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1、插值法讲义1第1页，共17页，编辑于2022年，星期日（2）样条插值多项式，是一种分段的插值多项式，但）样条插值多项式，是一种分段的插值多项式，但又考虑到所有节点的综合影响。样值节点上的函数又考虑到所有节点的综合影响。样值节点上的函数值仍给定（即保持插值条件），但导数值不再明确值仍给定（即保持插值条件），但导数值不再明确给定，代之以要求在所有内部节点上保持导数（一给定，代之以要求在所有内部节点上保持导数（一般要求般要求1阶和阶和2阶导数）连续，符合这样的条件称为阶导数）连续，符合这样的条件称为C样条。得到一个分段的多项式函数（一般是在每样条。得到一个分段的多项式函数（一般是在每个小区间内的三次
2、多项式），通过给定的函数值，个小区间内的三次多项式），通过给定的函数值，且在整体上保持直到二阶导数的连续性（一般地，且在整体上保持直到二阶导数的连续性（一般地，在节点上三阶导数是间断的）。这时，通常需要解在节点上三阶导数是间断的）。这时，通常需要解一个与所有节点有关联的线性代数方程组。一个与所有节点有关联的线性代数方程组。2第2页，共17页，编辑于2022年，星期日（3）对于三次样条插值多项式，设有）对于三次样条插值多项式，设有n+1个节点，则共个节点，则共有有n段区间，每段上面要构造一个三次多项式，共需要段区间，每段上面要构造一个三次多项式，共需要确定确定 4n 个参数（每个三次多项式有个参
3、数（每个三次多项式有4个系数，每个区间个系数，每个区间上有上有1个多项式）。另一方面，在个多项式）。另一方面，在n+1个节点上的函数值已个节点上的函数值已知，有知，有n+1个条件；在个条件；在n-1个内部节点上要求直到二阶导数个内部节点上要求直到二阶导数连续，得到连续，得到 3(n-1)个条件（在内部节点上，点左右两个条件（在内部节点上，点左右两边的函数值、一阶导数值、二阶导数值相等）；这边的函数值、一阶导数值、二阶导数值相等）；这样共有样共有 4n-2个已知条件，要确定个已知条件，要确定4n个参数，还缺个参数，还缺2 个个条件，需要另外增加两个边界条件。条件，需要另外增加两个边界条件。3第3
4、页，共17页，编辑于2022年，星期日（4）样条插值多项式的数学表示有很多种形式，其中）样条插值多项式的数学表示有很多种形式，其中用半截函数表示在理论分析和推导上是最方便的，用半截函数表示在理论分析和推导上是最方便的，但在实际计算中则有更直观的简便方法。不管是用但在实际计算中则有更直观的简便方法。不管是用何种形式，只要条件一样，得到的分段三次样条多何种形式，只要条件一样，得到的分段三次样条多项式都是完全一致的（例如，解三转角方程和解三项式都是完全一致的（例如，解三转角方程和解三弯矩方程得到的样条插值多项式完全等价）。因为，弯矩方程得到的样条插值多项式完全等价）。因为，它仍通过给定的函数值，这类
5、样条函数称为它仍通过给定的函数值，这类样条函数称为c样条。样条。4第4页，共17页，编辑于2022年，星期日（5）利用节点上的一阶导数值）利用节点上的一阶导数值mi 来表示插值多项式，需要解来表示插值多项式，需要解关于关于mi 的方程组。因为，的方程组。因为，mi 在力学上解释为细梁在节点在力学上解释为细梁在节点截面处的转角，且与相邻节点的两个转角有关，故称为三截面处的转角，且与相邻节点的两个转角有关，故称为三转角方程。转角方程。5第5页，共17页，编辑于2022年，星期日（6）利用节点上的二阶导数值）利用节点上的二阶导数值Mi 来表示插值多项式，需来表示插值多项式，需要解关于要解关于Mi 的
6、方程组。因为，的方程组。因为，Mi 在力学上解释为细在力学上解释为细梁在节点截面处的弯矩，且与相邻节点的两个弯矩有梁在节点截面处的弯矩，且与相邻节点的两个弯矩有关，故称为三弯矩方程。关，故称为三弯矩方程。6第6页，共17页，编辑于2022年，星期日（7）边界条件）边界条件 给定两个端点处的一阶导数值：给定两个端点处的一阶导数值：给定两个端点处的二阶导数值：给定两个端点处的二阶导数值：周期边界条件：周期边界条件：非结点边界条件：非结点边界条件：7第7页，共17页，编辑于2022年，星期日#、三次、三次B样条插值样条插值 B-样条函数是应用最广泛的生成光滑曲线曲面的样条函数是应用最广泛的生成光滑曲
7、线曲面的技术之一。最常用的是三次技术之一。最常用的是三次B-样条函数。与样条函数。与c-样样条函数不同的地方是：条函数不同的地方是：B-样条函数甚至不要求样条函数甚至不要求通过给定的函数值，而是用给定的点来控制曲通过给定的函数值，而是用给定的点来控制曲线（曲面）的形状和光滑度。线（曲面）的形状和光滑度。对于三次对于三次B-样条函数，每一区间上的多项式由样条函数，每一区间上的多项式由该区间的该区间的 2个端点以及其左右个端点以及其左右 各各1个相邻区间个相邻区间的端点，共四个点的位置来确定。的端点，共四个点的位置来确定。8第8页，共17页，编辑于2022年，星期日 平面上相邻的四个点平面上相邻的
