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1、3.5 厄米算符本征函数的正交性已知表示力学量的算符都是厄米算符。厄米算符有二个重要的性质：a.厄米算符本征值是实数；b.厄米算符本征函数是正交的。本节来介绍厄米算符第二个性质。1什么叫二个函数1、2的正交？若（积分是对变量变化的全部区域进行），则称1、2相互正交。(3.5.1）2厄米算符本征函数是正交的分二步证明，先证属不同本征值的本征函数相互正交，再证属同一本征值的不同本征函数也可弄成相互正交。a.属不同本征值的本征函数相互正交。设1、2、是厄米算符的本征函数，它们对应的本征值为1、2、，则有已知 并且(3.5-2）(3.5-4）(3.5-5）(3.5-3）证明：左边 右边所以，得，（kl
2、）(3.5.8）由厄米算符的定义这就是我们所要证明的.（2 2）分立）分立谱、连续谱正交正交归一表示式一表示式满足上式的函数系足上式的函数系n n或或称称为正交正交归一（函数）系。一（函数）系。1.分立谱正交归一条件分别为：分立谱正交归一条件分别为：2.连续谱正连续谱正 交归一条交归一条 件表示为件表示为(3.5-9）(3.5-10）(3.5-11）可合并为：可合并为：简并情况并情况如果 F 的本征值n是f度简并的，则对应n 有f个本征函数：n1,n2,.,nf 一般说来，这些函数 并不一定正交。但是但是上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设 这些本征函数属于不同本征值，即非简并情况。满足
3、本征方程：满足本征方程：可以证明由这可以证明由这 f 个函数可以线性组合成个函数可以线性组合成 f 个独立的新函数个独立的新函数,它们仍属于本征值它们仍属于本征值n 且满足正交归一化条件。且满足正交归一化条件。证证明明由由这 f 个个n i 线性性组合成合成 f 个新函数个新函数 n j可以可以满足正交足正交归一化条件：一化条件：证明分如下证明分如下两步进行两步进行1.1.njnj 是本征是本征值 F Fn n 的本征函数。的本征函数。2.2.满足正交足正交归一条件的一条件的 f f 个新函数个新函数n jn j可以可以组成。成。(3.5-12）(3.5-13）1.1.njnj是本征是本征值F
4、 Fn n的本征函数。的本征函数。2.2.满足正交足正交归一条件的一条件的f f个新函数个新函数njnj可以可以组成。成。方程的归一化条件有方程的归一化条件有 f f 个，正交条个，正交条 件有件有f(f-1)/2f(f-1)/2 个，所以共有独立方个，所以共有独立方 程数为二者之和等于程数为二者之和等于 f(f+1)/2f(f+1)/2 。为此只需证明线性为此只需证明线性 叠加系数叠加系数 A Ajiji 的个的个 数数 f f 2 2 大于或等于大于或等于 正交归一条件方程正交归一条件方程 个数即可。个数即可。综合上述讨论可得如下结论：既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化 的，所以以后
5、凡是提到厄密算符的本征函数时，都是正交归一化的，即组成正交归一系。因为 f2-f(f+1)/2=f(f-1)/2 0，所以，方程个数少于待定系数 Aji 的个数，因而，我们有多种可能来确定这 f 2 个系数使上式成立。f 个新函数nj 的确是算符 F 对应于本征值的正交归一化的本征函数。（2 2）线性性谐振子能量本征函数振子能量本征函数组成正交成正交归一系一系（1 1）动量本征函数量本征函数组成正交成正交归一系一系实例实例（3 3）角）角动量本征函数量本征函数组成正交成正交归一系一系1.1.L Lz z 本征函数本征函数2.L2.L2 2本征函数本征函数（4 4）氢原子波函数原子波函数组成正交成正交归一系一系