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1、第二章第二章下一页下一页上一页上一页第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影2-22-2 点的投影点的投影2-32-3 直线的投影直线的投影2-42-4 平面的投影平面的投影2-5 2-5 直直线与平面、平面线与平面、平面与平面的相对位置与平面的相对位置2-1 2-1 投影法的基本知识投影法的基本知识下一页下一页上一页上一页2-12-1 投影法的基本知识投影法的基本知识一、投影法的概念一、投影法的概念 投射线通过物体，向选定的平面进行投射，投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到图形的方法并在该面上得到图形的方法投影法投影法。投射线投射线投射中心投射中心空间物体空间物
2、体投影面投影面投影投影下一页下一页上一页上一页2-12-1 投影法的基本知识投影法的基本知识二、投影法的分类二、投影法的分类投影法有两类投影法有两类:中心投影法和平行投影法中心投影法和平行投影法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法下一页下一页上一页上一页2-12-1 投影法的基本知识投影法的基本知识三、投影法的基本特性三、投影法的基本特性1.1.中心投影法中心投影法投影大小随物体位置变化投影大小随物体位置变化投影特性：投影特性：投射中心、物体、投射中心、物体、投影面三者之间的相投影面三者之间的相对距离对投影的大小对距离对投影的大小有影响，度量性较差。有影响，度量性较差。abc下一页下一页上
3、一页上一页2-12-1 投影法的基本知识投影法的基本知识三、投影法的基本特性三、投影法的基本特性2.2.平行投影法平行投影法斜角投影法斜角投影法但但倾倾斜斜于于投投影影面面投投射射线线互互相相平平行行且且垂垂直直于于投投影影面面投投射射线线互互相相平平行行直角（正）投影法直角（正）投影法投影特性投影特性 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好。度量性较好。下一页下一页上一页上一页投影方法投影方法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法直角投影法（正投影法）直角投影法（正投影法）斜角投影法斜角投影法画透视画透视图图画轴测图画轴测图画工程图样画工程图
4、样投影法小结投影法小结1 1、投影法的分类投影法的分类2 2、正、正投影法的性质投影法的性质真实性真实性积聚性积聚性类似性类似性下一页下一页上一页上一页2-22-2 点的投影点的投影一、点的两面投影一、点的两面投影1、两面投影体系的建立、两面投影体系的建立投影面投影面正立投影面（正立投影面（V V面）面）水平投影面（水平投影面（H H面）面）HVoX投影轴投影轴OXOX轴轴条件：两个投影面互相垂直条件：两个投影面互相垂直 空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母（加撇）表示。（加撇）表示。投影规定投影规定aa A下一页下一页上一页上一页2-22-2 点的
5、投影点的投影一、点的两面投影一、点的两面投影2、点的两面投影图、点的两面投影图aa OXa ax xaa OXa ax xHVoXaa Aa ax x下一页下一页上一页上一页2-22-2 点的投影点的投影一、点的两面投影一、点的两面投影aa OXa ax xHVoXaa Aa ax x3、点的两面投影规律、点的两面投影规律 一个一个垂直垂直：投影连线垂：投影连线垂 于相应的投影轴于相应的投影轴两个相等两个相等：空间点到投影：空间点到投影面的距离等于相应投影到轴面的距离等于相应投影到轴的距离的距离a a a aOXOXaaaax x =A Aa a a a a ax x=AaAa下一页下一页上一
6、页上一页2-22-2 点的投影点的投影二、点的三面投影二、点的三面投影1、三面投影体系的建立、三面投影体系的建立投影面投影面正面投影面（正面投影面（V V面）面）水平投影面（水平投影面（H H面）面）侧面投影面（侧面投影面（W W面）面）HWVoXZY投影轴投影轴OXOX轴轴 V V面与面与H H面的交线面的交线OZOZ轴轴 V V面与面与W W面的交线面的交线OYOY轴轴 H H面与面与W W面的交线面的交线条件：三个投影面互相垂直条件：三个投影面互相垂直下一页下一页上一页上一页2、点的三面投影、点的三面投影WHVoXa a 点点A A的正面投影的正面投影aa点点A A的水平投影的水平投影a
