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1、1.8 一阶微分方程的应用一阶微分方程的应用应用微分方程去解决一些实际问题应用微分方程去解决一些实际问题应用介绍：应用介绍：应用大意应用大意应用一：应用一：曲线族的等角轨线曲线族的等角轨线应用二：应用二：雨滴的下落雨滴的下落应用三：应用三：人口增长模型人口增长模型应用四：应用四：静脉注射给药静脉注射给药应用五：应用五：水流问题水流问题1：应用大意应用大意适应范围适应范围与变化率有关的各种实际问题应用三步曲应用三步曲(1)建立模型建立模型 Modelling(2)模型求解模型求解 Solving(3)模型应用模型应用 Application建议:模型要详略得当应用一：曲线族的等角轨线应用一：曲线
2、族的等角轨线设给定一个平面上以设给定一个平面上以C C为参数的曲线族为参数的曲线族（*）我们设法求出另一个以我们设法求出另一个以k k为参数的曲线族为参数的曲线族（*）使得曲线族（使得曲线族（*）中的任一条曲线与曲线族）中的任一条曲线与曲线族样的曲线族（样的曲线族（*）是已知曲线族（）是已知曲线族（*）的）的（*）中的每一条曲线相交时成定角）中的每一条曲线相交时成定角 则称这则称这等角轨线族。等角轨线族。当当 时，称曲线族（时，称曲线族（*）是（）是（*）的）的正交轨线族。正交轨线族。例如：曲线族例如：曲线族 是曲线族是曲线族 的正交轨线族。的正交轨线族。设设 y=y(x)为为(C)中任一条曲
3、线，于是存在相应中任一条曲线，于是存在相应的的C，使得，使得 因为要求因为要求x,y,y 的关系，将上式对的关系，将上式对x求导数，得求导数，得 (1.84)这样，将上两式联立，即由这样，将上两式联立，即由上述关系式成为曲线族满足的微分方程上述关系式成为曲线族满足的微分方程例例1 1 求抛物线族求抛物线族 的正交轨线族。的正交轨线族。解：解：对方程两边关于对方程两边关于x x求导得求导得由由 解出解出C C代入上式得曲线族代入上式得曲线族 在点在点 处切线斜率为处切线斜率为 由于所求曲线族的曲线与由于所求曲线族的曲线与 中的曲线在中的曲线在 正交，故满足方程正交，故满足方程 这是一个变量可分离
4、方程求解得这是一个变量可分离方程求解得 的正交的正交曲线族为曲线族为这是一个椭圆，如右图这是一个椭圆，如右图放大此图 图图2.162.16应用二：应用二：雨滴的下落雨滴的下落考虑雨滴在高空形成后下落的过程中速度的变化三种不同的假设(1)自由落体运动(2)小阻力的情况(3)大阻力的情况(1)自由落体运动下落过程中没有任何阻力下落过程中没有任何阻力(2)小阻力的情况下落过程中阻力与速度和半径的乘积成比例下落过程中阻力与速度和半径的乘积成比例(3)大阻力的情况下落过程中阻力与速度和半径的乘积平方成比例下落过程中阻力与速度和半径的乘积平方成比例三、药物设计医生给病人开处方是必须注意两点：医生给病人开处
5、方是必须注意两点：服药的剂量和服药的时间间隔。服药的剂量和服药的时间间隔。超剂量的药物会对患者产生严重不良后果，超剂量的药物会对患者产生严重不良后果，甚至死亡；剂量不足，则不能达到治疗的效果。甚至死亡；剂量不足，则不能达到治疗的效果。一次给药的药时曲线一次给药的药时曲线血血药药浓浓度度mg/l时间时间残留期残留期持续期持续期药峰时间药峰时间潜伏期潜伏期药峰浓度药峰浓度最低中毒浓度最低中毒浓度最低有效浓度最低有效浓度安安全全范范围围转化排泄过程转化排泄过程多次给药的药时曲线多次给药的药时曲线0 01 11 12 22 23 34 45 56 6血血药药浓浓度度时间时间CmaxCmaxCminCm
6、in治疗窗口治疗窗口药物消除类型药物消除类型 1 一级动力学消除（恒比消除）：一级动力学消除（恒比消除）：单位时间内按血药浓度的恒比进行消单位时间内按血药浓度的恒比进行消除。除。消除速度与血药浓度成正比。消除速度与血药浓度成正比。若以血药浓度（若以血药浓度（C）的对数与时间）的对数与时间（t）作图，）作图，为一直线。为一直线。2.零级动力学消除（恒量消除）：零级动力学消除（恒量消除）：单位时间内始终以一个恒定的数量进单位时间内始终以一个恒定的数量进行消除。行消除。消除速度与血药浓度无关。消除速度与血药浓度无关。是指包括零级和一级动力学消除在内的混合型消除方式。如当药物剂量急剧增加或患者有某些疾
7、病，血浓达饱和时，消除方式则可从一级动力学消除转变为零级动力学消除。如乙醇血浓0.05 mg/ml时，则可转成按零级动力学消除。3米氏消除动力学（米氏消除动力学（混合型消除混合型消除）：模型及其数值实现模型及其数值实现阅读材料:服药问题医生给病人开处方时必须注明两点医生给病人开处方时必须注明两点:服药的服药的剂量和服药的时间间隔剂量和服药的时间间隔.超剂量的药品会对身体超剂量的药品会对身体产生严重不良后果产生严重不良后果,甚至死亡甚至死亡,而剂量不足而剂量不足,则不则不能达到治病的目的能达到治病的目的.已知患者服药后已知患者服药后,随时间推随时间推移移,药品在体内逐渐被吸收药品在体内逐渐被吸收
8、,发生生化反应发生生化反应,也就也就是体内药品的浓度逐渐降低是体内药品的浓度逐渐降低.药品浓度降低的速药品浓度降低的速率与体内当时药品的浓度成正比率与体内当时药品的浓度成正比.当服药量为当服药量为A A、服药间隔为服药间隔为T,T,试分析体内药的浓度随时间的变试分析体内药的浓度随时间的变化规律化规律.体内药的浓度随时间的变化规律Model 3:Population dynamicsIn this section we examine equations of the form y=f(y),called autonomous equations,where the independentvar
9、iable t does not appear explicitly.The main purpose of this section is to learn how geometricmethods can be used to obtain qualitative informationdirectly from differential equation without solving it.Simplest model:population growth rate is proportional tocurrent size of the population:Solution:exp
10、onential growth):Model 3:Population dynamicsLogistic Growth An exponential model y=ry,with solution y=ert,predictsunlimited growth,with rate r 0 independent of population.Assuming instead that growth rate depends on populationsize,replace r by a function h(y)to obtain y=h(y)y.We want to choose growt
11、h rate h(y)so that h(y)r when y is small,h(y)decreases as y grows larger,and h(y)0.Our differential equation then becomes This equation is known as the Verhulst,or logistic,equation.The logistic equation from the previous slide is This equation is often rewritten in the equivalent form where K=r/a.T
