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1、第6讲，巴比伦和埃及数学咸阳师范学院数学系唐泉n 数学是在哪里开始出现的？数学是在哪里开始出现的？n公元前公元前3000年左右年左右n巴比伦首先对数学主流做出贡献巴比伦首先对数学主流做出贡献n埃及埃及一、巴比伦数学 1 背景介绍背景介绍n 巴比伦人：包括好些同时或先后居住在两河之间及其流域上的一些民族。这块地方古代叫美索不达米亚，今属伊拉克。n 早期的城邑：巴比伦，乌尔，尼普尔，n 前4000年，苏美尔人定居于此n 前2250年，苏美尔人文化达到最高点n 前2500年，阿卡得人控制了苏美尔人n前1700，Hammurabi王统治时期，文化得到高度发展。n公元前8世纪，居住在底格里斯河上游的亚述
2、人统治了该区域。n公元前7世纪，亚述帝国被迦勒底人和米提亚人所割据，史称迦勒底时期。n 前540年，近东地区为波斯人征服。n 前330年，希腊军事领袖Alexander the Great征服了美索不达米亚。n 塞琉古时期（Seleucid Period）：前330纪元前后；n 2 古代巴比伦的记数法与六十进位制古代巴比伦的记数法与六十进位制（1）古代巴比伦人借助于符号）古代巴比伦人借助于符号 和和 ，可以表，可以表示所有的整数，示所有的整数，如：n（2）巴比伦数系的特点：）巴比伦数系的特点：60进制进制n 例子：地质学家WK劳夫特斯于1854年发掘出两块泥板(称为森开莱泥板)其中一块上面刻着
3、一个数列，用现代符号来写，前七个数是1，4，9，16，25，36，49显然这是一个自然数平方的数列49以下自然应该是64，81，但记载的却是14，121直到581这个问题只有在六十进位记数制中才能得到妥善的解释：14=160+4=64=8*8，121=160+21=819*9，581=58601=3481=59*59n（3）巴比伦数系的优缺点：）巴比伦数系的优缺点：（a）由上所述，古代巴比伦人已经懂得了用相同的符号可以按其位置不同来表示不同的数值，这种60进位的位值制记数法，是一项重要的贡献。（b）但是巴比伦数系尚不完善。一个记号可以表示不同的数字。（c）巴比伦人也使用分数，其分母通常为60的
4、整数幂；但是他们的没有特殊的分数记法，而是将整数记法和分数记法混淆在一起，这使得人们在阅读他们的文献时需要根据上下文进行判断。3 巴比伦的算术巴比伦的算术n（1）四则运算（a）加法：没有专门的记号 （b）减法：用下列符号表示（c）乘法：巴比伦人在整数范围内进行，其记号是（d）除法：巴比伦人进行的是整数除以整数的运算，这种运算可以采用与倒数相乘的办法来进行，于是经常要使用分数。n（2）数表（a）乘法表：公元前2000年以前，编制从11到6060的乘法表，用来进行乘法运算。（b）倒数表：2 30：1/2=30/603 20：1/3=20/60 1 20 45：1/80=45/60*60注：对于不能
5、写作有限位“小数”的数如1/7，1/11，1/13等则用近似值表示，如：1/7=8/60+34/60*2+17/60*3+8/60*4+34/60*5+17/60*6（c）其他数表：除了乘除法之外，巴比伦人还能借助于泥板上的数表来进行平方、立方，开平方和开立方的运算，对根号2的近似表达也有很高的水平。但是还没有根据证明他们已认识了无理数。4 巴比伦的代数巴比伦的代数n（1）大约于公元前2000年，古代巴比伦人已能使用代表抽象概念的代数语言，可能由于许多代数问题都与几何有关，因此他们常常用“长”，“宽”，“面积”来代表未知数和它们的乘积等。例如“给定矩形的周长和面积，试求边长”也就是相当于求解方
6、程组 n（2）二次方程的解法）二次方程的解法n例子：“求一个数，使它和它的倒数之和等于求一个数，使它和它的倒数之和等于一个给定的数一个给定的数”用现代的记号来写就是 对于这个二次方程，他们给出的答案相当于 n（3）高次方程解法）高次方程解法n例题：“我把长乘宽的面积10，我把长自乘的面积，我把长大于宽的量自乘，再把这个结果乘以9，这个面积等于长自乘所得的面积，问长和宽各是多少？”用现代记号表示为方程组：n（4）指数方程）指数方程n例题：“有一笔钱，利息率为每年20，问经过多长时间以后利息与本金相等？”这实际上是求解指数方程 1.2x=2解得：x=4年-（2+33/60+20/602）月n（5）
7、素毕氏三数（整勾股数的研究）n素毕氏三数的概念：象(3，4，5)这样一组能作为一个直角三角形三边的正整数称为毕达哥拉斯数(简称为毕氏三数)，如果这样一组数除了1以外，没有其他公因子，则就称它为素毕氏三数如(3，4，5)是素毕氏三数，而(6，8，10)则不是。n素毕氏三数的表达素毕氏三数的表达：所有的素毕氏三数(a，b，c)能用下列参数式表达：a=2uv，b=u2-v2，c=u2+v2这里，u和v互素，奇偶性不同，并且uv，例如，u=2，v=1则得素毕氏三数a=4，b=3，c=5 n巴比伦人对素毕氏三数的研究 纽格包尔(Otto Neugebauer)和萨克斯(Sachs)于1945年对收藏在哥
8、伦比亚大学普林顿收藏馆的第322号巴比伦数学泥板(简称为普林顿322号)作了成功的解释。n他们发现：两列中的对应数字(除了四个例外)正好构成一个边长为正整数的直角三角形的斜边(图13中的中间一列)和一个直角边在图13中带括号的四个值是例外值，放在经我们改正的数字的右边。n若用普林顿322号数学泥板上给出的斜边c和直角边b来确定那个边为正整数的直角三角形的另一边a，则得如图14的毕氏三数我们还注意到，图14中的毕氏三数，除了第11行和第15行外，都是素毕氏三数为了便于研究和讨论，我们也列出了这些毕氏三数的参数值u和v(图14)5巴比伦的几何知识n古代巴比伦人的几何比代数学逊色。n巴比伦人在公元前
9、2000年到前1600年，就能计算长方形、直角三角形和等腰三角形(也许还知道一般三角形)的面积，长方体以及以特殊梯形为底的直棱柱体积，在计算圆的周长和面积时取值为3，有时候用3 1/8。6 巴比伦人的天文学n 亚述时代（前700年左右）的天文学中开始有了对现象的数学描述，并有系统的记录观测数据。n Seleucid Period，天文方面的程式文书和天文历书。n 推算新月和交食可以在几分钟内。n 黄道十二宫n 星期制度n 把圆分为360度n以春分为岁首；n一年12个月，大小月相间，大月30日，小月29日，一共354天。n公元前六世纪以前，由国王根据情况随时宣布置闰规律。著名的立法家汉谟拉比曾宣
10、布过一次闰六月。n自大流士一世后，才有固定的闰周，先是8年3闰，后是27年10闰。n最后于公元前383年由西丹努斯定为19年7闰制。二、埃及的数学 1 背景知识背景知识n 尼罗河畔n 前4000年，埃及文明已经存在n 前3500-3000年，上、下埃及统一n 前2500年，埃及文化达到最高点；金字塔即建于此时n 前332年，Alexander the Great征服埃及n 此后一直到600年，埃及历史和数学就属于希腊文明2、埃及数学资料来源n古埃及人的书写材料：古埃及人用纸草作为书写材料，纸草是尼罗河三角洲沼泽地盛产的一种水生植物，把这种草的茎依纵向剖成小薄片，然后压平晒干使之成为纸卷，可用于
11、书写由于埃及地区气候干燥，因此有些纸草能幸运地保存至今n数学文献：两卷纸草记录了古埃及数学资料它们都产生于公元前1700年左右一卷称为莫斯科纸草(图11)，另一卷称为兰德纸草(图12)。这两卷纸草是现在我们研究古埃及数学的主要来源。n莫斯科纸草书：含有25个数学问题，由俄国人戈兰尼采夫于1893年在埃及发现，现存于莫斯科美术博物馆。n兰德纸草书：由英国人兰德于1858年在埃及购买，后收藏于英国博物馆。因纸草是由埃及人阿默士(Ahmes)从公元前3000年的文献中抄写下来，记录着85个数学问题的抄本，所以又称为阿默士纸草。3、埃及人的计数法n古埃及人采用10进制，用象形数字记数 n数的记法：介于
