同容量样本的抽样分布不同容量样本的抽样分布不同容量样本的抽样分布 2 2 2 22 2n n=1=1n n=4=4n n=10=10n n=20=20 总体总体本讲稿第三十二页，共四十一页 4.3 抽样分布（二）（两个总体参数推断时样本统计量的抽样分布）一、两个样本均值之差的抽样分布一、两个样本均值之差的抽样分布二、两个样本比例之差的抽样分布二、两个样本比例之差的抽样分布三、两个样本方差比的抽样分布三、两个样本方差比的抽样分布本讲稿第三十三页，共四十一页1.两个总体都为正态分布，即
18、 ，2.两个样本均值之差 的抽样分布服从正态分布，其分布的数学期望为两个总体均值之差3.方差为各自的方差之和 一、两个样本均值之差的抽样分布本讲稿第三十四页，共四十一页1.两个总体都服从二项分布2.分别从两个总体中抽取容量为n1和n2的独立样本，当两个样本都为大样本时，两个样本比例之差的抽样分布可用正态分布来近似3.分布的数学期望为4.方差为各自的方差之和 二、两个样本比例之差的抽样分布本讲稿第三十五页，共四十一页三、两个样本方差比的抽样分布1.1.两两个个总总体体都都为为正正态态分分布布，即即X X1 1 N N(1 1,1 12 2)，X X2 2 N N(2 2,2 22 2)2.2.从
19、两从两个总体中分别抽取容量为个总体中分别抽取容量为n n1 1和和n n2 2的独立样本的独立样本3.3.两两个个样样本本方方差差比比的的抽抽样样分分布布，服服从从分分子子自自由由度度为为(n n1 1-1)1)，分母自由度为，分母自由度为(n n2 2-1)-1)的的F F分布，即分布，即 本讲稿第三十六页，共四十一页1.由统计学家费希尔(R.A.Fisher)提出的，以其姓氏的第一个字母来命名2.设若U为服从自由度为n1的2分布，即U2(n1)，V为服从自由度为n2的2分布，即V2(n2),且U和V相互独立，则 称F为服从自由度n1和n2的F分布，记为F分布(F distribution)
20、本讲稿第三十七页，共四十一页F分布(图示)不同自由度的F分布F F F（1,10)1,10)(5,10)(5,10)(10,10)(10,10)本讲稿第三十八页，共四十一页4.4 中心极限定理的应用o教材P121例4-3o教材P122例4-4本讲稿第三十九页，共四十一页课堂作业1、从一个标准差为5的总体中抽出一个容量为40的样本，样本均值为25，样本均指的抽样标准差是多少？2、从0.4的总体中，抽取一个容量为100的样本，问p的数学期望是多少？P的标准差是多少？P的分布是什么？3、假定顾客在超市一次性购物的平均消费是85元，标准差是9元，从中随机抽取40名顾客，每个顾客消费金额大于87元的概率是多少？本讲稿第四十页，共四十一页4、教材P125第9题；本讲稿第四十一页，共四十一页