7、 a 点点A A的侧面投的侧面投影影a aa AZY作空间点作空间点A A的三面投影：的三面投影：2-22-2 点的投影点的投影规定规定:空间点用大写字母表示，点的三个投影空间点用大写字母表示，点的三个投影 都用同一个小写字母表示，其中：都用同一个小写字母表示，其中：H H 投影投影 不加撇，不加撇，V V 投影加一撇，投影加一撇，W W 投影加两撇投影加两撇.下一页下一页上一页上一页WVHXYZOVHWAaa a xaazayaaZaa yayaXYYO azx3、点的三面投影的展开、点的三面投影的展开 保持保持V V面不动，面不动，H H面以面以OXOX为轴向下向后转为轴向下向后转9090
8、，W W面以面以OZOZ为轴向右向后转为轴向右向后转9090。省略掉投影面的范围线，得到点的三面投影图省略掉投影面的范围线，得到点的三面投影图2-22-2 点的投影点的投影下一页下一页上一页上一页4 4、点的三面投影规律点的三面投影规律XYZOVHWAaa a xaazayYZaza XYayOaaxaya a a aOXaOX轴轴 a a a a OZOZ轴轴A A到到V V面的距离面的距离=aaaax x =a a a az zA A到到H H面的距离面的距离=a a a ax x=a a a ay yA A到到W W面的距离面的距离=aaaay y =a a a az z 垂直：投影连线
9、垂直于垂直：投影连线垂直于相应的投影轴相应的投影轴相等：空间点到投影面的距相等：空间点到投影面的距离等于相应投影到轴的距离离等于相应投影到轴的距离2-22-2 点的投影点的投影下一页下一页上一页上一页5 5、点的三面投影规律的应用点的三面投影规律的应用例：已知点的两个投影，求第三投影。例：已知点的两个投影，求第三投影。a a aaxaz解法一解法一:作作4545辅助线辅助线a aaxaza 解法二解法二:圆规直接量取圆规直接量取两种方法都是要保证两种方法都是要保证:a a a az z=aaaax x2-22-2 点的投影点的投影下一页下一页上一页上一页2-22-2 点的投影点的投影三、特殊位
10、置点的投影三、特殊位置点的投影 特殊位置点是指特殊位置点是指:位于投影轴或投影面上的点位于投影轴或投影面上的点下一页下一页上一页上一页2-22-2 点的投影点的投影三、特殊位置点的投影三、特殊位置点的投影注意注意:点的各个投影一定要写在它所属的投影点的各个投影一定要写在它所属的投影 面区域内。面区域内。特殊位置点的投影规律特殊位置点的投影规律下一页下一页上一页上一页2-22-2 点的投影点的投影四、投影体系中的空间分角四、投影体系中的空间分角VHOX1234VHOXW1234586下一页下一页上一页上一页2-22-2 点的投影点的投影五、点的投影与直角坐标系的关系五、点的投影与直角坐标系的关系
11、 点的每个投影反映两个坐标：点的每个投影反映两个坐标：V 投影反映投影反映高标高标和横标和横标，H 投影反映投影反映纵标和横标纵标和横标，W 投影反映投影反映高标高标和纵标和纵标。下一页下一页上一页上一页2-22-2 点的投影点的投影五、点的投影与直角坐标系的关系五、点的投影与直角坐标系的关系一般位置点一般位置点:空间点的三个坐标值空间点的三个坐标值X、Y、Z均不为零，均不为零，称该点为称该点为一般位置点。一般位置点。一般位置点（一般位置点（X X、Y Y、Z Z）例：已知点例：已知点A A（2020，1515，2525），），求作其三面投影图。求作其三面投影图。0XYHYWZxyzaaa下一
12、页下一页上一页上一页2-22-2 点的投影点的投影五、点的投影与直角坐标系的关系五、点的投影与直角坐标系的关系 V V 面面上点（上点（X X、0 0、Z Z）H H 面面上点（上点（X X、Y Y、0 0）W W 面面上点（上点（0 0、Y Y、Z Z）3.3.原点原点上的点上的点:（0 0、0 0、0 0）X X 轴轴上点上点 （X X、0 0、0 0）Y Y 轴轴上点上点 （0 0、Y Y、0 0）Z Z 轴轴上点上点 （0 0、0 0、Z Z）1.1.投影投影面面上的点：空间点的坐标值有一个为零。上的点：空间点的坐标值有一个为零。2.2.投影投影轴轴上点上点:空间点的坐标值有两个为零。
13、空间点的坐标值有两个为零。特殊位置点特殊位置点:下一页下一页上一页上一页六、两点的相对位置六、两点的相对位置 两点的相对位置指两点两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右在空间的上下、前后、左右位置关系。位置关系。判断方法：判断方法：x 坐标分左右，大的在左坐标分左右，大的在左 y 坐标风前后，大的在前坐标风前后，大的在前 z 坐标分上下，大的在上坐标分上下，大的在上b aa a b bXYHYWZ如右图可知：如右图可知：B B点在点在A A点之前、之右、之下。点之前、之右、之下。2-22-2 点的投影点的投影下一页下一页上一页上一页六、两点的相对位置六、两点的相对位置2-22-2 点的投
