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1、第四节归纳类比与数学证明第四节归纳类比与数学证明考考纲纲点点击击1.了解合情推理的含了解合情推理的含义义，能利用，能利用归纳归纳和和类类比等比等进进行行简简单单的推理，了解合情推理在数学的推理，了解合情推理在数学发现发现中的作用中的作用.2.了解演了解演绎绎推理的重要性，掌握演推理的重要性，掌握演绎绎推理的基本模式，推理的基本模式，并能运用它并能运用它们进们进行一些行一些简单简单推理推理.3.了解合情推理和演了解合情推理和演绎绎推理之推理之间间的的联联系和差异系和差异.热热点点提示提示 1.以以选择题选择题、填空、填空题题的形式考的形式考查查合情推理合情推理.2.以以选择题选择题或解答或解答题
2、题的形式考的形式考查查演演绎绎推理推理.3.题题目目难难度不大，多以中低档度不大，多以中低档题为题为主主.1n条直线两两相交共有f(n)个交点，则n1条直线最多比f(n)多多少个交点()An1个 Bn个Cn1个 Dn2个【解析解析】第n1条直线分别与前n条直线相交时最多有n个交点.故选B.【答案答案】B2下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180，归纳出所有三角形的内角和都是180；张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；三角形内角和是180，四边形内角和是360，五边形内角和是540，由此得凸n边形
3、内角和是(n2)180.A BC D【解析解析】是类比推理，是归纳推理，是归纳推理，所以为合情推理【答案答案】C3某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是()A白色B黑色C白色可能性大 D黑色可能性大【解析解析】由图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为3657余1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色【答案答案】A4一切奇数都不能被2整除，21001是奇数，所以21001不能被2整除，其演绎“三段论”的形式为：大前提：一切奇数都不能被2整除小前提：_.结论：所以21001不能被2整除【解析解析】三段论是由
4、一般到特殊，一切奇数都不能被2整除是大前提，则小前提必是21001是奇数【答案答案】21001是奇数5若数列an中，a11，a235，a37911，a413151719，则a8_.【解析解析】由a1，a2，a3，a4的形式可归纳，12347 28，a8的首项应为第29个正奇数，即229157.a85759616365676971 512.【答案答案】512归纳推理归纳推理 设f(x)，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明【思路点拨】【思路点拨】【方法点方法点评评】1.归纳推理的特点：(1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所
5、得的结论超越了前提所包含的范围(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的2归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同本质(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题【特特别别提醒提醒】归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明类比推理类比推理请用类比推理完成下表：平面平面空空间间三角形两三角形两边边之和大于第三之和大于第三边边三棱三棱锥锥任意三个面的面任意三个面的面积积之和之和大于第四个面的面大于第四个面的面积积三角形的面三角形的面积积等于任意一等于任意一边边的的长长度与度与这边这边上高的乘上高的乘积积的的一半一半三棱三棱锥锥的体的体积积等于任
6、意一个面等于任意一个面的面的面积积与与该该面上的高的乘面上的高的乘积积的的三分之一三分之一三角形的面三角形的面积积等于其内切等于其内切圆圆半径与三角形周半径与三角形周长长的乘的乘积积的的一半一半【思路点思路点拨拨】由表格一、二两个问题的类比可知，线对面，长度对面积，从而内切圆应相对内切球，从而可解【自主探究自主探究】本题由已知前两组类比可得到如下信息：平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；三角形的面积公式中的“二分之一”，与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对
7、象由以上分析可知：故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一(本题结论可以用等体积法，将三棱锥分割成四个小的三棱锥去证明，此处略)【方法点方法点评评】1.类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)2类比是科学研究最普遍的方法之一.在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造新分支的重要手段类比在数学中应用广泛数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限之间有不少结论，都是先用类比法猜想，而后加以证
8、明的2在ABC中，AB2AC2BC2，类比平面中的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得出正确结论；“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两垂直”，则_【解析解析】如右图所示，过A作BC的垂线AE与BC交于E，连接DE，则BCDE，【答案答案】S2ABC+S2ACD+S2ADB=S2BCD演绎推理演绎推理已知函数f(x)(a0且a1)，(1)证明：函数yf(x)的图象关于点 对称；(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值【思路点思路点拨拨】证明本题依据的大前提是中心对称的定义，函数yf(x)的图象上的任一点关于对称中心的对称点仍在图象上小前提是f
9、(x)(a0且a1)的图象关于点 对称(2)由(1)有1f(x)f(1x)，即f(x)f(1x)1.f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1，则f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.【方法点方法点评评】演绎推理在数学命题的证明中是常用的方法，证明问题时要注意灵活运用3用三段论的形式写出下列演绎推理(1)若两角是对顶角，则该两角相等，所以若两角不相等，则该两角不是对顶角；(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等；(3)0.是有理数；(4)ysinx(xR)是周期函数【解析解析】(1)两个角是对顶角，则两角相等，大前提1和2不相等，小前提1和2
10、不是对顶角结论(2)每一个矩形的对角线相等，大前提正方形是矩形，小前提正方形的对角线相等结论(3)所有的循环小数是有理数，大前提0.是循环小数，小前提所以0.是有理数结论(4)三角函数是周期函数，大前提ysinx是三角函数，小前提ysinx是周期函数结论1(2009年浙江高考)观察下列等式：C51C55232，C91C95C992723，C131C135C139C131321125，C171C175C179C1713C171721527，由以上等式推测到一个一般的结论：对于nN*，C4n11C4n15C4n19C4n14n1_.【解析解析】归纳推理观察等式右边232,2723,21125,21
11、527，可以看到右边第一项的指数3,7,11,15，成等差数列，公差为4，首项为3，通项为4n1；第二项的指数1,3,5,7，的通项为2n1.故得结论24n1(1)n22n1.【答案答案】24n1(1)n22n12(2009年湖北高考)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，这样的数为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A289B1 024C1 225 D1 378【解析解析】根据图形的规律可知第n个三角形数为an ，第n个正方形数为bnn2，由此可排
12、除D(1 378不是平方数)将A、B、C选项代入到三角形数表达式中检验可知，符合题意的是C选项，故选C.【答案答案】C3(2009年江苏高考)在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为_【答案答案】184(2008年江苏高考)将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行(n3)从左向右的第三个数为_【答案】【答案】1合情推理主要包括归纳推理和类比推理，数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向2合情推理的过程概况为：3演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论，数学问题的证明主要通过演绎推理来进行4合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方向而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)5在数学中，证明命题的正确性都是使用演绎推理，而合情推理不能用作证明课时作业课时作业点击进入链接点击进入链接