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1、掌握求掌握求轨轨迹方程建立坐迹方程建立坐标标系的一般方法，熟悉求曲系的一般方法，熟悉求曲线线方程方程的五个步的五个步骤骤掌握求掌握求轨轨迹方程的几种常用方法迹方程的几种常用方法2.1.2 求曲线的方程求曲线的方程【课标要求课标要求】【核心扫描核心扫描】利用坐利用坐标标法根据曲法根据曲线线的性的性质质求曲求曲线线的方程和已知曲的方程和已知曲线线的方的方程程讨论讨论曲曲线线的的类类型型(重点重点)利用不同的方法求曲利用不同的方法求曲线线的方程及的方程及对对坐坐标标法的理解法的理解(难点难点)1212解析几何研究的主要解析几何研究的主要问题问题(1)根据已知条件，求出表示根据已知条件，求出表示_；(
2、2)通通过过曲曲线线的方程，研究曲的方程，研究曲线线的的_试一试试一试：尝试说明尝试说明“建立平面直角坐标系是解析几何的基建立平面直角坐标系是解析几何的基础础”提示提示只有建立了坐标系，才有点的坐标，才能把曲线代只有建立了坐标系，才有点的坐标，才能把曲线代数化，才能用代数法研究几何问题数化，才能用代数法研究几何问题自学导引自学导引1曲曲线线的方程的方程性性质质求曲求曲线线方程的一般步方程的一般步骤骤(1)建立适当的坐建立适当的坐标标系，用有序系，用有序实实数数对对_表示曲表示曲线线上任上任意一点意一点M的坐的坐标标；(2)写出适合条件写出适合条件p的点的点M的集合的集合P _；(3)用用_表示
3、条件表示条件p(M)，列出方程，列出方程_；(4)化方程化方程f(x，y)0为为最最简简形式；形式；(5)说说明以化明以化简简后的方程的解后的方程的解为为坐坐标标的点都在曲的点都在曲线线上上想一想想一想：求曲线方程的步骤是否可以省略求曲线方程的步骤是否可以省略？提示提示可以如果化简前后方程的解集是相同的，可以省可以如果化简前后方程的解集是相同的，可以省略步骤略步骤“结论结论”，如有特殊情况，可以适当说明，也可以根，如有特殊情况，可以适当说明，也可以根据情况省略步骤据情况省略步骤“写集合写集合”，直接列出曲线方程，直接列出曲线方程2(x，y)M|p(M)f(x，y)0坐坐标标求曲求曲线线方程的常
4、方程的常见见方法方法(1)直接法：建立适当的坐直接法：建立适当的坐标标系后，系后，设动设动点点为为(x，y)，根据几何，根据几何条件条件寻寻求求x，y之之间间的关系式的关系式(2)定定义义法：如果所法：如果所给给几何条件正好符合已学曲几何条件正好符合已学曲线线的定的定义义，则则可直接利用可直接利用这这些已知曲些已知曲线线的方程写出的方程写出动动点的点的轨轨迹方程迹方程(3)代入法：利用所求曲代入法：利用所求曲线线上的上的动动点与已知曲点与已知曲线线上上动动点的关系，点的关系，把所求把所求动动点点转换为转换为已知已知动动点具体地点具体地说说，就是用所求，就是用所求动动点的点的坐坐标标(x，y)来
5、表示已知来表示已知动动点的坐点的坐标标，并代入已知，并代入已知动动点点满满足的曲足的曲线线的方程，由此可求得的方程，由此可求得动动点坐点坐标标(x，y)满满足的关系足的关系名师点睛名师点睛(4)参数法：如果参数法：如果问题问题中所求中所求动动点点满满足的几何条件不易得出，足的几何条件不易得出，也没有明也没有明显显的相关点，但能的相关点，但能发现这发现这个个动动点受某个点受某个变变量量(像像角度、斜率、比角度、斜率、比值值、截距、截距、时间时间、速度等、速度等)的影响，此的影响，此时时，可先建立可先建立x、y分分别别与与这这个个变变量的关系，然后将量的关系，然后将该变该变量量(参数参数)消去，即
6、可得到消去，即可得到x、y的关系式的关系式题型一题型一直接法求曲线方程直接法求曲线方程 已知在直角三角形已知在直角三角形ABC中，角中，角C为为直角，点直角，点A(1，0)，点点B(1，0)，求，求满满足条件的点足条件的点C的的轨轨迹方程迹方程【例例1】解解 如如图图，设设C(x，y)，(x1)(x1)y20.化化简简得得x2y21.A、B、C三点要构成三角形，三点要构成三角形，A、B、C不共不共线线，y0，点点C的的轨轨迹方程迹方程为为x2y21(y0)规律方法规律方法 直接法是求直接法是求轨轨迹方程的最基本的方法，根据所迹方程的最基本的方法，根据所满满足的几何条件，将几何条件足的几何条件，
7、将几何条件M|p(M)直接翻直接翻译译成成x，y的的形式形式F(x，y)0，然后，然后进进行等价行等价变换变换，化，化简为简为f(x，y)0.要注意要注意轨轨迹上的点不能含有迹上的点不能含有杂杂点，也不能少点，也就是点，也不能少点，也就是说说曲曲线线上的点一个也不能多，一个也不能少上的点一个也不能多，一个也不能少设设两定点两定点A，B距离距离为为8，求到，求到A，B两点距离的平方两点距离的平方和是和是50的的动动点的点的轨轨迹方程迹方程解解以以A，B两点两点连线为连线为x轴轴，A为为坐坐标标原点建立直角坐原点建立直角坐标标系，系，如如图图所示，所示，则则A(0，0)，B(8，0)设设曲曲线线上