14、影点的投影例例:如图，已知点如图，已知点A A 的三投影，另一点的三投影，另一点B B 在点在点A A上方上方8mm8mm，左方左方12mm12mm，前方前方10mm10mm处，求点处，求点B B的三个投影。的三个投影。作图步骤：作图步骤：1）在在a左方左方12mm，上上方方8mm处确定处确定b；2）作作bbOX，且在且在a前前10mm处确定处确定b；3）按投影关系求得按投影关系求得b。下一页下一页上一页上一页七、重影点及其可见性七、重影点及其可见性2-22-2 点的投影点的投影 当空间两点位于对投影面的同一条投影线当空间两点位于对投影面的同一条投影线上时，这两点在该投影面上的投影重合，称这上
15、时，这两点在该投影面上的投影重合，称这两点为两点为对该投影面的对该投影面的重影点。重影点。点点A A、B B 称为对称为对H H面的重影点。而点面的重影点。而点C C、D D 则则称为对称为对V V 面的重影点。面的重影点。下一页下一页上一页上一页七、重影点及其可见性七、重影点及其可见性重影点可见性的判断：重影点可见性的判断：前遮后、左遮右、上遮下，前遮后、左遮右、上遮下，不可见的投影加圆括号（）不可见的投影加圆括号（）a a c c()a c2-22-2 点的投影点的投影下一页下一页上一页上一页2-32-3 直线投影直线投影一、直线的投影一、直线的投影 直线的投影直线的投影 两点确定一条直线
16、，将两点的两点确定一条直线，将两点的同面投影同面投影用直用直线连接，就得到直线的同面投影。线连接，就得到直线的同面投影。2.倾角的概念倾角的概念直线对直线对H H、V V、W W面的倾角分别记作：面的倾角分别记作：、下一页下一页上一页上一页二、各种位置的直线及其投影特性二、各种位置的直线及其投影特性一般位置直线一般位置直线:投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）投影面垂直线投影面垂直线正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂
17、直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）垂直于某一投影面垂直于某一投影面统称特殊位置直线统称特殊位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线直线的投影特性取决于直线与三个投影面间直线的投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置的相对位置2-32-3 直线投影直线投影下一页下一页上一页上一页(1)(1)一般位置直线的投影特性一般位置直线的投影特性H HaaAb V VBbW Wa b 三个投影都倾斜于投影轴三个投影都倾斜于投影轴投影特性投影特性三个投影不反映与投影面夹角的实际大小三个投影不反映与投影面夹角的实际大小三个投影的长度都不反映空间线段的实长三个投影的长
18、度都不反映空间线段的实长2-32-3 直线投影直线投影下一页下一页上一页上一页(2)(2)投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性b a aba b b aa b ba ba aa b b 水平线水平线侧平线侧平线正平线正平线 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实大。并反映直线与另两投影面倾角的实大。另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。投投 影影 特特 性：性：2-32-3 直线投影直线投影下一页下一页上一页上一页(3)(3)投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性铅垂线铅
19、垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线c(d)cdd c a b a(b)a b e f efe(f)另外两个投影另外两个投影，反映线段实长。且垂直反映线段实长。且垂直 于相应的投影轴。于相应的投影轴。在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，投影有积聚性投影有积聚性。投影特性投影特性:2-32-3 直线投影直线投影下一页下一页上一页上一页三、直线上点的投影三、直线上点的投影cAH HacaV VbBabcCbW WcacX XabcY YY YbO OaZ Zb判别点在直线上的方法判别点在直线上的方法：从属性从属性:若点在直线上若点在直线上,则点的投影必在直线的同则点的投影必在直线的同 面投影上。面投影