12、其间的各数由这些符号的组合来表示，书写方式是从右往左。n例如：表示为32n尽管埃及是最早采用10进数制的国家之一，由于没有采用位置记数的方法，这样就给记数带来了麻烦。4、埃及的算术n（a）乘法：例如计算2731因为27=12816，于是只要把31的这些倍数加起来，即可求得2731的积n（b）除法：例如计算除法：例如计算74526 rule:只要连续地把除数26加倍，直到再加倍就超过被除数745为止其程序如下：n 745=416329=416208121=416+208+104+17n从上述带有(*)号的各项，便可得出，其商为1684=28，其余数为17n（c）分数的记法和计算 n单位分数：古埃
13、及人通常用单位分数(指分子为1的分数)的和来表示分数 n特殊记号：n 一张特殊分数表：兰德纸草里有个数表，它把分子为2而分母为5到100的奇数的这类分数，表达成为单位分数的和。用现代的记号，其首末几行可表示为：n这样古埃及人就可以利用这张表进行分数运算了。例如要用5除以21运算程序可以如下地进行：n由于整数与分数的运算都较为繁复，古埃及算术难以发展到更高的水平5、埃及的代数n（a）一次方程n兰德纸草上的方程问题：“有一堆(古埃及人把未知数称为 n（b）二次方程求解n莫斯科纸草上的面积问题：“把一个面积为100的正方形分为两个小正方形，使其中一个的边长是另一个的四分之三”，写成现在的形式为n 解
14、法：中并没有说明为什么要这样做。n（c）算术级数n在兰德纸草中还出现了有关算术级数的问题：“5个人分100个面包，要求每个人所得的份数构成一个算术级数”n解法：纸草作者先令公差为 6、埃及的几何n（a）几何学的起源n起源之一：建筑；约公元前2900年兴建于下埃及的法老胡夫的金字塔，高达146.5米，塔基每边平均宽230米，任何一边与此数值相差不超过0.11米，正方程度与水平程度的平均误差不超过万分之一与金字塔媲美的另一建筑群是上埃及的阿蒙神庙n 起源之二：农业n在兰德纸草中有19个关于土地面积和谷仓容积的计算问题表明当时的埃及人已经会正确计算矩形、三角形和梯形的面积，并能对其他一些几何图形采用
15、近似计算法，例如在求任意四边形的面积时，出现过近似公式：(a+b)/2*(c+d)/2 (a,b和c,d分别是四边形的两组对边）n 圆面积和圆周率圆面积和圆周率 s=(8d/9)2 据此算得圆周率的数值为 pi=3.1605 误差仅为约0.6%n 立体体积计算n 对立方体、柱体等体积的计算，他们给出一些计算的法则，其中有比较准确的也有较为粗略的值得注意的是，在莫斯科纸草中有一个正四棱台的体积的具体计算方法上、下底面和中截面的面积之和乘以高的1/3。用现代公式表为：n n其中，a、b分别是上、下底面正方形的边长，h是高n这个计算与我们现在所用的公式完全相同，可以说这是埃及几何中最出色的成就之一7
16、 埃及的天文学n马克思说：“计算尼罗河水涨落期的需要，产生了埃及的天文学。”n古代埃及人制定了自己的历法。n埃及人发现三角洲地区尼罗河涨水与太阳、天狼星在地平线上升起同时发生，他们把这样的现象两次发生之间的时间定为一年，共365天。n把全年分成12个月，每月30天，余下的5天作为节日之用；同时还把一年分为3季，即“泛滥季”、“长出五谷季”、“收割季”，每季4月。n埃及人把昼和夜各等分成12个部分。n埃及人用石碗滴漏计算时间，石碗底部有个小口，水滴以固定的比率从碗中漏出。石碗标有各种记号用以标志各种不同季节的小时。结语n从上述两个古代东方文明古国的数学知识来看，他们各自独立地发明了计数和计算方法，如果说古巴比伦人突出的成就在于代数方面的话，则古埃及人却是在几何方面 n 作业：简述巴比伦和埃及的主要数学成就 The End 谢谢大家！