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1、第三章 图像变换 第7节 频域变换7.1 傅立叶变换傅立叶变换 7.2 频域变换的一般表达式频域变换的一般表达式 7.3 离散余弦变换离散余弦变换 7.4 离散沃尔什哈达玛变换离散沃尔什哈达玛变换 7.5 小波变换简介小波变换简介 第三章 图像变换 7.1 傅傅 立立 叶叶 变变 换换 7.1.1 二维离散傅立叶变换二维离散傅立叶变换 二维离散傅立叶变换对定义为第三章 图像变换 式中：u,x=0,1,2,M-1；v,y=0,1,2,N-1；x,y为时域变量，u,v为频域变量。像一维离散傅立叶变换一样，系数1/MN可以在正变换或逆变换中，也可以在正变换和逆变换前分别乘以系数，只要两式系数的乘积等
2、于1MN即可。二维离散函数的傅立叶频谱、相位谱和能量谱分别为式中，R(u,v)和I(u,v)分别是F(u,v)的实部和虚部。第三章 图像变换 7.1.2 离散傅立叶变换的性质离散傅立叶变换的性质 表表7-1 二维离散傅立叶变换的性质二维离散傅立叶变换的性质 第三章 图像变换 第三章 图像变换 1.可分离性可分离性由可分离性可知，一个二维傅立叶变换可分解为两步进行，其中每一步都是一个一维傅立叶变换。先对f(x,y)按行进行傅立叶变换得到F(x,v)，再对F(x,v)按列进行傅立叶变换，便可得到f(x,y)的傅立叶变换结果，如图7-4所示。显然对f(x,y)先按列进行离散傅立叶变换，再按行进行离散
3、傅立叶变换也是可行的。图7-4用两次一维DFT计算二维DFT第三章 图像变换 2.平移性质平移性质平移性质表明，只要将f(x,y)乘以因子(1)x+y，再进行离散傅立叶变换，即可将图像的频谱原点（0，0）移动到图像中心（M2,N2）处。图7-5是简单方块图像平移的结果。图7-5傅立叶频谱平移示意图(a)原图像；（b）无平移的傅立叶频谱；（c）平移后的傅立叶频谱(a)(b)(c)第三章 图像变换 3.旋转不变性旋转不变性由旋转不变性可知，如果时域中离散函数旋转0角度，则在变换域中该离散傅立叶变换函数也将旋转同样的角度。离散傅立叶变换的旋转不变性如图7-6所示。图7-6离散傅立叶变换的旋转不变性（
4、a）原始图像；（b）原始图像的傅立叶频谱；（c）旋转45后的图像；（d）图像旋转后的傅立叶频谱(a)(b)(d)(c)第三章 图像变换 7.2 频域变换的一般表达式频域变换的一般表达式 7.2.1 可分离变换可分离变换二维傅立叶变换可用通用的关系式来表示：式中：x,u=0,1,2,M1；y,v=0,1,2,N1；g(x,y,u,v)和h(x,y,u,v)分别称为正向变换核和反向变换核。第三章 图像变换 如果g(x,y,u,v)=g1(x,u)g2（y,v）(7-38)h(x,y,u,v)=h1(x,u)h2(y,v)(7-39)则称正、反变换核是可分离的。进一步，如果g1和g2，h1和h2在函
5、数形式上一样，则称该变换核是对称的。二维傅立叶变换对是式（7-36）和式（7-37）的一个特殊情况，它们的核为第三章 图像变换 可见，它们都是可分离的和对称的。如前所述，二维傅立叶变换可以利用变换核的可分离性，用两次一维变换来实现，即可先对f(x,y)的每一行进行一维变换得到F(x,v)，再沿F(x,v)每一列取一维变换得到变换结果F(u,v)。对于其他的图像变换，只要其变换核是可分离的，同样也可用两次一维变换来实现。如果先对f(x,y)的每一列进行一维变换得到F(y,u)，再沿F(y,u)每一行取一维变换得到F(u,v)，其最终结果是一样的。该结论对反变换核也适用。第三章 图像变换 7.2.