20、上。等比性等比性:点分线段所成比例投影后保持不变。点分线段所成比例投影后保持不变。AC:CB=ac:cb=a c :c b=a c :c b 2-32-3 直线投影直线投影下一页下一页上一页上一页例：判断点例：判断点C是否在线段是否在线段AB上。上。abca b c c abca b 用从属性判断用从属性判断如何用等比性判断？如何用等比性判断？在在不在不在不在不在abca b c a b c 2-32-3 直线投影直线投影下一页下一页上一页上一页例例2 2：已知点：已知点K K在线段在线段ABAB上，求点上，求点K K正面投影。正面投影。解法一：解法一：（应用第三投影）（应用第三投影）解法二：
21、解法二：（应用定比定理）（应用定比定理）aa b bka bkk aa b bkk 2-32-3 直线投影直线投影下一页下一页上一页上一页四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置空间两直线相对位置分：空间两直线相对位置分：平行平行、相交相交、交叉交叉。两直线平行两直线平行投影特性：投影特性：空间两直线平行，则其各空间两直线平行，则其各同面投影同面投影必相互必相互平行（或重合），反之亦然。平行（或重合），反之亦然。aVHc bcdABCDb d a acdbcdabO OX X2-32-3 直线投影直线投影下一页下一页上一页上一页例：判断图中两条直线是否平行。例：判断图中两条直线是否平行。d c
22、 b a cbadd b a c 对于一般位置直线，对于一般位置直线，只要有两个同面投影只要有两个同面投影互相平行，空间两直互相平行，空间两直线就平行。线就平行。对于特殊位置直线，对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。行，空间直线不一定平行。要要求出侧面投影判断求出侧面投影判断AB/CDAB/CDABAB与与CDCD不平行不平行abcdc a b d 2-32-3 直线投影直线投影下一页下一页上一页上一页 两直线相交两直线相交HVABCDKabcdka b c k d abcdb a c d kk 特点：特点：交点是两直线的共有点交点是两直线的共
23、有点 若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同面投影必相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间点的投影规律且交点的投影必符合空间点的投影规律。判别方法：判别方法：2-32-3 直线投影直线投影下一页下一页上一页上一页例：过例：过C C点作水平线点作水平线CD,CD,且与且与ABAB相交。相交。cabb a c d k kd分析分析:CDCD为水平线为水平线,所以其正面投影平所以其正面投影平行于行于OXOX轴轴,因此因此,先先作出作出CDCD的正面投影的正面投影,从而找到从而找到CDCD与与ABAB交交点的正面投影。点的正面投影。2-32-3 直线投影直线投影下一页下一页上一页上一页例
24、例2 2：判断直线：判断直线ABAB、CDCD的相对位置。的相对位置。c a bdabcd相交吗？（）相交吗？（）不相交！不相交！为什么？为什么？交点不符合空间交点不符合空间一个点的投影特性。一个点的投影特性。判断方法？判断方法？应用定比定理应用定比定理 利用侧面投影利用侧面投影平行吗？（）平行吗？（）不平行！不平行！2-32-3 直线投影直线投影下一页下一页上一页上一页 两直线交叉两直线交叉b b d d c c c cd da ab ba a1(2)3(4)3 4 12投影特性：投影特性：同面投影可能相交，但同面投影可能相交，但 “交点交点”不符合空间不符合空间一个点的投影规律。一个点的投
25、影规律。“交点交点”是两直线上的一对是两直线上的一对重影点重影点的投影，用的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。其可帮助判断两直线的空间位置。accAaCV VbH HddDBb2-32-3 直线投影直线投影下一页下一页上一页上一页2-32-3 直线投影直线投影五、直角投影定理五、直角投影定理若直角的两边若直角的两边(相相交或交叉交或交叉)，有一有一边平行于某个投影边平行于某个投影面面(另一边不垂直另一边不垂直于该投影面于该投影面)，则，则此直角在该投影面此直角在该投影面上的投影仍为直角。上的投影仍为直角。下一页下一页上一页上一页2-32-3 直线投影直线投影五、直角投影定理五、直角投影定理
26、逆定理：逆定理：若两直线若两直线(相交或交叉相交或交叉)在某个投影在某个投影面上的投影互相垂直，且其中有一直线平行于面上的投影互相垂直，且其中有一直线平行于该投影面，则此两直线必互相垂直。该投影面，则此两直线必互相垂直。下一页下一页上一页上一页例：过例：过C C点作直线与点作直线与ABAB垂直相交。垂直相交。d abcb c d.ABAB为正平线为正平线,正面投影正面投影反映直角。反映直角。分析：分析：2-32-3 直线投影直线投影下一页下一页上一页上一页六、直角三角形法求一般位置直线的实长及倾角六、直角三角形法求一般位置直线的实长及倾角2-32-3 直线投影直线投影 ABCXOVHb b a
27、 abZ ABabZ分析：分析：过过A点作点作ACab，则得到直角三角形则得到直角三角形ABC。在该三角形中在该三角形中ACab，BCBbAa Z Z(A、B两点的两点的Z坐标差坐标差)，而而BAC 即即角，角，斜边即斜边即AB实长。实长。下一页下一页上一页上一页六、直角三角形法求一般位置直线的实长及倾角六、直角三角形法求一般位置直线的实长及倾角2-32-3 直线投影直线投影 AB ABZabb bZXaABCXOVHb b a b b a abZZ作图步骤：作图步骤：下一页下一页上一页上一页直角三角形法求一般位置直线段的实长及其对投影面的倾角。直角三角形法求一般位置直线段的实长及其对投影面的
28、倾角。实长实长AB-H AB-H 投影长（投影长（abab)-)-Z Z 坐标差坐标差|zA-zB|-角角 实长实长AB-V AB-V 投影长（投影长（a b）-Y Y 坐标差坐标差|yA-yB|-角角 实长实长AB-W AB-W 投影长（投影长（a b）-X X 坐标差坐标差|xA-xB|-角角注意注意对应关系对应关系!ABabZY a b X a b 六、直角三角形法求一般位置直线的实长及倾角六、直角三角形法求一般位置直线的实长及倾角2-32-3 直线投影直线投影下一页下一页上一页上一页六、直角三角形法求一般位置直线的实长及倾角六、直角三角形法求一般位置直线的实长及倾角2-32-3 直线投
29、影直线投影例：例：求直线的实长及对正面投影面的夹角求直线的实长及对正面投影面的夹角 角。角。a ab XbABa b AB a b YAB YY方法一方法一方法二方法二下一页下一页上一页上一页六、直角三角形法求一般位置直线的实长及倾角六、直角三角形法求一般位置直线的实长及倾角2-32-3 直线投影直线投影例已知线段例已知线段ABAB25mm25mm及其投影及其投影abab和和aa，试求该线段的试求该线段的V V 投影投影abab。下一页下一页上一页上一页七、直线的迹点七、直线的迹点2-32-3 直线投影直线投影直线与投影面的交点，称为直线与投影面的交点，称为直线的迹点。直线的迹点。与水平投影面
30、的交点称为与水平投影面的交点称为水平面迹点水平面迹点，用，用M标注。标注。与正面投影面的交点称为与正面投影面的交点称为正面迹点正面迹点，用，用N标注。标注。与侧面投影面的交点称为与侧面投影面的交点称为侧面迹点侧面迹点，用，用S标注。标注。下一页下一页上一页上一页七、直线的迹点七、直线的迹点2-32-3 直线投影直线投影迹点投影特点：迹点投影特点：1 1）因迹点是直线上的点，所以迹点的投影）因迹点是直线上的点，所以迹点的投影必在必在 直线的同面投影上直线的同面投影上。2 2）因迹点是投影面上的点，所以迹点的一个投影）因迹点是投影面上的点，所以迹点的一个投影 必在投影轴上必在投影轴上。下一页下一页
31、上一页上一页七、直线的迹点七、直线的迹点2-32-3 直线投影直线投影1）延长）延长ab，使之与使之与X 轴交于点轴交于点m；2）由）由m引引X 轴的垂线，与轴的垂线，与ab的延长线交于的延长线交于m；3）延长延长ab，使其与使其与X 轴交于点轴交于点n；4）由）由n 引引X 轴的垂线，与轴的垂线，与ab的延长线交于的延长线交于n。例试求直线例试求直线AB AB 的的M M、N N 迹点。迹点。下一页下一页上一页上一页2-42-4 平面的投影平面的投影一、平面的表示法一、平面的表示法abca b c 不共线的不共线的三个点三个点abca b c 直线及线直线及线外一点外一点caba b c d
32、d 平行两直线平行两直线abca b c 相交两相交两直线直线abca b c 平面平面图形图形下一页下一页上一页上一页2-42-4 平面的投影平面的投影一、平面的表示法一、平面的表示法平面和投影面的交线，称为平面和投影面的交线，称为平面的迹线。平面的迹线。平面的迹线也可以表示平面。平面的迹线也可以表示平面。平面和平面和H H 面的交线，称为面的交线，称为水平迹线水平迹线 P PH H，和和V V 面的交线，称为面的交线，称为正面迹线正面迹线 P PV V，和和W W 面的交线，称为面的交线，称为侧面迹线侧面迹线 P PW W.PV下一页下一页上一页上一页二、平面的投影特性二、平面的投影特性