8、的上的动动点点P(x，y)【变式变式1】已知已知圆圆C：(x1)2y21，过过原点原点O作作圆圆的任意弦，求所的任意弦，求所作弦的中点的作弦的中点的轨轨迹方程迹方程思路探索思路探索 利用利用圆圆心与弦中点的心与弦中点的连线连线垂直于弦，可知弦中点的垂直于弦，可知弦中点的轨轨迹是迹是圆圆题型题型二二定义法求曲线方程定义法求曲线方程【例例2】规律方法规律方法 如果如果动动点的点的轨轨迹迹满满足某种已知曲足某种已知曲线线的定的定义义，则则可依据定可依据定义结义结合条件写出合条件写出动动点的点的轨轨迹方程利用定迹方程利用定义义法求法求轨轨迹要善于抓住曲迹要善于抓住曲线线的定的定义义特征特征 已知定已知
9、定长为长为6的的线线段，其端点段，其端点A、B分分别别在在x轴轴、y轴轴上移上移动动，线线段段AB的中点的中点为为M，求，求M点的点的轨轨迹方程迹方程解解作出作出图图象如象如图图所示，根据直角三角形的性所示，根据直角三角形的性质质可知可知【变式变式2】所以所以M的的轨轨迹迹为为以原点以原点O为圆为圆心，以心，以3为为半径的半径的圆圆，故，故M点点的的轨轨迹方程迹方程为为x2y29.(12分分)已知已知动动点点M在曲在曲线线x2y21上移上移动动，M和定点和定点B(3，0)连线连线的中点的中点为为P，求，求P点的点的轨轨迹方程迹方程题型题型三三代入法求曲线方程代入法求曲线方程【例例3】又又M在曲
10、在曲线线x2y21上，上，(2x3)24y21 10分分P点的点的轨轨迹方程迹方程为为(2x3)24y21.12分分【题后反思题后反思】代入法求代入法求轨轨迹方程就是利用所求迹方程就是利用所求动动点点P(x，y)与相关与相关动动点点Q(x0，y0)坐坐标间标间的关系式，且的关系式，且Q(x0，y0)又在又在某已知曲某已知曲线线上，上，则则可用所求可用所求动动点点P的坐的坐标标(x，y)表示相关表示相关动动点点Q的坐的坐标标(x0，y0)，即利用，即利用x，y表示表示x0，y0，然后把，然后把x0，y0代入已知曲代入已知曲线线方程即可求得所求方程即可求得所求动动点点P的的轨轨迹方程迹方程已知已知
11、ABC的的顶顶点点A(3，0)，B(0，3)，另一个，另一个顶顶点点C在曲在曲线线x2y29上运上运动动求求ABC重心重心M的的轨轨迹方程迹方程解解设设ABC顶顶点点C(x0，y0)，则则x02y029.设设ABC重心重心M(x，y)由三角形重心坐由三角形重心坐标标公式得：公式得：【变式变式3】代入代入式得：式得：(3x3)2(3y3)29，化化简简得：得：(x1)2(y1)21.此即此即为为ABC重心重心M的的轨轨迹方程迹方程 已知等腰三角形的已知等腰三角形的顶顶点是点是A(4，2)，底，底边边一个一个顶顶点是点是B(3，5)，求另一个，求另一个顶顶点点C的的轨轨迹方程，并迹方程，并说说明它
12、的明它的轨轨迹是迹是什么？什么？错解错解 设设另一另一顶顶点点C的坐的坐标为标为(x，y)，依依题题意，得意，得|AC|AB|，由两点由两点间间距离公式，得距离公式，得 误区警示未对所求结果进行检验致误误区警示未对所求结果进行检验致误【示示例例】造成以上造成以上错误错误的原因是没有的原因是没有认认真思考真思考题题目的几何条目的几何条件件由于由于A、B、C是构成三角形的三是构成三角形的三顶顶点，所以点，所以A、B、C三点不能三点不能共共线线 正解正解 设设另一另一顶顶点点C的坐的坐标为标为(x，y)，依，依题题意，意，得得|AC|AB|，由两点由两点间间距离公式，得距离公式，得化化简简，得，得(
13、x4)2(y2)210.因因为为A、B、C为为三角形的三个三角形的三个顶顶点，点，所以所以A、B、C三点不共三点不共线线，即点即点B、C不能重合，且不能重合，且B、C不能不能为为 A的一直径的两个端点的一直径的两个端点因因为为B、C不重合，所以点不重合，所以点C的坐的坐标标不能不能为为(3，5)，又因又因为为点点B、C不能不能为为 A的一直径的两个端点，的一直径的两个端点，求曲求曲线线的方程与求的方程与求轨轨迹是有不同要求的，若是求迹是有不同要求的，若是求轨轨迹迹则则不不仅仅要求出方程，而且要求出方程，而且还还需需说说明和明和讨论讨论所求所求轨轨迹是什迹是什么么样样的的图图形、在何形、在何处处即即图图形的形状、位置、大小都需形的形状、位置、大小都需说说明、明、讨论讨论清楚求清楚求“轨轨迹迹”时时首先要求出首先要求出“轨轨迹方程迹方程”，然后再，然后再说说明明方程的方程的轨轨迹迹图图形，最后形，最后“补补漏漏”和和“去掉增多去掉增多”的点的点单击此处进入单击此处进入 活页规范训练活页规范训练