6、2 图像变换的矩阵表示图像变换的矩阵表示数字图像都是实数矩阵，设f(x,y)为MN的图像灰度矩阵，通常为了分析、推导方便，可将可分离变换写成矩阵的形式：F=PfQF=P-1FQ-1其中，F、f是二维MN的矩阵；P是MM矩阵；Q是NN矩阵。式中，u=0,1,2,M1，v=0,1,2,N1。第三章 图像变换 对二维离散傅立叶变换，则有实践中，除了DFT变换之外，还采用许多其他的正交变换。例如：离散余弦变换、沃尔什-哈达玛变换、K-L变换等，下面将对常用的变换作一简要介绍。第三章 图像变换 7.3 离散余弦变换（离散余弦变换（DCT）离散余弦变换（DiscreteCosineTransform，DC
7、T）的变换核为余弦函数。DCT除了具有一般的正交变换性质外，它的变换阵的基向量能很好地描述人类语音信号和图像信号的相关特征。因此，在对语音信号、图像信号的变换中，DCT变换被认为是一种准最佳变换。近年颁布的一系列视频压缩编码的国际标准建议中，都把DCT作为其中的一个基本处理模块。除此之外，DCT还是一种可分离的变换。第三章 图像变换 7.3.1 一维离散余弦变换一维离散余弦变换一维DCT的变换核定义为式中，x,u=0,1,2,N1；一维DCT定义如下：设f(x)|x=0,1,N-1为离散的信号列。式中，u,x=0,1,2,N1。第三章 图像变换 将变换式展开整理后，可以写成矩阵的形式，即F=G
8、f 其中第三章 图像变换 一维DCT的逆变换IDCT定义为式中，x,u=0,1,2,N1。可见一维DCT的逆变换核与正变换核是相同的。第三章 图像变换 7.3.2 二维离散余弦变换二维离散余弦变换考虑到两个变量，很容易将一维DCT的定义推广到二维DCT。其正变换核为式中，C(u)和C(v)的定义同式（7-48）；x,u=0,1,2,M1；y,v=0,1,2,N1。二维DCT定义如下：设f(x,y)为MN的数字图像矩阵，则第三章 图像变换 式中：x,u=0,1,2,M1；y,v=0,1,2,N1。二维DCT逆变换定义如下：式中：x,u=0,1,2,M1；y,v=0,1,2,N1。类似一维矩阵形式
9、的DCT，可以写出二维DCT的矩阵形式如下：F=GfGT第三章 图像变换 同时，由式(7-55)和式(7-54)可知二维DCT的逆变换核与正变换核相同，且是可分离的，即式中：C(u)和C(v)的定义同式（7-48）；x,u=0,1,2,M1；y,v=0,1,2,N1。第三章 图像变换 通常根据可分离性，二维DCT可用两次一维DCT来完成，其算法流程与DFT类似，即第三章 图像变换 7.4 离散沃尔什离散沃尔什-哈达玛变换（哈达玛变换（WHT）7.4.1 一维离散沃尔什一维离散沃尔什-哈达玛变换哈达玛变换 1.沃尔什函数沃尔什函数沃尔什函数是1923年由美国数学家沃尔什提出的。沃尔什函数系是一个
10、完备正交函数系，其值只能取1和1。从排列次序上可将沃尔什函数分为三种定义方法：一种是按照沃尔什排列来定义（按列率排序）；另一种是按照佩利排列来定义（按自然排序）；第三种是按照哈达玛排列来定义。由于哈达玛排序的沃尔什函数是由2n（n=0，1，2，）阶哈达玛矩阵（HadamardMatrix）得到的，而哈达玛矩阵的最大优点在于它具有简单的递推关系，即高阶矩阵可用两个低阶矩阵的克罗内克积求得，因此在此只介绍哈达玛排列定义的沃尔什变换。第三章 图像变换 N=2n(n=0,1,2,)阶哈达玛矩阵每一行的符号变化规律对应于某一个沃尔什函数的符号变化规律，即N=2n(n=0,1,2,)阶哈达玛矩阵的每一行对
11、应于一个离散沃尔什函数，哈达玛矩阵与沃尔什函数系不同之处仅仅是行的次序不同。2n阶哈达玛矩阵有如下形式：(7-64)(7-65)第三章 图像变换 哈达玛矩阵的阶数是按N2n(n0,1,2,)规律排列的，阶数较高的哈达玛矩阵，可以利用矩阵的克罗内克积运算，由低阶哈达玛矩阵递推得到，即第三章 图像变换 矩阵的克罗内克积(KroneckerProduct)运算用符号记作AB，其运算规律如下：设第三章 图像变换 则第三章 图像变换 2.离散沃尔什离散沃尔什-哈达玛变换哈达玛变换一维离散沃尔什变换定义为一维离散沃尔什逆变换定义为式中，Walsh(u,x)为沃尔什函数。若将Walsh(u,x)用哈达玛矩阵
12、表示，并将变换表达式写成矩阵形式，则上式分别为第三章 图像变换 和式中，HN为N阶哈达玛矩阵。第三章 图像变换 由哈达玛矩阵的特点可知，沃尔什-哈达玛变换的本质上是将离散序列f(x)的各项值的符号按一定规律改变后，进行加减运算，因此，它比采用复数运算的DFT和采用余弦运算的DCT要简单得多。第三章 图像变换 7.4.2 二维离散沃尔什变换二维离散沃尔什变换很容易将一维WHT的定义推广到二维WHT。二维WHT的正变换核和逆变换核分别为和式中：x,u=0,1,2,M1；y,v=0,1,2,N1。第三章 图像变换 二维离散沃尔什变换的矩阵形式表达式为和求这两个信号的二维WHT。第三章 图像变换 根据