33、平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性平行平行垂直垂直倾斜倾斜 平面平行投影面平面平行投影面-投影就把实形现（投影就把实形现（真实性真实性）平面倾斜投影面平面倾斜投影面-投影类似原平面（投影类似原平面（类似性类似性）平面垂直投影面平面垂直投影面-投影积聚成直线（投影积聚成直线（积聚性积聚性）投影特性投影特性2-42-4 平面的投影平面的投影下一页下一页上一页上一页 平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性一般位置平面一般位置平面 投影面平行面投影面平行面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面投影面垂直面投影面垂直面 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面
34、特殊位置平面特殊位置平面平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面的位置可分为三类：平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面垂直与其余两投影面垂直垂直于某一投影面而垂直于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜2-42-4 平面的投影平面的投影下一页下一页上一页上一页1.1.一般位置平面的一般位置平面的投影特性投影特性2-42-4 平面的投影平面的投影 一般位置平面和三个投影面一般位置平面和三个投影面既不垂直也不平既不垂直也不平行行，所以，如用平面形表示一般位置平面，则它，所以，如用平面形表示一般位置平面，则它的三个投影均不是实形，但
35、具有的三个投影均不是实形，但具有类似性类似性。下一页下一页上一页上一页2.2.投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性2-42-4 平面的投影平面的投影AcCabBVWH下一页下一页上一页上一页2.2.投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性2-42-4 平面的投影平面的投影 铅垂面铅垂面 投影特性投影特性 (1)(1)abcabc积聚为一条线积聚为一条线 (2)(2)a a b b c c、a a b b c c 为为 ABCABC的类的类似形似形 (3)(3)abcabc与与OXOX、OYOY的夹角的夹角反映反映、角的真实角的真实 大小大小下一页下一页上一页上一页2.2.投影面垂直
36、面的投影特性投影面垂直面的投影特性2-42-4 平面的投影平面的投影 正垂面正垂面投影特性投影特性 (1)a b c 积聚为一条线积聚为一条线 (2)abc、a b c 为为 ABC的类似形的类似形 (3)a b c 与与OX、OZ的夹角的夹角反映反映、角的真角的真实大小实大小 下一页下一页上一页上一页投影特性投影特性 (1)a b c 积聚为一条线积聚为一条线 (2)abc、a b c 为为 ABC的类似形的类似形 (3)a b c 与与OZOZ、OYOY的夹角的夹角反映反映、角的真实大角的真实大小小 2.2.投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性2-42-4 平面的投影平面的投影 侧
37、垂面侧垂面下一页下一页上一页上一页2.2.投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性2-42-4 平面的投影平面的投影总结投影面垂直面的总结投影面垂直面的投影特性投影特性是：是：1 1)在其所垂直的投影面上，投影为斜直在其所垂直的投影面上，投影为斜直线，有线，有积聚性积聚性；该斜直线与投影轴的夹角；该斜直线与投影轴的夹角反反映映该平面对相应投影面的该平面对相应投影面的倾角倾角；2 2)在另外两个投影面上的投影不是实在另外两个投影面上的投影不是实形，但具有形，但具有类似性类似性。下一页下一页上一页上一页a b c a b c abc3.3.投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性 正平面正
38、平面 侧平面侧平面 水平面水平面2-42-4 平面的投影平面的投影1)如平面用平面形表示，则其在所平行的投影面上如平面用平面形表示，则其在所平行的投影面上的投影，的投影，反映反映平面形的平面形的实形实形；2)2)在另外两个投影面上的投影均为直线段，有在另外两个投影面上的投影均为直线段，有积积聚性聚性，且，且平行于相应的投影轴平行于相应的投影轴。下一页下一页上一页上一页a c b c a abcb 例例：正垂面：正垂面ABCABC与与H H面的夹角为面的夹角为4545，已知其水平投影，已知其水平投影 及顶点及顶点B B的正面投影，求的正面投影，求ABCABC的正面投影及侧面的正面投影及侧面 投影
39、。投影。思考：此题有几个解？思考：此题有几个解？452-42-4 平面的投影平面的投影下一页下一页上一页上一页三、平面上的点和直线三、平面上的点和直线1.1.平面上的点平面上的点 点在平面上点在平面上,则该点必定在该平面的某条直线上则该点必定在该平面的某条直线上.先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。助线，然后再在该直线上确定点的位置。面上取点的方法：面上取点的方法：点在面上的条件：点在面上的条件：即：把平面上取点即：把平面上取点,转变为直线上取点的问题。转变为直线上取点的问题。一般位置平面上取点：一般位置平面上取点
40、：辅助线法辅助线法特殊位置平面上取点：特殊位置平面上取点：积聚性法积聚性法2-42-4 平面的投影平面的投影下一页下一页上一页上一页1.1.平面上取点平面上取点例：已知例：已知K K点在平面点在平面ABCABC上，求上，求K K点的水平投影。点的水平投影。bacc a k b kabca b k c d k kd利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面2-42-4 平面的投影平面的投影下一页下一页上一页上一页判断直线属于判断直线属于平面内的方法平面内的方法 定定 理理 一一若一直线过平面若一直线过平面上
41、的两点，则此上的两点，则此直线必在该平面直线必在该平面内。内。定定 理理 二二若一直线过平面上的若一直线过平面上的一点，且平行于该平一点，且平行于该平面上的另一直线，则面上的另一直线，则此直线在该平面内。此直线在该平面内。2.2.平面上取任意直线平面上取任意直线2-42-4 平面的投影平面的投影下一页下一页上一页上一页abcb c a d mnn m d例：已知平面由直线例：已知平面由直线ABAB、ACAC确定，试在平面内任确定，试在平面内任 作一条直线。作一条直线。解法一解法一解法二解法二根据定理二根据定理二根据定理一根据定理一此题几解此题几解?思考问题思考问题:2-42-4 平面的投影平面
42、的投影abcb c a 下一页下一页上一页上一页例：在平面例：在平面ABCABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到H H面的距面的距 离为离为10mm10mm。n m nm10c a b cab 1.1.此题几解此题几解?3.3.平面上取平面上取特殊直线特殊直线 思考问题思考问题:2.2.如何作正平线如何作正平线?2-42-4 平面的投影平面的投影下一页下一页上一页上一页例：已知例：已知ACAC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形ABCDABCD的的 水平投影。水平投影。bckada d b c ada d b c k bc解法一解法一解法二解法二2-42-4 平面的投影
43、平面的投影下一页下一页上一页上一页dede1010m m例例5 5：在：在ABCABC内取一点内取一点M M，并使其到并使其到H H面面V V面面的距离的距离 均为均为10mm10mm。bcX XbcaaO O2-42-4 平面的投影平面的投影下一页下一页上一页上一页2-5 2-5 线与面、面与面的相位置线与面、面与面的相位置相对位置包括相对位置包括平行平行、相交相交和和垂直垂直。一、平行问题一、平行问题 直线与平面平行直线与平面平行 平面与平面平行平面与平面平行1.1.直线与平面平行直线与平面平行定定 理：理：若一直线平行于平面上的某一直若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互
