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1、首页上页返回下页结束一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程二、伯努利方程二、伯努利方程 首页上页返回下页结束一、一阶线性方程一、一阶线性方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.例如例如线性的线性的;非线性的非线性的.首页上页返回下页结束齐次方程的通解为齐次方程的通解为1.线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)不定积分表示一个不定积分表示一个原函数原函数,下同下同首页上页返回下页结束2.线性非齐次方程线性非齐次方程讨论讨论两边积分两边积分非齐方
2、程通解形式非齐方程通解形式与齐方程通解相比与齐方程通解相比:首页上页返回下页结束常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质实质:未知函数的变量代换未知函数的变量代换.作变换作变换首页上页返回下页结束积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解首页上页返回下页结束解解例例1 1首页上页返回下页结束例例2 2 如图所示，平行于如图所示，平行于 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数
3、值上等于阴影部分的面积,求曲线求曲线 .两边求导得两边求导得解解解此微分方程解此微分方程首页上页返回下页结束所求曲线为所求曲线为首页上页返回下页结束伯努利伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式方程为方程为线性微分方程线性微分方程.方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程.二、伯努利方程二、伯努利方程解法解法:需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.首页上页返回下页结束求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得.代入上式代入上式首页上页返回下页结束解解例例 3首页上页返回下页结束例例4 4 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程:解解所求通解为所求通解为首页上页返回下页结束解解分离变量法得分离变量法得所求通解为所求通解为首页上页返回下页结束解解代入原式代入原式分离变量法得分离变量法得所求通解为所求通解为另解另解首页上页返回下页结束小结1.线性非齐次方程线性非齐次方程2.伯努利方程伯努利方程首页上页返回下页结束思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解.首页上页返回下页结束思考题解答思考题解答首页上页返回下页结束练练 习习 题题首页上页返回下页结束首页上页返回下页结束首页上页返回下页结束练习题答案练习题答案首页上页返回下页结束