13、题意，式（7-76）中的M=N=4，其二维WHT变换核为第三章 图像变换 所以第三章 图像变换 第三章 图像变换 再如，图7-12是一幅数字图像及对其进行二维WHT变换的结果。图7-12二维WHT结果（a）原图像；（b）WHT结果第三章 图像变换 注：图7-12中的结果是按哈达玛变换后再用沃尔什排序的结果。从以上例子可看出，二维WHT具有能量集中的特性，而且原始数据中数字越是均匀分布，经变换后的数据越集中于矩阵的边角上。因此，二维WHT可用于压缩图像信息。第三章 图像变换 7.4.3 快速沃尔什变换（快速沃尔什变换（FWHT）类似于FFT，WHT也有快速算法FWHT，也可将输入序列f(x)按奇
14、偶进行分组，分别进行WHT。FWHT的基本关系为WHT的变换核是可分离和对称的，因此二维WHT也可分为两个一维的WHT分别用FWHT进行变换而得到最终结果，由此便可实现二维的FWHT。第三章 图像变换 综上所述，WHT是将一个函数变换成取值为1或1的基本函数构成的级数，用它来逼近数字脉冲信号时要比FFT有利。同时，WHT只需要进行实数运算，存储量比FFT要少得多，运算速度也快得多。因此，WHT在图像传输、通信技术和数据压缩中被广泛使用。第三章 图像变换 7.5 小波变换简介小波变换简介 7.5.1 小波变换的理论基础小波变换的理论基础信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。傅立叶变换提供了
15、有关频率域的信息，但有关时间的局部化信息却基本丢失。与傅立叶变换不同，小波变换是通过缩放母小波（Motherwavelet）的宽度来获得信号的频率特征，通过平移母小波来获得信号的时间信息。对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波系数，这些小波系数反映了小波和局部信号之间的相关程度。第三章 图像变换 1.连续小波变换（连续小波变换（CWT）像傅立叶分析一样，小波分析就是把一个信号分解为将母小波经过缩放和平移之后的一系列小波，因此小波是小波变换的基函数。小波变换可以理解为用经过缩放和平移的一系列小波函数代替傅立叶变换的正弦波和余弦波进行傅立叶变换的结果。图7-13表示了正弦波和小波的区别，由此可以看
16、出，正弦波从负无穷一直延续到正无穷，正弦波是平滑而且是可预测的，而小波是一类在有限区间内快速衰减到0的函数，其平均值为0，小波趋于不规则、不对称。第三章 图像变换 图7-13正弦波和小波（a）正弦波曲线；(b)小波曲线第三章 图像变换 从小波和正弦波的形状可以看出，变化剧烈的信号，用不规则的小波进行分析比用平滑的正弦波更好，即用小波更能描述信号的局部特征。连续小波变换（ContinuousWaveletTransform，CWT）用下式表示：(7-79)式（7-79）表示小波变换是信号f(x)与被缩放和平移的小波函数()之积在信号存在的整个期间里求和的结果。CWT的变换结果是许多小波系数C，这
17、些系数是缩放因子（scale）和平移（positon）的函数。第三章 图像变换 基本小波函数()的缩放和平移操作含义如下：(1)缩放。简单地讲，缩放就是压缩或伸展基本小波，缩放系数越小，则小波越窄，如图7-14所示。图7-14小波的缩放操作第三章 图像变换(2)平移。简单地讲，平移就是小波的延迟或超前。在数学上，函数f(t)延迟k的表达式为f(t-k)，如图7-15所示。图7-15小波的平移操作(a)小波函数(t)；(b)位移后的小波函数(t-k)第三章 图像变换 CWT计算主要有如下五个步骤：第一步：取一个小波，将其与原始信号的开始一节进行比较。第二步：计算数值C，C表示小波与所取一节信号的
18、相似程度，计算结果取决于所选小波的形状，如图7-16所示。第三步：向右移动小波，重复第一步和第二步，直至覆盖整个信号，如图7-17所示。第四步：伸展小波，重复第一步至第三步，如图7-18所示。第三章 图像变换 图7-16计算系数值C第三章 图像变换 图7-17计算平移后系数值C 第三章 图像变换 图7-18计算尺度后系数值C第三章 图像变换 第五步：对于所有缩放，重复第一步至第四步。小波的缩放因子与信号频率之间的关系是：缩放因子scale越小，表示小波越窄，度量的是信号的细节变化，表示信号频率越高；缩放因子scale越大，表示小波越宽，度量的是信号的粗糙程度，表示信号频率越低。第三章 图像变换
