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1、 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 （垂径定理）（垂径定理）欢乐教育启点数学欢乐教育启点数学1 1、举例什么是轴对称图形。、举例什么是轴对称图形。如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。2 2、举例什么是中心对称图形。、举例什么是中心对称图形。把一个图形绕着某一个点旋转把一个图形绕着某一个点旋转180180，如果旋转后的图形，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。形。3 3、圆是不是轴对
2、称图形？、圆是不是轴对称图形？圆圆是是轴对称图形，经过圆心的每一条直线轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。都是它的对称轴。实践探究实践探究 把把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴所在直线都是它的对称轴O O如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个图形是
3、轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？OABCDE思考思考（1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所在的所在的直线是它的对称轴直线是它的对称轴（2）线段：线段：AE=BE弧：，弧：，CAEBO.D想一想：想一想：垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧。并且平分弦对的两条弧。CD为为 O的直径的直径CDAB 条件条件结论结论AE=BEAE=BEAC=BCAC=BCAD=BDAD=BD垂径定理垂径定理三种语言三种语言定理定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的
4、直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM,AC=BC,AD =BD.条件条件CD为直径为直径CDABCD平分弧平分弧ADBCD平分弦平分弦ABCD平分弧平分弧ACB结论结论“知二推三知二推三”(1)垂直于弦垂直于弦 (2)过圆心过圆心 (3)平分弦平分弦 (4)平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧注意注意:当具备了当具备了(1)(3)(1)(3)时时,应对另一应对另一 条弦增加条弦增加”不是直径不是直径”的限制的限制.n你可以写出相应的命题吗你可以写出相应的命题吗?n相信自己是最棒的相
5、信自己是最棒的!垂径定理的推论垂径定理的推论 如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中:只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论.OABCDM CD是直径是直径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.推论：推论：平分弦（不是直径）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧OABCDECDAB,n由由 CD是是直径直径 AM=BMAC=BC,AD=BD.可推得可推得推论：推论：E EO OA AB BD DC CE EA AB BC CD DE EO OA AB BD DC CE EO OA
6、AB BC CE EO OC CD DA AB B 练习练习1O OB BA AE ED在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧的线段或相等的圆弧.O O判断下列图形，能否使用垂径定理？判断下列图形，能否使用垂径定理？注意：定理中的两个条件注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）（直径，垂直于弦）缺一缺一不可！不可！判断是非：判断是非：（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（2）平分弦的直线，必定过圆心。）平分弦的直线，必定过圆心。（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），）一条直线平分弦（这条弦不是
7、直径），那么这那么这 条直线垂直这条弦。条直线垂直这条弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。弦的垂直平分线一定是圆的直径。（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。弦。（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E（7）平分弦的直径垂直于弦）平分弦的直径垂直于弦 8cm1 1半径半径为为4cm4cm的的O O中，弦中，弦AB=4cmAB=4cm,那么圆心那么圆心O O到弦到弦ABAB的距离是的距离是 。2 2O O的的直径直径为为10c
8、m10cm，圆心圆心O O到弦到弦ABAB的的 距离为距离为3cm3cm，则弦则弦ABAB的长是的长是 。3 3半径半径为为2cm2cm的圆中，过半径中点且的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是垂直于这条半径的弦长是 。练习练习 2A AB BO OE EA AB BO OE EO OA AB BE E方法归纳方法归纳:解决有关弦的问题时，经常解决有关弦的问题时，经常连接半径连接半径；过圆心作一条与弦垂直的线段过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为等辅助线，为应用垂径定理创造条件。应用垂径定理创造条件。垂径定理经常和勾股定理结合使用。垂径定理经常和勾股定理结合使用。E.ACDBO.ABO
9、E E例例1 如图，已知在如图，已知在 O中，中，弦弦AB的长为的长为8cm，圆心圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求求 O的半的半径。径。讲解讲解A AB B.O O垂径定理的应用垂径定理的应用请围绕以下请围绕以下两两个个方面方面小结本节课小结本节课：1 1、从知识上学习了什么、从知识上学习了什么？、从方法上学习了什么？从方法上学习了什么？课课堂堂小小结结圆的轴对称性；垂径定理圆的轴对称性；垂径定理（）（）垂径定理和勾股定理结合。垂径定理和勾股定理结合。（）（）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线 过圆心作垂直于弦的线段；过圆心作垂直于弦的线段；连接半径。连接半径。作业：作业：