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1、垂径定理垂径定理 垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM,AC=BC,AD=BD.思考：思考：平分弦（不是直径）的直径有什么性质？平分弦（不是直径）的直径有什么性质？如图如图:ABAB是是OO的一条弦的一条弦，直径，直径CDCD交交ABAB于于MM，AM=BMAM=BM垂径定理的推论OABCDM连接连接OA,OB,OA,OB,则则OA=OB.在在OAM和和OBM中中,OA=OB，OM=OM，AM=BMOAMOBM.AMO=BMO.CDABO关于直径关于直径CD对称对称
2、,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合.AC=BC,AD=BD.平分平分弦（不是直径）的直径弦（不是直径）的直径垂直垂直于于弦弦,并且并且平分平分弦所对的两条弦所对的两条弧弧.逆定理：平分弦逆定理：平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于弦，的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。CDAB,n由由 CD是是直直径径 AM=BM AC=BC,AD=BD.可推得可推得平分平分弦（不是直径）的直径弦（不是直径）的直径垂直垂直于弦于弦,并且并且平分平分弦所对的两条弦所对的两条弧弧.垂径定理的垂径定理的推
3、推垂垂论论课堂讨论课堂讨论根据已知条件进行推导：根据已知条件进行推导：过圆心过圆心垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对劣弧平分弦所对劣弧（1 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。对的两条弧。（3 3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（2 2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。弦所对的另一条弧。三个命题三个命题命题一：平分弦（不是直径）的直径
4、垂直于弦，并且命题一：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。平分弦所对的两条弧。命题三：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分命题三：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。弦所对的两条弧。命题二：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，命题二：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。并且平分弦所对的另一条弧。.OAEBDC已知：已知：AB是弦，是弦，CD平分平分AB，CD AB。求证：求证：CD是直径，是直径，ADBD，ACBC已知：已知：CD是直径，是直径，AB是弦，并且是弦，并且CD平分平分AB。求证：求证：CDAB，ADBD，ACBC已知：已
5、知：CD是直径，是直径，AB是弦，并且是弦，并且ADBD（ACBC）。）。求证：求证：CD平分平分AB，ACBC（ADBD）CD AB 根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直线来说，如果具备：线来说，如果具备：那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。三个结论。注意要点注意要点 经过圆心经过圆心 垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧注意注意:当具备了当具备了(1)(3)(1)(3)时时,应对另一应对另一 条弦增加条弦增加”不是直
6、径不是直径”的限制的限制.垂径定理及推论垂径定理及推论OABCDM条件结论命题垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条分弦所对的两条弧弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对并且平分弦所对的另一条弧的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且并且平分弦和
7、所对的另一条弧平分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于垂直于弦弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.例例1、如图（填写你认为正确的结论）。、如图（填写你认为正确的结论）。若若MNAB，垂足为，垂足为C，MN为为直径，则直径，则_，_，_。若若AC=BC，MN为直径，为直径，AB不不是直径，则是直径，则_，_，_。若若MNAB，AC=BC，则，则_，_，_。若若 ，MN为直径，则为直径，则_，_，_。若若AC=
8、BC，AB不是直径，不是直径，MN是直径，则是直径，则_，_，_。若若 ，则，则_，_，_。若若ABMN，则，则_，_，_。例2、如图，AB、CD为O的两弦，AB=CD，M、N分别为AB、CD的中点，试说明AMN=CNM。例例3.3.找出找出 的圆心（保留作图痕迹）的圆心（保留作图痕迹）变变1 1：你会四等分弧：你会四等分弧ABAB吗吗?变变2：有一块打碎的圆形玻：有一块打碎的圆形玻璃，还剩四块，如图所示，璃，还剩四块，如图所示，拿哪一块可以去配一块同样拿哪一块可以去配一块同样的玻璃回来。的玻璃回来。练习：练习：1 1、如图，一条公路的转变处是一段圆弧、如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中
9、弧即图中弧CD,CD,点点O O是弧是弧CDCD的圆心的圆心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E为弧为弧CDCD上的上的一点一点,且且OECDOECD垂足为垂足为F,EF=90m.F,EF=90m.求求这段弯路的半径这段弯路的半径.n解解:连接连接OC.OC.OCDEF(1)(1)如图如图,已知已知O O的半径为的半径为 6 6 cmcm,弦弦 ABAB与半径与半径 OAOA的夹角为的夹角为 30 30,求弦求弦 AB AB 的长的长.OAOCABM(2)(2)如图如图,已知已知O O的半径为的半径为 6 6 cm cm,弦弦 ABAB与半径与半径 OCOC互相平分互相平分,交
10、点为交点为 M M,求求 弦弦 AB AB 的长的长.630EB（3 3）.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为1010米，桥米，桥拱的跨度拱的跨度AB=16AB=16米，则拱高为米，则拱高为 米。米。ABCD4O船能过船能过拱桥吗拱桥吗?如图如图,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为桥下水面宽为7.27.2米米,拱顶高出拱顶高出水面水面2.42.4米米.现有一艘宽现有一艘宽3 3米、船舱顶部为长方形并高出水面米、船舱顶部为长方形并高出水面2 2米米的货船要经过这里的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？此货船能顺利通过这座拱桥吗？船能过拱桥
11、吗船能过拱桥吗解解:如图如图,用用 表示桥拱表示桥拱,所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,O,半径为半径为RmRm,经过圆心经过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OD,DOD,D为垂足为垂足,与与 相交于点相交于点C.C.根根据垂径定理据垂径定理,D,D是是ABAB的中点的中点,C,C是是 的中点的中点,CD,CD就是拱高就是拱高.由题设得由题设得在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得解得解得 R3.9（m）.在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥.1.1.过过o o内一点内一点M M的最长的弦长为的最长的弦长为1010,
12、最短弦长为最短弦长为8 8,那么那么o o的半径是的半径是2.2.已知已知o o的弦的弦AB=6AB=6,直径直径CD=10CD=10,且且ABCD,ABCD,那么那么C C到到ABAB的距离等于的距离等于3.3.已知已知O O的弦的弦AB=4AB=4,圆心圆心O O到到ABAB的中点的中点C C的距离为的距离为1 1,那么那么O O的半径为的半径为4.4.如图如图,在在O O中弦中弦ABAC,ABAC,OMAB,ONAC,OMAB,ONAC,垂足分别为垂足分别为M,M,N,N,且且OM=2,0N=3,OM=2,0N=3,则则AB=,AB=,AC=,OA=AC=,OA=BAMCON51或或96
13、4Cm练习：练习：5.（课本（课本P82）在）在 中，、中，、AC为为互相垂直且相等互相垂直且相等的的两条弦，两条弦，于，于，于于求证：四边形是正方形求证：四边形是正方形1.1.在直径为在直径为650mm650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽若油面宽AB=600mmAB=600mm，求油的最大深度求油的最大深度.ED 600CD 2 2、在直径为、在直径为650650mmmm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面宽油面宽AB=600AB=600mmmm，求油的最大深度求油的最大深度.BAO600 650DCED 600CD 3.已知直线已知直线AC:Y=2X+4与与X轴交于轴交于A,与与Y轴交于轴交于C,M为为X轴上的点，以轴上的点，以M为圆心的圆经过点为圆心的圆经过点A.C,求求M的坐标的坐标.BMOACE小结小结:解决有关弦的问题，经常是解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线过圆心作弦的垂线，或，或作垂直于弦的直径作垂直于弦的直径，连结半径连结半径等辅助线，为应用垂径定等辅助线，为应用垂径定理创造条件。理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO