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1、第一章第一章 寿险精算基础（寿险精算基础（3 3）1.1 利息理论利息理论 累积函数、实际利率与名义利率、年金累积函数、实际利率与名义利率、年金1.2 生命表生命表 生命表、生命函数生命表、生命函数、多减因表（自学）多减因表（自学）1.2 生命表生命表 以以表格表格形式表示形式表示同时出生的一组人同时出生的一组人在每个年龄的在每个年龄的死亡率。死亡率。1.2 生命表生命表 1.2 生命表生命表 1.2.1 基本函数（基本函数（生命表的基本内容生命表的基本内容）1.:存活到存活到 岁的人口数。岁的人口数。一般为刚出生的一般为刚出生的1000000人人表示同时出生的表示同时出生的1000000人，
2、活到人，活到25岁的人数。岁的人数。（确切整数年龄（确切整数年龄=完全年龄）完全年龄）2.:岁之间死亡的人数。岁之间死亡的人数。时，简记为时，简记为表示表示0-1岁之间的死亡人数岁之间的死亡人数如果最高年龄为如果最高年龄为3.:x岁的人在岁的人在 岁之间死亡概率。岁之间死亡概率。生命表生命表就是以就是以死亡概率死亡概率为为基础编制出来的。基础编制出来的。时，简记为时，简记为4.:x 岁的人在岁的人在 岁时仍生存的概率。岁时仍生存的概率。时，简记为时，简记为5.:x 岁人群在岁人群在 岁生存的岁生存的人年数人年数。时，简记为时，简记为6.:x 岁人群岁人群未来累积未来累积生存生存人年数人年数。（
3、人年数（人年数 =人数人数 年数）年数）7.:x 岁人群的平均岁人群的平均余寿余寿。时，时，表示出生时平均余寿。表示出生时平均余寿。8.:x岁的人在岁的人在 之间死亡的概率。之间死亡的概率。9.:x岁的人在岁的人在 之间死亡的概率。之间死亡的概率。当当 m=0 时时当当 m=1 时时当当 m=时时表示新生儿在表示新生儿在 岁前死亡的概率函数岁前死亡的概率函数1.2.2 生存分布生存分布1 新生儿新生儿存活时间存活时间 X 的的分布函数分布函数（表示（表示0岁的人在岁的人在0 x之间死亡的概率之间死亡的概率）定义式定义式0时间时间（随机变量）（随机变量）105X死亡死亡时点时点2 新生儿的新生儿
4、的生存函数生存函数 表示新生儿活到表示新生儿活到 岁的概率岁的概率（表示（表示0岁的人在岁的人在0 x之间存活的概率之间存活的概率）定义式定义式（随机变量）（随机变量）1050时间时间X死亡死亡时点时点Abraham de Moivre 假设（假设（1729）的的生存函数生存函数 表示表示 岁人在岁人在 时间内死亡的概率时间内死亡的概率3 岁岁余寿余寿 的的分布函数分布函数 定义式定义式0时间时间（随机变量）（随机变量）105死亡死亡时点时点表示表示 岁人在岁人在 时间内存活的概率时间内存活的概率定义式定义式4 岁岁余寿余寿 的的生存函数生存函数 0时间时间（随机变量）（随机变量）105死亡死
5、亡时点时点【例例】某年龄某年龄 50岁岁 的人，在的人，在55岁零岁零6个月时死亡，求他的余个月时死亡，求他的余寿和整值余寿。寿和整值余寿。5 岁人的岁人的整值余寿整值余寿 的概率的概率分布函数分布函数 定义式定义式余寿：余寿：整值余寿：整值余寿：即即瞬间死亡水平瞬间死亡水平。可用。可用生存函数生存函数的的相对变化率相对变化率来定义。来定义。6 死亡力死亡力 定义式定义式 :x岁的人在岁的人在 岁存活的概率。岁存活的概率。令令 ，将积分变量从，将积分变量从 y 变为变为 S，则则7 岁人的岁人的余寿余寿 的的概率密度函数概率密度函数 :x岁的人在岁的人在 之间死亡的概率。之间死亡的概率。:x岁
6、的人在岁的人在 岁之间死亡的概率。岁之间死亡的概率。:x岁人群的平均岁人群的平均余寿余寿。【例例1 1】已知已知 2020岁的生存人数为岁的生存人数为10001000人，人，2121岁的岁的生存人数为生存人数为998998人，人，2222岁的生存人数为岁的生存人数为992992人。人。求求2020岁的人岁的人在在21-2221-22岁之间死亡的概率岁之间死亡的概率。已知已知：求求：解解：【例例2 2】已知已知4040岁的死亡率为岁的死亡率为0.040.04，4141岁的死亡率岁的死亡率为为0.060.06，4242岁的人生存到岁的人生存到4343岁的概率为岁的概率为0.920.92。如果。如果4040岁生存人数为岁生存人数为100100人，求人，求4343岁时的生存人数。岁时的生存人数。已知已知：求求：解解：习题习题：1 P.35 1 P.35 第第 5 5、6 6 题。题。2 2 补充：给出生存函数补充：给出生存函数 求：求：（1 1）人在人在5050岁岁6060岁之间死亡的概率；岁之间死亡的概率；（2 2）5050岁的人在岁的人在6060岁以前死亡的概率；岁以前死亡的概率；（3 3）5050岁的人能活到岁的人能活到7070岁的概率。岁的概率。