12、he constant r is called the intrinsic growth rate,and as we will see,K represents the carrying capacity of the population.A direction field for the logisticequation with r=1 and K=10is given here.Equilibrium solutions of the logistic equation Our logistic equation is Two equilibrium solutions are cl
13、early present:In direction field below,with r=1,K=10,note behavior ofsolutions near equilibrium solutions:y=0 is unstable,y=K=10 is asymptotically stable.Qualitative analysis of the logistic equation To better understand the nature of solutions to autonomousequations y=f(y),we start by graphing f(y)
14、vs.y.In the case of logistic growth,that means graphing thefollowing function and analyzing its graph using calculus.Qualitative analysis,critical points The intercepts of f occur at y=0 and y=K,correspondingto the critical points of logistic equation.The vertex of the parabola is(K/2,rK/4),as shown
15、 below.Qualitative analysis,increasing/decreasing Note dy/dt 0 for 0 y K,so y is an increasing function oft there(indicate with right arrows along y-axis on 0 y K(indicatewith left arrows along y-axis on y K).In this context the y-axis is often called the phase line.Qualitative analysis,concavity Ne
16、xt,to examine concavity of y(t),we find y:Thus the graph of y is concave up when f and f have samesign,which occurs when 0 y K.The graph of y is concave down when f and f have oppositesigns,which occurs when K/2 y K.Inflection point occurs at intersection of y and line y=K/2.Qualitative analysis,cur
17、ve sketching Combining the information on the previous slides,we have:Graph of y increasing when 0 y K.Slope of y approximately zero when y 0 or y K.Graph of y concave up when 0 y K.Graph of y concave down when K/2 y K.Inflection point when y=K/2.Using this information,we cansketch solution curves y
18、 fordifferent initial conditions.Qualitative analysis,curve sketching Using only the information present in the differential equationand without solving it,we obtained qualitative informationabout the solution y.For example,we know where the graph of y is the steepest,and hence where y changes most
19、rapidly.Also,y tendsasymptotically to the line y=K,for large t.The value of K is known as the carrying capacity,orsaturation level,for the species.Note how solution behavior differsfrom that of exponential equation,and thus the decisive effect ofnonlinear term in logistic equation.Model 3:Population
20、 dynamics Exact solution:separating variables Provided y 0 and y K,we can rewrite the logistic ODE:Expanding the left side using partial fractions,Thus the logistic equation can be rewritten as Integrating the above result,we obtainExact solution:resolving for explicit solutionWe have:If 0 y0 K,then
21、 0 y K and henceRewriting,using properties of logs:Exact solution:resolving for explicit solutionWe have:for 0 y0 K.Also,this solution contains equilibrium solutions y=0 and y=K.Hence solution to logistic equation is模型预测的动态行为与大量的实验和观测模型预测的动态行为与大量的实验和观测数据吻合数据吻合 水的流出问题水的流出问题一横截面积为一横截面积为 A，高为，高为 H 的水池内
22、盛满了水，有的水池内盛满了水，有池底一横截面积为池底一横截面积为 B 的小孔放水。设水从小孔流的小孔放水。设水从小孔流出的速度为出的速度为 ，求在任意时刻的水面，求在任意时刻的水面高度和将水放空所需的时间高度和将水放空所需的时间AB水面1水面2问题分析问题分析 从水面从水面1降到水面降到水面2所失去的水量等于从小孔流所失去的水量等于从小孔流出的水量出的水量 容器内水的体积为零容器内水的体积为零 即为容器内水的高度为零即为容器内水的高度为零建模与求解建模与求解1）从水面）从水面1将到水面将到水面2所失去的体积为所失去的体积为-在时间内在时间内 ，实际损失的体积是，实际损失的体积是2）在同样时间内，水从小孔流出的体积为在同样时间内，水从小孔流出的体积为-是水在是水在 时间内从小孔流出保持水平前进时所经过时间内从小孔流出保持水平前进时所经过的距离的距离则则两端同除以两端同除以 ，并令并令 取极限得取极限得由于由于可得一阶方程：可得一阶方程：解为解为下面求将水放空的时间下面求将水放空的时间 t*t*令令h=0 代入上式得代入上式得例如例如,设设 A=0.54 m2,B=0.001 m2,H=4.9m,g=9.8m/s2.则将水放空的时间为则将水放空的时间为作业nP612，3，6