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1、第二章传输方程2022/9/231本讲稿第一页，共十二页又由于方程（2.1）变为由方程（2.2）的解知从以上求解过程知，与向量 平行的直线族对求解方程（2.1）起到重要的作用，常称直线为偏微分方程（2.1）的特征线。以上求解方法称为特征线法。本讲稿第二页，共十二页2.1.2 种群分析与存货量分析本讲稿第三页，共十二页本讲稿第四页，共十二页2.1.3 一阶线性变系数偏微分方程由于与方程（2.8）对比可以发现，如果y=y(x)是由常微分方程所确定的函数，则偏微分方程（2.8）变为一阶线性常微分方程称方程（2.9）为（2.8）的特征方程，特征方程的解曲线称为（2.8）的特征曲线。本讲稿第五页，共十二
2、页2.1.4 对气体流的应用由质量守恒定律可导出气体的密度和速度满足连续性方程假设气体沿一直线运动，则其密度满足一阶线性偏微分方程设初始密度为连续函数：当速率 为常数时，（2.12）的解为此时，气体的密度分布以速率 顺风传播。当速率 不为常数时，请大家自己完成方程的求解。本讲稿第六页，共十二页2.1.5 一阶线性方程解的参数形式求解方程（2.8），即的关键是求解其特征方程（2.9），即但常微分方程的显式解并不容易求得。为此，引入解的参数形式。将特征方程（2.9）确定的特征曲线看成是质点以速度运动的轨迹，质点在时刻t的位置(x(t),y(t)可由其初始位置(x(s),y(s)确定。为此，将特征方
3、程写成参数形式本讲稿第七页，共十二页方程（2.14）和初始条件 确定的曲线记为 ，则函数由链式法则，沿着特征曲线，有于是，方程（2.8）变为一阶线性常微分方程记方程（2.15）的解为 ，则原方程的解可用参数表式其中t为参数，s为初始参数。本讲稿第八页，共十二页2.1.6 三维一阶线性偏微分方程其特征方程为或对应的特征曲线为 于是，原方程（2.16）变为一阶线性常微分方程求解此方程，进而可以得到方程（2.16）的解。本讲稿第九页，共十二页2.2 2.2 传输方程传输方程其中 为常向量。用特征线法求解（2.19）。其特征方程为令以上比值为ds，则可得到参数形式的特征曲线为于是，作变量代换后，未知函数可以表示为本讲稿第十页，共十二页由链式法则，沿着特征曲线，有于是，即考虑初值问题由以上讨论，其解为它表示一种以速度 向右传播的右行波。这样的解常称为行波解。本讲稿第十一页，共十二页由特征线法及链式法则，沿着特征曲线，有于是，对非齐次传输方程的初值问题故（2.21）的解为本讲稿第十二页，共十二页