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1、三角函数的最值与值域三角函数的最值与值域要点要点疑点疑点考点考点1.正弦函数正弦函数y=sinx定定义义域域是是R，值值域域是是-1,1，在在x=2k-/2(kZ)时时取取最小值最小值-1，在，在x=2k+/2(kZ)时，取最大值时，取最大值1.2.余弦函数余弦函数y=cosx定定义义域域是是R，值值域域是是-1，1，在在x=2k(kZ)时时，取取最大值最大值1，在，在x=2k+(kZ)时，取最小值时，取最小值-13.正切函数正切函数y=tanx定定义义域域是是(k-/2，k+/2)(kZ)，值值域域是是R，无无最值最值.返回返回4.asinx+bcosx型函数型函数(其中其中由由确定，确定，
2、角所在象限是由点角所在象限是由点P(a,b)所在象限确定所在象限确定)课课 前前 热热 身身2k+/6x2k+5/6，kZ2k+5/6x2k+7/6，kZk-/2xk+/4，kZk+/4xk+3/4，kZDA1.若若sinx1/2，则则x的范围是的范围是_；若若+2cosx0，则则x的范围是的范围是；若若tanx1,则则x的范围是的范围是_；若若sin2xcos2x，则则x的范围是的范围是_2.函数函数y=3sinx+cosx,x-/6，6的值域是的值域是()(A)-，3(B)-2，2(C)0，2(D)0，3.函数函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为的最大值为()(A)1+2(B
3、)2-1(C)2(D)2返回返回B4.设设，则则t的取值的取值范围是范围是()(A)(B)(C)(D)5.函函数数f(x)=Msin(x+)(0)在在区区间间a,b上上是是增增函函数数，且且 f(a)=-M，f(b)=M，则则 函函 数数 g(x)=Mcos(x+)在在 a,b上上()(A)是增函数是增函数(B)可以取得最大值可以取得最大值M(C)是减函数是减函数(D)可以取得最小值可以取得最小值-MB能力思维方法【解题回顾解题回顾】形如形如y=acos2x+bcosxsinx+csin2x+d(a、b、c、d为常数为常数)的式子，都能仿照上例变形为形如的式子，都能仿照上例变形为形如y=Aco
4、s(2x+)+B的式子，从而有关问题可在变形式的基础上求解的式子，从而有关问题可在变形式的基础上求解另外，另外，求最值时不能忽视对定义域的思考求最值时不能忽视对定义域的思考1已知已知ABC中，中，,求使求使取最大值时取最大值时C的大小的大小.2.试试求求函函数数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的的最最大大值值和和最最小小值值.又若又若x0，/2呢呢?【解解题题回回顾顾】此此为为sinx+cosx与与sinxcosx型型.(注注意意与与上上例例形形式式 的的 不不 一一 样样)，一一 般般 地地，含含 有有 sinx+cosx,sinx-cosx，sinxcosx的的三三角角函函数
5、数都都可可以以采采用用换换元元法法转转化化为为t的的二二次次函函数数去去解解.但必但必须须注意注意换换元的取元的取值值范范围围.3.求函数求函数的值域的值域【解题回顾解题回顾】此为此为型三角函数型三角函数(分子、分母的分子、分母的三角函数同角同名三角函数同角同名)这类函数，一般用拆分法及三角函数这类函数，一般用拆分法及三角函数的有界性去解的有界性去解.思考如何求思考如何求的值域呢的值域呢?4.已已知知函函数数f(x)=-sin2x-asinx+b+1的的最最大大值值为为0，最最小小值值为为-4，若实数，若实数a0，求求a,b的值的值返回返回【解解题题回回顾顾】上上述述两两题题为为y=asin2
6、x+bsinx+c型型的的三三角角函函数数.此此类类函函数数求求最最值值，可可转转化化为为二二次次函函数数y=at2+bt+c在在闭闭区区间间-1，1上的最值问题解决上的最值问题解决.延伸拓展5.在在RtABC内内有有一一内内接接正正方方形形，它它的的一一条条边边在在斜斜边边BC上上(1)设设AB=a,ABC=，求求ABC的面积的面积P与正方形面积与正方形面积Q(2)当当变化时求变化时求P/Q的最小值的最小值返回返回【解题回顾解题回顾】此题为此题为型三角函数当型三角函数当sinx0且且a1时，不能用均值不等式求最值，往往用函数单调性时，不能用均值不等式求最值，往往用函数单调性求解求解误解分析2.在在能能力力思思维维方方法法2中中，换换元元后后，要要研研究究定定义义域域的的变变化，脱离定义域研究函数是没有意义的化，脱离定义域研究函数是没有意义的.返回返回1.在课前热身在课前热身2中，当中，当时，若时，若限制限制，则则y的范围要根据单调性得出，不再是的范围要根据单调性得出，不再是