19、 2.离散小波变换（离散小波变换（DWT）在每个可能的缩放因子和平移参数下计算小波系数，其计算量相当大，将产生惊人的数据量，而且有许多数据是无用的。如果缩放因子和平移参数都选择为2j（j0且为整数）的倍数，即只选择部分缩放因子和平移参数来进行计算，就会使分析的数据量大大减少。使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换称为双尺度小波变换（DyadicWaveletTransform），它是离散小波变换（DiscreteWaveletTransform，DWT）的一种形式。通常离散小波变换就是指双尺度小波变换。第三章 图像变换 执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器，该方法是Mallat于1988年提
20、出的，称为Mallat算法。这种方法实际上是一种信号分解的方法，在数字信号处理中常称为双通道子带编码。用滤波器执行离散小波变换的概念如图7-19所示。S表示原始的输入信号，通过两个互补的滤波器组，其中一个滤波器为低 通 滤 波 器，通 过 该 滤 波 器 可 得 到 信 号 的 近 似 值A（Approximations），另一个为高通滤波器，通过该滤波器可得到信号的细节值D（Detail）。第三章 图像变换 图7-19小波分解示意图第三章 图像变换 在小波分析中，近似值是大的缩放因子计算的系数，表示信号的低频分量，而细节值是小的缩放因子计算的系数，表示信号的高频分量。实际应用中，信号的低频分
21、量往往是最重要的，而高频分量只起一个修饰的作用。如同一个人的声音一样，把高频分量去掉后，听起来声音会发生改变，但还能听出说的是什么内容，但如果把低频分量删除后，就会什么内容也听不出来了。第三章 图像变换 由图7-19可以看出离散小波变换可以表示成由低通滤波器和高通滤波器组成的一棵树。原始信号经过一对互补的滤波器组进行的分解称为一级分解，信号的分解过程也可以不断进行下去，也就是说可以进行多级分解。如果对信号的高频分量不再分解，而对低频分量进行连续分解，就可以得到信号不同分辨率下的低频分量，这也称为信号的多分辨率分析。如此进行下去，就会形成图7-20所示的一棵比较大的分解树，称其为信号的小波分解树
22、（WaveletDecompositionTree）。实际中，分解的级数取决于要分析的信号数据特征及用户的具体需要。第三章 图像变换 图7-20多级信号分解示意图（a）信号分解；(b)小波分数；（c）小波分解树第三章 图像变换 7.5.2 离散小波变换在图像处理中的应用简介离散小波变换在图像处理中的应用简介1.用小波变换进行图像分解用小波变换进行图像分解使用小波变换完成图像分解的方法很多，例如，均匀分解（Uniform decomposition）、非 均 匀 分 解（Non-uniformdecomposition）、八带分解（Octave-banddecomposition）、小波包分解（
23、Wavelet-packerdecomposition）等。其中八带分解是使用最广的一种分解方法，这种分解方法把低频部分分解成比较窄的频带，而对每一级分解得到的高频部分不再进一步进行分解。图7-28为八带分解示意图，用于分解的原始图像采用Matlab提供的预存图像文件woman2.mat，小波基函数为“haar”小波。图7-28（c）是用Matlab的小波工具箱编程进行分解得到的图像。第三章 图像变换 图7-28八带分解示意图(a)一次二维DWT；(b)两次二维DWT；(c)Woman二级分解图第三章 图像变换 2.用小波变换进行图像处理用小波变换进行图像处理 对静态二维数字图像，可先对其进行
24、若干次二维DWT变换，将图像信息分解为高频成分H、V和D和低频成分A。对低频部分A，由于它对压缩的结果影响很大，因此可采用无损编码方法，如Huffman、DPCM等；对H、V和D部分，可对不同的层次采用不同策略的向量量化编码方法，这样便可大大减少数据量，而图像的解码过程刚好相反。整个编码、解码流程如图7-29所示。第三章 图像变换 图7-29图像压缩编码、解码流程第三章 图像变换 此外，还可以在对A、H、V和D部分编码后加上一个反馈环节，获取误差图像，并对其编码。这样压缩效果会更好。近年来，基于小波变换发展起来的图像编码有嵌入式零树小波编码EZW（EmbeddedZerotreeWavelet）及在EZW算法基础上改 进 的 层 树 分 级 编 码 SPIHT（SetParitionInHierarchicalTrees）和 最 佳 截 断 嵌 入 码 块 编 码EBCOT（EmbeddedBlockCodingwithOptimizedTruncation）等。ISO/IECJTC1SC29小组制定的JPEG2000静态图像编码标准中的图像变换技术就采用了离散小波变换，这些编码的最大特点是在不丢失重要信息的同时，能以较高的比率压缩图像数据，并且其算法计算量小。