44、平行。线，则该直线与此平面必相互平行。平行问题平行问题 下一页下一页上一页上一页例例2 2：过：过M M点作直线点作直线MNMN平行于平行于V V面和平面面和平面ABCABC。n a c b m abcmn例例1 1：过：过M M点作直线点作直线MNMN平行于平面平行于平面ABCABC。c b a m abcmnn 2-5 2-5 线与面、面与面的相位置线与面、面与面的相位置下一页下一页上一页上一页 两平面平行两平面平行 若一平面上的若一平面上的两相两相交直线交直线与另一平面上与另一平面上的的两相交直线两相交直线对应平对应平行，则这两平面相互行，则这两平面相互平行。平行。若两若两投影面垂直投影
45、面垂直面面相互平行，则它们相互平行，则它们具有积聚性具有积聚性的那组投的那组投影必相互平行。影必相互平行。f h abcdefha b c d e c f b d e a abcdef2-5 2-5 线与面、面与面的相位置线与面、面与面的相位置下一页下一页上一页上一页二、相交问题二、相交问题包括包括直线与平面相交直线与平面相交和和平面与平面相交平面与平面相交1.1.直线与平面相交直线与平面相交 直线与平面相交，其直线与平面相交，其交点交点是直线与平是直线与平面的面的共有点。共有点。要解决的问题：要解决的问题：求直线与平面的求直线与平面的交点。交点。判别两者之间的相互遮挡关系，即判别两者之间的相
46、互遮挡关系，即判别可见性。判别可见性。重点掌握重点掌握:直线与平面中至少有一个处于直线与平面中至少有一个处于 特殊位置的情况。特殊位置的情况。2-5 2-5 线与面、面与面的相位置线与面、面与面的相位置下一页下一页上一页上一页 平面为特殊位置平面为特殊位置例：求直线例：求直线MN与平面与平面ABC的交点的交点K并判别可见性。并判别可见性。abcmnc n b a m k 1(2)k21 直线为特殊位置直线为特殊位置km(n)bm n c b a ac1(2)k 212-5 2-5 线与面、面与面的相位置线与面、面与面的相位置下一页下一页上一页上一页二、相交问题二、相交问题要解决的问题：要解决的
47、问题：判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。重点重点:两面中至少有一个是特殊位置两面中至少有一个是特殊位置2.2.两平面相交两平面相交 两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。求两平面的交线求两平面的交线方法：方法：确定两平面的确定两平面的两个共有点。两个共有点。2-5 2-5 线与面、面与面的相位置线与面、面与面的相位置下一页下一页上一页上一页例例1 1：求两平面的交线：求两平面的交线MN,MN,并判别可见性。并判别可见性。ab
48、cdefc f d b e a m(n)nm1.空间及投影分析空间及投影分析:交线必为一条正垂交线必为一条正垂线，只要求得交线上的线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的一个点便可作出交线的投影。投影。求交线求交线 判别可见性判别可见性2.作作 图图2-5 2-5 线与面、面与面的相位置线与面、面与面的相位置下一页下一页上一页上一页例例1 1：求两平面的交线：求两平面的交线MN,MN,并判别可见性。并判别可见性。abcdefc f d b e a m(n)nmabcdefc f b e a m(n)mnO O2-5 2-5 线与面、面与面的相位置线与面、面与面的相位置下一页下一页上一页上一页b
49、 c f h a e abcefh1(2)1.空间及投影分析空间及投影分析m n 即即MN的正面投影。的正面投影。求交线求交线 判别可见性判别可见性2.作作 图图mn 2 nm 1 例例2 2：求两平面的交线：求两平面的交线MN,MN,并判别可见性。并判别可见性。2-5 2-5 线与面、面与面的相位置线与面、面与面的相位置下一页下一页上一页上一页c d e f a b abcdef f投影分析投影分析 N N点的水平投影点的水平投影n位于位于def 的外面，说的外面，说明点明点N N位于位于DEFDEF所确定所确定的平面内，但不位于的平面内，但不位于DEFDEF这个图形内。这个图形内。所以所以
50、ABCDEFABCDEF的的交线应交线应MK。n nn m kmk c d e f a abcdefmkk m 2-5 2-5 线与面、面与面的相位置线与面、面与面的相位置例例2 2：求两平面的交线：求两平面的交线MN,MN,并判别可见性。并判别可见性。下一页下一页上一页上一页aa bd(e)ebdh(f)cfch1 1(2 2)空间及投影分析空间及投影分析 平面平面DEFHDEFH是一铅垂面，是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其它的水平投影有积聚性，其与与ac c、bcbc的交点的交点m m 、n n 即为即为两个共有点的水平投影，故两个共有点的水平投影，故mnmn即为交线即为交线MNMN的