8、四个点 (xi-1,yi-1),(xi,yi),(xi+1,yi+1),(xi+2,yi+2)确定区间确定区间 xi,xi+1 上的一个三次多上的一个三次多项式项式 Pi(x)，使得（等距节点情况，步长为，使得（等距节点情况，步长为1）：）：上述条件保证了分段多项式在整个区域上满足直到上述条件保证了分段多项式在整个区域上满足直到二阶导数的连续性。另外，还有很好的局部性质。二阶导数的连续性。另外，还有很好的局部性质。9第9页，共17页，编辑于2022年，星期日4、曲线拟合的最小二乘法、曲线拟合的最小二乘法 要点：要点：（1）插值（包括样条）多项式，是给定）插值（包括样条）多项式，是给定N+1 个
9、条件，构个条件，构造出一个造出一个N次多项式（或分段多项式）。条件个数与次多项式（或分段多项式）。条件个数与待定参数的个数正好相等。在实际工作中，可能测待定参数的个数正好相等。在实际工作中，可能测试得到的值很多，而且本身也有误差，所以构造近试得到的值很多，而且本身也有误差，所以构造近似的光滑函数（一般就是多项式，也可以是其它类似的光滑函数（一般就是多项式，也可以是其它类型的函数，例如三角函数）次数不能太高（从而条型的函数，例如三角函数）次数不能太高（从而条件多于待定系数），又不必要求近似函数必须通过件多于待定系数），又不必要求近似函数必须通过函数值（类似于函数值（类似于B-样条的概念）。这样就
10、引出了曲样条的概念）。这样就引出了曲线拟合和函数逼近的概念。线拟合和函数逼近的概念。10第10页，共17页，编辑于2022年，星期日（2）例如，对给定的）例如，对给定的 m 个测试点上的测试函数值个测试点上的测试函数值 f(xi)=yi,i=1,2,m确定确定 n 次多项式（次多项式（nm）Pn(x).这时，我们不可能做到这时，我们不可能做到 Pn(xi)=yi (i=1,2,m)，因，因为条件多于未知数，一般情况下无解的。但我们可为条件多于未知数，一般情况下无解的。但我们可以要求在所有测试点上的函数值的误差以要求在所有测试点上的函数值的误差 i=Pn(xi)-yi ,i=1,2,.,m在某种
11、意义下最小。在某种意义下最小。误差误差 i 实际上是多项式函数的待定系数（实际上是多项式函数的待定系数（n+1个）的多元个）的多元函数。函数。11第11页，共17页，编辑于2022年，星期日（3）例如，可以考察误差函数向量的二范数，确定）例如，可以考察误差函数向量的二范数，确定待定多项式的各个系数，使其最小。待定多项式的各个系数，使其最小。求这一极小值问题，得到拟合多项式，这就是最小二乘法。求这一极小值问题，得到拟合多项式，这就是最小二乘法。这是在实际应用中非常重要的一种典型的数学方法和这是在实际应用中非常重要的一种典型的数学方法和概念。概念。用用2-范数，不用范数，不用1-范数或无穷范数，主
12、要是因为用范数或无穷范数，主要是因为用2-范数使得范数使得 是多项式系数是多项式系数 ai(i=0,1,n)的多元二的多元二次多项式，从而可以方便地求导数，便于理论分次多项式，从而可以方便地求导数，便于理论分析和给出算法。析和给出算法。12第12页，共17页，编辑于2022年，星期日（4）一般地，如果拟合函数写成已知函数族）一般地，如果拟合函数写成已知函数族的一个线性组合：的一个线性组合：则误差函数为则误差函数为 关于关于ai(i=0,1,n)的极小值问题，要求：的极小值问题，要求：13第13页，共17页，编辑于2022年，星期日（5）记）记是一个是一个m+1维的向量。用内积记号：维的向量。用
13、内积记号：则得到求系数则得到求系数ai 的线性方程组：的线性方程组：当当 k，k=0,1,n正交时，系数矩阵是对角阵。正交时，系数矩阵是对角阵。14第14页，共17页，编辑于2022年，星期日（6）可以将多项式拟合（或逼近）推广为其它形式函数）可以将多项式拟合（或逼近）推广为其它形式函数类的拟合，例如：三角函数，有理多项式，对数函数，类的拟合，例如：三角函数，有理多项式，对数函数，或它们的组合，等等。只要所用的函数在数据点上构或它们的组合，等等。只要所用的函数在数据点上构成的成的m+1维向量是线性无关的，就可以求解。甚至，维向量是线性无关的，就可以求解。甚至，拟合函数不是它们的线性组合，也可以
14、，例如：拟合函数不是它们的线性组合，也可以，例如：但求误差向量在但求误差向量在2-范数意义下（又称均方误差）的最范数意义下（又称均方误差）的最小值是最小二乘法的本质。小值是最小二乘法的本质。15第15页，共17页，编辑于2022年，星期日（7）加权技术：）加权技术：可以根据数据点的重要程度、可靠程度等情况，在误可以根据数据点的重要程度、可靠程度等情况，在误差函数公式中采用加权求和的方法，获得更好的拟合差函数公式中采用加权求和的方法，获得更好的拟合曲线。曲线。（8）误差分析：）误差分析：16第16页，共17页，编辑于2022年，星期日（9）迭代权因子最小二乘法：）迭代权因子最小二乘法：利用最小二乘法和加权技术，通过迭代可以求最大偏利用最小二乘法和加权技术，通过迭代可以求最大偏差最小的拟合曲线。算法如下：差最小的拟合曲线。算法如下：第第1步：取初始权重步：取初始权重 求相应的最小二乘解求相应的最小二乘解 并计算偏差并计算偏差第第2步：取权重步：取权重 求相应的最小二乘解求相应的最小二乘解 并计算偏差并计算偏差第第3步：重复第步：重复第2步，步，直到直到 为止。为止。17第17页，共17页，编辑于2022年，星期日